книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел

Из (4.2.14), (4.2.15) можно получить систему уравнений для моментных функций второго порядка вектора перемещений

5фгр;

(1<2) + т(2)) — 2)дм> + т<2)п>иъ = ОГ . С7Г^

где операторы Лапласа V(X) и V<2) отнесены к точкам ikfd) и соответственно.

Система уравнений (4.2.20) состоит из 18 уравнений для опре­ деления 9 неизвестных функций wtj. Общее ее решение существует при дополнительных условиях, называемых условиями совмест­ ности [42], которые будут приведены в дальнейшем для конкрет­ ных задач.

Граничные условия для систем (4.2.19), (4.2.20) находим из со­ ответствующих условий (4.2.13), (4.2.18), заменяя в последних моментные функции случайных напряжений на моментные функ­ ции случайных перемещений с использованием выражений (4.2.10), (4.2.12), (4.2.16), (4.2.17). Например, граничные условия для моментных функций первого порядка имеют вид

(4.2.21)

Рассматриваемый ниже метод решения стохастической крае­ вой задачи в моментных функциях аналогичен методу последова­ тельных приближений, предложенному в [41]. В первом прибли­

шается независимо. Допустим, что первое приближение при со­ ответствующих ему граничных условиях найдено, т. е. известны моментные функции <ud)> и wd). Из (4.2.12) и (4.2.10) находим деформации <ed)) и напряжения <ad)). Затем из (4.2.17) опреде­ ляем Ud) и согласно (4.2.16) Td). Дальнейший порядок вычисле­ ния состоит в последовательном определении по формулам (4.2.11)^

уравнений (4.2.19), (4.2.20) и соответствующие этим уравнениям новые граничные условия. Из решения уравнений получим второе приближение <u<2>>, w<2>. Последующие приближения решения стохастической краевой задачи теории вязкоупругости при слу­ чайных нагрузках получаются повторением изложенной выше процедуры. Сходимость последовательных приближений иллюст­ рируется ниже на примере конкретных задач.

71

4.3.Примеры решения

краевых задач нелинейной теории вязкоупругости при случайных нагрузках

Рассмотрим задачу о релаксации напряжений в стержне из одноосно армированного пластика. Пусть прямолинейный стер­ жень в момент времени т = 0 растянут случайной силой и концы его закреплены. Полагая, что случайная сила задана моментными функциями и площадь поперечного сечения известна, легко най­ дем математическое ожидание а0 = <а> |т=0 и дисперсию D 0 = = Т (Tj, т 2) |ti=t2=o случайных напряжений в начальный момент времени. Рассматриваемая задача состоит в том, чтобы найти ма­ тематическое ожидание и дисперсию напряжений в произволь­ ный момент времени.

Стохастическое уравнение, описывающее релаксацию напря­ жений в стержне, запишем в виде

где а — случайное напряжение в стержне; Е — детерминирован­ ный модуль Юнга; А , п — постоянные числа.

Уравнение (4.3.1) представляет собой результат приведения уравнений (4.2.9) к простейшему виду для данного частного слу­ чая.

Из (4.3.1) находим

д

где г) == 1 --------

Применяя к (4.3.2) оператор математического ожидания, по­

+EgT (п, т2) = Eg [а (т2) <г)' (т2) а' (Tl)> +

+Я(T I) Т (тъ т2)].

Система уравнений (4.3.4) содержит два уравнения для опре­ деления одной неизвестной функции. Общее решение ее сущест-

72

вует, так как выполняются условия совместности [42, 107]

Для иллюстрации сходимости последовательных приближений на рис. 4.1, 4.2 сплошной линией показаны соответственно зави­ симости математических ожиданий и дисперсий напряжений от времени для четырех приближений по числовым данным для одно­ направленного стеклопластика, приведенным в работе [41]. Здесь 7, 2, 3, 4 — порядки последовательных приближений, а — точ­ ное решение задачи (в рамках прикладной теории случайных функций). Для сравнения с классическим расчетом на рис. 4.1 штриховой линией показаны кривые, иллюстрирующие сходимость при детерминированной осевой силе [41].

