книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x [ln ( x +1) − ln x] = x ln

= ln a − ln b = ln

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

5.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3x +1

= 3 ;

lim

= 0 ;

lim

x +

→∞

4x2 + 5

x→∞

поэтому

3x +1

x+1

= 0

= 0.

lim

x→∞

4x2

+ 5

4x + 5 x3

Задача 3. Найти

lim

Решение

x→∞

−1

На основании формулы (2.72)

4x +

lim x3

5 x→∞

lim

;

−

x→∞

8x −1

→∞ x

lim

4x + 5

(неопределенность

∞

; все члены раздели-

∞

x→∞

8x −1 2

ли на x),

lim x3 = ∞ ;

x→∞

поэтому

4x + 5 x3

∞

lim

= 0 .

2∞

→∞

−1

6x2 + 5 x

Задача 4. Найти lim .

x→±∞ x2 +1

Решение

Рассмотрим отдельно два случая:

	6x2 + 5		lim x = +∞ ,
1. lim		= 6 ;
1. lim	x2 +1	= 6 ;
x→+∞	x2 +1		x→+∞

101

поэтому

6x2 + 5

lim

= 6+∞

= +∞ .

x2 +1

x→+∞

6x2

+ 5

2. lim

= 6 ;

lim

x = −∞ ,

x→−∞

поэтому

6x2

+ 5

= 6−∞

lim

6+∞

x→−∞

Задача 5. Найти lim 1+

x→∞

Решение

1 +

Так как lim

=1 и lim x = ∞

, имеем неопределенность

x→∞

{1∞ } . На основании формулы (2.73)

«строим» второй замеча-

тельный предел:

3 x

3 3

lim 1

= lim 1

= e .

→∞

x→∞

→∞ x

				4 2 x
Задача 6. Найти	lim	1 −			.

Решение	x→∞			x +1

Так как lim 1 −	4		= 1 и lim 2x = ∞ , имеем неопределен-

x→∞	x +1			x→∞

ность {1∞ } . На основании формулы (2.73) «строим» второй замечательный предел

102

2 x

x+1

−4

−4 x+1

lim 1

−

= lim 1

x +1

x→∞

x +1

→∞ x

−4

				−4x
		1	x+1	x+1			−4x
		1	−4			x→∞	x+1	−4
= lim	1+				= e	lim		= e (наоснованииформулы2.72).

		x +1
x→∞		x +1


		−4
		−4

			3x −1	2 x+5
Задача 7. Найти lim					.
Задача 7. Найти lim			3x − 4		.
Решение	x→∞		3x − 4
Решение	3x −1
Так как lim	3x −1	=1	и lim (2x + 5) = ∞ , имеем неопреде-
Так как lim	3x − 4	=1	и lim (2x + 5) = ∞ , имеем неопреде-
x→∞	3x − 4		x→∞

ленность {1∞ } . На основании формулы (2.73) «строим» второй замечательный предел. Перепишем наш пример так:

3x −1

2 x+5

3x −1

2 x+5

lim

= lim 1

−1

= lim 1

− 4

3x − 4

x→∞

→∞ x

→∞

3x − 4

3x−4

6 x+15

(2 x+5)

3x−4

= lim

1 +

3x−

= lim

1 +

3x − 4

x→∞

3x − 4

→∞ x

lim

6 x+15

= ex→∞

3x−4 = e2 .

Задача 8. Найти lim (cos x)1 sin x .

Решение

x→ 0

Так

как lim cos x = 1 и lim

= ∞

имеем

неопределен-

x→

x→ 0 sin x

ность {1∞ } .

103

Обозначим:

f ( x) = cos x ; φ(x) =

;

sin x

lim f (x) = lim cos x = 1 ;

x→

→x 0

lim φ(x) = lim

= ∞ .

x→

→x

0 sin x

Воспользуемся формулой (2.75):

lim (cos x)1 sin x

lim φ( x)[ f ( x)−1]

= ex→ 0

;

x→ 0

f (x) −1 = cos x −1 = −2sin2

;

lim φ(x) [ f (x) −1] = lim

−2sin

x→ 0

→x

0 sin x

−2sin2

−sin

= lim

= 0.

x→

0 2sin

cos

→x

cos

Поэтому lim (cos x)1 sin x = e0

=1.

x→

Задача 9. Найти lim x[ln ( x +1) − ln x] .

x→+∞

x =

Решение	lim [ln ( x +1) − ln x] = [∞ − ∞		] , имеем
Так как lim x = +∞ и	lim [ln ( x +1) − ln x] = [∞ − ∞		] , имеем
x→+∞	x→+∞	] .
неопределенность вида +∞	∞[− ∞	] .
Выполним алгебраические		преобразования	данной
функции:

104

x +1		x		k			1 x
= ln			= (k ln a = ln a		) = ln 1	+		.
	x
							x

Тогда

lim x[ln( x +1)

−ln x] = lim ln 1+

= ln lim 1+

(§5, формула2.67).

x→+∞

→+∞x

→+∞ x

1 x

Учитывая, что lim

1 +

= e , получаем

x→+∞

lim x[ln

( x +1) − ln x] = lim ln e = 1 .

x→+∞

→+∞x

Задача 10. Найти lim (1 + sin x) x .

x→

Решение

Так как

lim (1 + sin x) = 1 ,

lim

= ∞

, имеем неопределен-

ность {1∞ } .

