книги / Основы теории цепей. Ч. 2

где A11 =1 − 2ν2 =1 − 2 1, 252 = −2,125 .

Тогда U1 = 4 .

U2

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Какие значения принимают коэффициент затухания и модуль передаточной функции по напряжению идеального фильтра в полосе:

а) пропускания; б) затухания?

2.Почему при каскадном соединении звенья многозвенных фильтров должны быть характеристически согласованы?

3.Изобразите зависимость коэффициента затухания Α(ω) иде-

ального фильтра:

а) нижних частот; б) верхних частот; в) полосового;

131

г) заграждающего от частоты.

4. Обладают ли фильтрирующими свойствами электрические цепи, изображенные на рис. 3.16?

5. Определить, какой полосе частот принадлежит рабочая частота фильтров (рис. 3.17), если:

6. Для фильтра низких частот (рис. 3.18) заданы коэффициент фильтра k =12,5 и частота среза ωc = 2,5 105 с-1. Определить характеристическое сопротивление на частоте ω=10 с-1.

при ω1 = 20 103 с-1. Определить коэффициент затухания.

132

8. Из двух конденсаторов емкостью 4нФ и индуктивности 0,34 мГн собран низкочастотный фильтр. Какова полоса пропуска-

венное значение напряжения на выходе фильтра при согласованной нагрузке, если U&1 = 50 2 В.

10. Из двух индуктивностей величиной 0,05 Гн и емкости 0,1 Ф собран фильтр высоких частот. Определить коэффициент фильтра и мгновенное значение выходного напряжения в согласованном режиме на частоте ω1 =104 с-1, если U&1 =10 В.

11.Подобрать индуктивность L фильтра (см. рис. 3.11) так, чтобы частота среза fc =10 кГц, емкость С = 0,1 мкФ.

12.Определить полосу пропускания и характеристическое сопротивление фильтра (см. рис. 3.19) при L = 10 мГн, С = 0,8 мкФ.

13.Т-образный фильтр верхних частот типа k состоит из двух

конденсаторов емкостью 2С1 = 0,16 мкФ каждый и катушки с индуктивностью L2 = 0,02 Гн (рис. 3.20). Построить графики зависимости коэффициента затухания Α , коэффициента фазы Β и характеристиче-

133

4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

4.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Говоря о работе электрической цепи, следует различать установившиеся или стационарные режимы и переходные или динамические режимы.

Установившееся или стационарное состояние электрической цепи характеризуется вполне определённой картиной распределения токов, напряжений и электромагнитной энергии между элементами. Это распределение оказывается либо неизменным во времени, если в цепи действуют источники постоянных воздействий, либо периодически меняющимся, как это имеет место при гармонических или негармонических периодических воздействиях.

Стационарные режимы в электрических цепях могут нарушаться в результате действия так называемых возмущений, которые делятся на параметрические (изменение параметров элементов цепи вследствие каких-либо внешних или внутренних причин) и коммутационные (присоединение или отключение некоторых элементов цепи или её частей). Происходящие при этом изменения структуры цепи называют коммутацией.

Любое возмущение эквивалентируется в расчетных моделях идеализированным элементом – коммутатором, который может замыкать или размыкать контакты 1 и 2 (рис. 4.1), изменяя режим работы цепи.

Изменение состояния коммутатора происходит в течение времени ∆t . Идеализация заключается в устремлении промежутка ∆t → 0 . Именно этот момент времени соответствует началу переходного процесса (t = 0) .

В результате коммутации образуется новая цепь, которую по истечении некоторого промежутка времени можно будет рассматривать

134

так же, как стационарную, характеризующуюся другим распределением токов, напряжений и электромагнитной энергии, нежели в исходной цепи. Переход из одного стационарного состояния в другое происходит не мгновенно, а с течением времени, что обусловлено наличием в цепи накопителей энергии (индуктивностей катушек и ёмкостей конденсаторов). Магнитная энергия катушек и электрическая энергия конденсаторов скачком измениться не могут, т.к. для осуществления этого необходимы источники, имеющие бесконечно большую мощность. Процессы, сопровождающие этот переход, на-

зываются переходными.