Полученные результаты свидетельствуют о довольно быстрой сходимости последовательных приближений как для математиче­ ских ожиданий, так и для дисперсий случайных напряжений. В данном примере при расчете математического ожидания напря­ жений на рассматриваемом отрезке времени достаточно трех­ четырех приближений. При расчете дисперсий напряжений дос­ таточно ограничиться вторым приближением.

73

Рис. 4.1. Математическое ожидание напряжений при их релаксации в вяз­ коупругой балке

Рис. 4.2. Дисперсии напряжений при их релаксации в вязкоупругой балке

Рассмотрим теперь балку с продольной осью симметрии Огх, подвергающуюся чистому изгибу случайным моментом М в плоско­ сти гхОг2. Система стохастических уравнений краевой задачи имеет вид

F

a — случайное напряжение в балке, % — кривизна балки, е — деформации волокон плоскости r2O i, F — площадь поперечного сечения балки, I — осевой момент инерции площади F.

Применяя к (4.3.10) оператор математического ожидания, находим

$ № + »><№.

F

F

^ + Еёо = Щ -{М у г , + П,

74

где

внешних сил, тем, что содержит «поправку» в виде функции Ъ(т)г которую можно найти, если известна моментная функция второго порядка случайных напряжений. Последняя определяется иа системы уравнений краевой задачи для моментных функций второго порядка.

Запишем третье уравнение (4.3.10) в пульсациях в момент времени т (справедливое для малых дисперсий напряжений п

~ + R Ы т= - j -гъ < м v Ы > ,

где

R (т) = Eg — Д - + (п — 1) у -а "-2 (т) -И .

Начальные условия для искомой функции имеют вид

Для неизвестных функций, входящих в правые части уравне­ ний системы (4.3.13), соответственно имеем

75

Рис. 4 .3 .Математическое ожидание напряжений при изгибе вязкоупругой балки случайным моментом

Цифрами обозначены номера приближений

Таким образом, получена замкнутая система уравнений, причем для определения функции Т (T I , т 2) имеем систему из двух уравнений в частных произведениях первого порядка. Общее решение системы (4.3.13) существует и является единственным, так как выполняется условие совместности

дР

дТ.2 +

где для рассматриваемого случая

Решая систему уравнений (4.3.11), (4.3.13), (4.3.15) методом лоследовательных приближений и учитывая начальные условия (4.3.14), (4.3.16), получаем в i-ш приближении

76

где

т

Числовые расчеты проведены для балки прямоугольного сече­ ния из однонаправленного стеклопластика, механические харак­ теристики которого приведены в [41]. Значения математических ожиданий и дисперсий напряжений от времени (отнесенные к значениям в начальный момент времени) при r2 = h приведены соответственно на рис. 4.3 и 4.4 (сплошные линии). Числовые результаты свидетельствуют о достаточно быстрой сходимости последовательных приближений как для математических ожида­ ний, так и для дисперсий напряжений. Разница между математи­ ческими ожиданиями, соответствующими второму и третьему приближениям, не превышает 1%, для дисперсий напряжений — *6%. Поле напряжений по истечении 10 мин стационарно (матема­ тическое ожидание и дисперсия напряжений постоянны).

ГЛАВА 5

Стохастические модели

деформирования и разрушения

структурно неоднородных сред

Феноменологический подход к описанию прочности является традиционным и заключается в расчете полей напряжений и де­ формаций, приведении их в соответствие с выбранным критерием прочности к некоторой инвариантной эквивалентной величине и сравнении последней с известным допустимым значением. Однако макроскопическому разрушению предшествует обычно несколько стадий структурных изменений, сопровождающих процесс дефор­ мирования и разрушения материалов. Нелинейность диаграмм о ~ е, обусловленную диссипацией энергии и в разной степени присущую практически всем реальным материалам, можно трак­ товать как следствие накопления структурных повреждений, например, в виде микропор для полимеров, микротрещин для хрупких сред, скольжения зерен для поликристаллов. В литера­ туре [90, 104, 109 и др.] известны попытки теоретического построе­ ния уравнений состояния на основе уравнений кинетики накоп­ ления микроповреждений. В то же время структурные поврежде­ ния не только изменяют деформационные свойства, но и, что не менее важно, определяют прочностные характеристики мате­ риала.