→ 0

x→ 0 x

Учитывая,

что x →

0 используем для решения задачи фор-

мулу (2.74).

sin x

(

sin x

(

) x

(

)

sin x

)

sin x

lim 1 + sin x

= lim 1 + sin x

= lim

1 + sin x

x→ 0

→x 0

→ x

lim

sin x

= ex→ 0 x = e1 = e.

Задача 11. Найти lim (4x −11)

3− x

x→

Решение

Так как

lim (4x −11) = 1 и

lim

= ∞

имеем неопреде-

− x

x→

x→ 3 3

ленность вида {1∞ } .

105

Для решения используем формулу (2.74).

Так как

x → 3

(а в формуле x → 0 ),

выполняем замену:

t = x − 3 . Тогда t →

0 , x = t + 3 .

Получаем

= lim[4(t + 3) −

11]

lim (4x −11)

−t

= lim[1+ 4t ]

3− x

−t

x→ 3

→t

→

= lim[1 + 4t ]

4t (

)

= lim (1 + 4t )

4t (

)

−t

t → 0

→t

lim 4t (−5t

)

(

)4t

t → 0

= e

−20

= lim 1 + 4t

t →

§ 9. Сравнение бесконечно малых функций

Если две бесконечно малые величины стремятся к нулю, то это еще не значит, что они одинаково быстро уменьшаются. Если рассматривать бесконечно малые x и x3, то не трудно обнаружить, что x3 быстрее убывает, чем x, и скорее приближается к нулю. Поэтому иногда полезно при одновременном рассмотрении нескольких бесконечно малых величин установить разделение их на бесконечно малые различных порядков.

Для сравнения двух величин мы в математике имеем два действия: вычитание и деление. При помощи действия вычитания мы не в состоянии уловить различия между бесконечно ма-

лыми в точке x0 величинами α( x ) и β( x ) , так как

lim [β( x) − α( x)] = lim β( x) − lim α( x) = 0 − 0 = 0 .
x→ x0		→x x0		→ x x0
Следовательно, желая сравнить две бесконечно малые вели-
чины α( x) и β( x )	при x →		x	, необходимо рассмотреть предел
			0
их отношения, т.е.	lim	α( x )	.

	x→ x0 β( x )

106

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. lim

α( x)

= A, A ≠

0 (2.76)

α( x) и

β( x )

–

бесконечно

β( x)

малые функции при

x →

x , т.е.

x→

lim α( x) = 0 , lim β( x ) = 0 .

x→

x→ x0

α( x) и β( x ) называются бес-

конечно малыми одного порядка

малости, если предел отношения

этих бесконечно малых равен ко-

нечному числу, отличному отнуля.

lim

α( x )

= 0

(2.77)

этом

случае

бесконечно

α( x)

(

)

малая

при

x →

называ-

x→

ется бесконечно малой высше-

го порядка, чем бесконечно ма-

лая β( x ) при x →

x .

lim

α( x )

= ∞

(2.78)

этом

случае

бесконечно

малая α( x) при x →

(

)

называет-

x→

ся

бесконечно

малой

низшего

порядка, чем бесконечно малая

β( x ) при x →

x0 .

lim

( x )

= 1

(2.79)

В этом случае α( x) и β( x ) на-

( x )

зываются эквивалентными беско-

x→

Обозначение эквивалент-

нечномалыми при x →

x0 .

ныхбесконечно малых:

α( x ) β( x )

(2.80)

при x →

x0 .

lim

( x )

не

сущест-

Когда предел отношения двух

бесконечно

малых

функций при

( x )

x→

вует

(2.81)

x →

не

существует,

говорят,

что бесконечно малые не срав-

нимы.

107

Для раскрытия неопределенностей вида 0 часто бывает по- 0

лезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными.