Строго говоря, цепь снова приобретает характер стационарной через неограниченно большое время после действия возмущения (t → ∞). Однако с достаточной для практических цепей степенью точности можно считать, что стационарное состояние наступает через некоторое конечное время, называемое временем переходного процесса (tпп). При этом токи и напряжения настолько приближаются к своим установившимся значениям, что расхождения между ними пренебрежимо малы.

Как было отмечено выше, возмущение действует так же не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени (рис. 4.2) ∆t = t2 – t1. Как правило, этот промежуток ∆t значительно меньше рассматриваемого времени переходного процесса (∆t < tпп), поэтому принято считать, что ∆t = 0, и моменты t1 и t2 сливаются в момент возмущения t0.

135

значениями. Последние не определяются непосредственно правилами сохранения, но всегда могут быть выражены через независимые начальные значения с помощью уравнений Кирхгофа, записанных для мгновенных значений токов и напряжений, действующих в послекоммутационной цепи для момента t = 0+.

4.2. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Классический метод расчета переходных процессов основан на составлении и последующем решении (интегрировании) дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа и связывающих искомые токи и напряжения послекоммутационной цепи и заданные воздействующие функции (источники электрической энергии). Преобразуя систему уравнений Кирхгофа, можно вывести итоговое дифференциальное уравнение относительно какой-либо одной переменной величины x(t):

Здесь n – порядок дифференциального уравнения и порядок цепи, величина положительных коэффициентов ak определяется параметрами пассивных элементов R, L, C цепи, а правая часть является функцией задающих воздействий.

В соответствии с классической теорией дифференциальных уравнений полное решение неоднородного дифференциального уравнения находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного диф-

Частное решение полностью определяется видом правой части f(t) дифференциального уравнения. В электротехнических задачах правая часть зависит от воздействующих источников электрической

137

энергии, поэтому вид xчаст (t) обуславливается (принуждается) источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей xпр (t) .

Общее решение xобщ (t) однородного дифференциального урав-

нения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от правой части. В прикладных задачах электротехники xобщ (t)

не зависит (свободно) от воздействующих источников и по этой причине называется свободной составляющей xсв (t) и полностью опреде-

ляется параметрами пассивных элементов цепи, а физически – процессом перераспределения запасов энергии электрического и магнитногополей вреактивных элементах цепи.

Таким образом, любая искомая величина в переходном режиме

k =1

где n – порядок цепи, совпадающий с порядком дифференциального уравнения; pk – корни характеристического уравнения (собственные числа цепи); Ak – постоянные интегрирования.

Собственные числа линейных цепей либо действительные отрицательные, либо комплексные с отрицательными вещественными частями (т.е. находятся в левой полуплоскости комплексных чисел). Поэтому xсв (t) носит преходящий (асимптотически затухающий до

нуля) характер:

xсв (t) → 0 .

n

В искомом решении x(t) = xпр + ∑ Ak e pk t надо уметь определять

k =1

величины xпр (t) , n, pk, Ak.

138

4.2.1. Определение принужденной составляющей

Уравнение (4.4) при t → ∞ принимает вид x(∞) = xпр (∞) , т.к. xсв (t) затухает до пренебрежимо малых размеров. Эти соображения позволяют утверждать: принужденная составляющая переходного процесса xпр (t) совпадает с соответствующей величиной в после-

коммутационном установившемся режиме и может быть получена изученными ранее методами.

Электрическая цепь для расчета принужденных составляющих от источников постоянных воздействий должна быть чисто резистивной (индуктивности заменяются короткозамкнутыми участками, а емкости – разомкнутыми). При наличии источников с гармоническими воздействиями расчет принужденных составляющих ведется символическим методом.

4.2.2.Определение порядка цепи n

Впростейших случаях низкопорядковых цепей можно руководствоваться следующей рекомендацией: порядок цепи определя-

ется количеством независимых реактивных элементов в этой цепи, другими словами, количеством независимых начальных условий.

Так, например, фрагменты цепей, приведенных на рис. 4.3, дают вклад в величину n:

139

140