77

В этой главе в рамках структурно-феноменологической модели среды вводятся понятия случайных тензоров микро- и макро­ повреждаемости и дается постановка краевой задачи механики деформирования и разрушения композитов.

5.1.Разрушение материалов с повреждаемой микроструктурой

Процесс разрушения является одновременно локальным и глобальным. Локальным, потому что зарождение и первоначаль­ ный рост трещины происходят в некотором локальном объеме. Глобальным, потому что прорастание магистральной трещины приводит к разрушению материала и, таким образом, к потере работоспособности элемента конструкции. Теоретические и экс­ периментальные исследования, подтверждающие наличие струк­ турных изменений и их влияние на деформационные и прочностные свойства, обобщены в монографиях [24, 62, 88]. Так, для полиме­ ров схематично выделяют следующие стадии структурных изме­ нений [110].

На первой, начальной стадии материал деформируется упруго. При этом с позиций микромеханики разрушения структура мате­ риала не изменяется по отношению к его естественному состоянию. Все последующие стадии связаны с диссипацией энергии, посколь­ ку происходит образование и развитие микроповреждений.

Вторая стадия — накопление субмикротрещин или объемное (дисперсное) разрушение. По мере увеличения деформаций раз­ мер субмикротрещин остается постоянным, а их концентрация увеличивается, пока не достигнет некоторого критического значе­ ния. По данным В. С. Куксенко 1110], величина критической кон­ центрации субмикротрещин является константой материала и не зависит от вида нагружения. Если поле напряжений однородно, дисперсное разрушение не является локальным в рассмотренном ранее смысле. Значения упругих констант К * и G* в процессе дисперсного разрушения изотропного материала можно оценивать

где А = 4GI3K, В = (QK + 8G)/(6K + 12G).

Третья стадия начинается с момента, когда концентрация суб­ микротрещин достигает критического значения. Это соответствует такой степени взаимодействия субмикротрещин, при которой в результате их катастрофического слияния появляются M H K P O T P Q - ншны. Зоны образования микротрещин обусловлены неровностью поверхности образца, случайными дефектами структуры и т. д.

78

С увеличением деформаций растут размеры микротрещин. Именно на этой стадии происходит локализация разоушенияг и окончание второй стадии можно связать с выделением локального объема образца, в котором рост и слияние микротрещин протекают наи­ более интенсивно.

На последней стадии разрушения из микротрещины максималь­ ной критической длины быстро и непрерывно прорастает магист­ ральная трещина и происходит макроразрушение образца. При этом поле перенапряжений генерирует в вершине трещины новые субмикротрещины и создает условия для их слияния, в то время как на остальных участках образца процесс разрушения разви­ вается в поле средних напряжений.

Перейдем теперь к вопросу о соотношении между микроско­ пическими и макроскопическими полями деформирования для материалов с повреждаемой микроструктурой. Вывод таких соот­ ношений с учетом всего многообразия механизмов микроразруше­ ния для различных материалов представляет очень сложную задачу. В работе [142] рассматривались упругохрупкие материа­

Пусть есть упругохрупкое тело V с микроскопическими зона­ ми разрушения Z (t), которые развились в существующих дефек­ тах. Само тело V будем считать макроскопически однородным, изолированным снаружи и имеющим единичный объем. Макрове­ личины определяют только через неразрушенные зоны £2 (t) = = V — Z (t), в Z (t) напряжения равны 0. Введем обозначения:

Тензор макродеформаций 8* является постоянной величиной, от которой зависит поле перемещений и* (г) = Поле микро­ деформаций е (г) есть кинематически допустимое, связанное с локальным полем перемещений ut (г), значения которого на Su колеблются около среднего значения и*. Благодаря гипотезе

79

макрооднородности Хилла [119] на нулевые значения интегралов

Приравнивая правые части (5.1.7) и (5.1.8), с учетом (5.1.5) при­ дем к соотношению

трещинами. Тензор ш локализуется в разрушенных зонах, потому что он зависит лишь от геометрии Sf (t).

Таким образом, макроскопические физические уравнения, связывающие осредненные поля деформирования в квазистатиче-

80