6. Если α( x ) α1 ( x )								Следует запомнить:
при x →		x0 , β( x ) β1 ( x )						предел отношения двух бесконеч-
					α ( x)			но малых функций равен пределу
при x →		x0 и lim			α ( x)			отношения эквивалентных им бес-
					1			отношения эквивалентных им бес-
					β ( x)			конечно малых.
		x→	x0		β ( x)			конечно малых.
				1
существует, то
lim	α( x)	= lim	α1	( x)		(2.82)
lim		= lim	β	( x)		(2.82)
x→ x0 β( x)		→x x0	β	( x)
			1

7. Таблица эквивалентных								бесконечно малых функций ( α( x) –
бесконечномалаяпри x →							x0 )

а) sin α( x) α( x),
б) tg α( x ) α( x ),

в) arcsin α( x ) α( x),

г) arctg α( x ) α( x ), д) ln [1 + α( x )] α( x ),

е) 1 − cos α( x)	[α( x)]2	,
	2
		a > 0
ж) aα( x ) − 1 α( x )ln a,
з) eα( x ) −1 α( x )

Задачи

Задача 1. Сравнить данные бесконечно малые α( x) и β( x ) при x → 0 .

а) α( x ) = 5x − 6x2 и β( x ) = 8x + 9x3 ; б) α( x ) = x3 + 4x2 и β( x ) = x2 − x ;

108

в) α( x ) = x3 и β( x ) = x5 ;

г)

α( x) = sin x и β( x ) = x ;

д)

α( x ) = x sin

и β( x ) = x .

Решение

α( x)

x (5 − 6x)

а)

Так

как

lim

= lim

5x − 6x2

= lim

x→ 0 β( x)

→x 0 8x + 9x3

→ x 0 x (8 + 9x2 )

= lim

5 − 6x

. Согласно формуле (2.76) следует,

что эти рас-

x→

0 8 + 9x2

сматриваемыебесконечномалыеодногоитогожепорядкамалости. б) В этом случае

lim

( x)

= lim

+ 4x

= lim

x2 ( x + 4)

= lim

x ( x + 4)

0 4

= 0.

( x)

x −1

(−1)

x→ 0 β

→x 0 x2 − x

→

x 0 x ( x −1)

→

x 0

Поэтому α( x ) = x3 + 4x2

бесконечно малая высшего порядка

посравнениюсбесконечно малой β( x ) = x2 − x

(формула(2.77)).

в) Найдем lim

α( x)

= lim

= ∞ ,

т.е. согласно фор-

x→

0 β( x)

→x 0 x5

→ x 0 x2

муле (2.78)

α( x ) = x3

бесконечно малая низшего порядка, чем

бесконечно малая β( x ) = x5 .

г) Так как lim

α( x )

= lim

sin x

= 1 , то α( x) = sin x и β( x ) = x –

β( x )

x→ 0

→x 0

эквивалентные бесконечно малые, т.е. sin x x .

д)

Так как x

– бесконечно малая при x → 0 ,

а функция

sin

ограничена, то произведение

x sin

есть бесконечно

малая,

а это значит,

что

lim x sin

= 0 (глава 2,

§4,

форму-

x→

ла (2.41)), т.е. α( x ) = x sin

– бесконечно малая.

109

α( x)

x sin

Найдем lim

= lim

= lim sin

– не существует,

x→

0 β( x)

→x 0 x

→ x 0

следовательно,

α( x ) = x sin

и β( x ) = x

не сравнимы (фор-

мула 2.81).

Задача 2. Найти:

arcsin

а)

lim

;

tg 2x

x→ 0

б)

lim

arctg2 5x

;

x→ 0 1 − cos5x

в) lim

ln (1 − 3x)

;

x→ 0

e4 x −1

г)

lim

ex − e− x

x→ 0

sin 3x

Решение

а) При x →

0 числитель и знаменатель дроби – функции бес-

конечно малые. Воспользовавшись таблицей эквивалентных бес-

x		x
конечно малых функций (п. 7), имеем arcsin			,	tg 2x 2x .
	3	3

Следовательно, по формуле (2.82), получим:

arcsin

lim

= lim

tg 2x

x→

→x 0 2x 6

б) lim

arctg2 (5x)

(неопределенность

, т.е. числитель и зна-

x→ 0

1 − cos 5x

менатель– бесконечно малые при x →

0 ).

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.58 Mб6Маркшейдерское дело. Анализ точности.pdf
#
12.11.20231.63 Mб11Маркшейдерское дело. Планирование горных работ. Открытые горные работы.pdf
#
12.11.202315.03 Mб0Маркшейдерское обеспечение и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений..pdf
#
20.11.202364.74 Mб75Марочник сталей и сплавов.-1.pdf
#
19.11.202327.96 Mб12Марочник сталей и сплавов..pdf
#
12.11.20235.71 Mб0Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной..pdf
#
12.11.202321.37 Mб6Математика без формул..pdf
#
12.11.2023833.93 Кб5Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
20.11.20231.82 Mб5Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1.pdf
#
12.11.20233.52 Mб1Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия.pdf
#
12.11.20232.32 Mб6Математика. Функции нескольких переменных.pdf