книги / Функции комплексного переменного и их приложения

треугольником А!ХА2А!Ъ (см. рис. 2.7.). Следовательно, ветвь мно­ гозначной функции

конформно и взаимно однозначно отображает верхнюю полу­ плоскость lmz>0 на область D в верхней полуплоскости Im£ > 0 При этом прообразами точек А(, А2 и Аъ будут точки

*,=(), х2 =1, х3 = со соответственно.

Требуемую ветвь многозначной функции (2.20) можно оп­ ределить из условия, что функция принимает минимальные зна­ чения /у, у> 0, если аргумент z пробегает часть действитель­

ной оси правее точки z = 1. Тому же условию должен быть под­ чинен и выбор ветви функции (2.21). Функция z = ¥({;),

обратная к выбранной ветви функции (2.21), осуществляет кон­ формное отображение области D на верхнюю полуплоскость

конформно отображает рассматриваемую область D в полу­ плоскости Im£, на полосу 0 < Imco2 < Н (см. рис. 2.7).

Заметим, что действительной оси 1т^ = 0, принятой в ка­

честве нулевой линии тока со значением функции тока *Р{ = 0,

лосе, изображенной на рис. 2.6, приходим к выводу, что эти ус­ ловия идентичны, поскольку \|/| -v|/2 = 0 -( -Q ) = Q = \\J2—vj/, Поэтому, используя (2.19) и учитывая (2.22), для комплексного потенциала, описывающего течение в области D, получаем

циала, а скорость жидкости в окрестности этой точки не ограни­ чена по модулю. В действительности в силу вязкости реальной жидкости и образования вихрей при обтекании углов скорость будет ограничена, но достаточно велика, что приводит к размыванию устья канала.

Задача 3. Обтекание цилиндрического тела.

Рассмотрим поперечное обтекание кругового цилиндра ра­ диуса R потоком идеальной (несжимаемой) жидкости, имею­

щей вдали от цилиндра скорость >О. Такое обтекание опи­ сывается векторным полем, определенным во внешности ок­ ружности радиуса R, центр которой совмещен с началом коор­ динат. Тогда контур L есть окружность \z\ = R, а область D за­ дается неравенством |z|>/?. Комплексный потенциал

рассматриваемого векторного поля отображает внешность окружности L на внешность отрезка [-г;г].

действительной оси. Следовательно, искомый комплексный по­ тенциал должен иметь вид W0 (z) = гсо (z). Коэффициент г е R

Точки z - - R и z = R , в которых скорость жидкости равна нулю, называют точками разветвления и схода потока соответ­ ственно. Объединим их общим названием критические точки потока. В первой из них линия тока разветвляется на две: одна обходит окружность \z\ = R сверху, а другая снизу. Во второй

точке разветвленная линия тока соединяется. Из (2.25) следует, что в точках z —±iR скорость жидкости достигает наибольшего по модулю значения на контуре L, равного 2VX.

Полагая z = р- е'ф, из представления (2.24) с учетом форму­ лы Эйлера находим

,Ф Л -

W0(pe-») = Va ре ф+ — е

Р

Следовательно, потенциальная функция (или потенциал скоростей) и функция тока в полярных координатах имеют сле­ дующий вид:

R2 А

р+- coscp,

'R2^

р — sin ср.

рис. 2.9.

ки рассматриваемого потока удовлетворяют квадратному урав­ нению

z2----—— iz - R2 = 0 .

2лУ„

Следовательно, критическими точками являются

Если |г| = 4%VXR , то обе критические точки совпадают, причем

z, 2 = iR

Линии тока для этого случая изображены на рис. 2.10.

В случае |г] > 4nVxR обе критические точки также чисто

мнимые, причем из условия zi -z2 = - R 2 следует, что

|z,| < R <|z2| , т.е. только точка z2 лежит вне окружности |z| = R

пользуя представление (2.29), которое приводит к уравнению

Таким образом, сила, действующая со стороны потока на цилиндр единичной длины, по отношению к направлению ско­ рости Vn жидкости в бесконечно удаленной точке повернута на

71

угол — в сторону, противоположную направлению движения

докс Даламбера).

2.3.2. Задачи теплопроводности, теплопередачи

Задача 1.

Пусть труба радиуса R заложена в грунте на глубине Н от его горизонтальной поверхности (рис. 2.13). Примем, что пере­

O(z) = -XT

Поскольку в грунте отсутствуют источники (или стоки) те­ плоты, то векторное поле является соленоидальным:

divg = 0,

поэтому установившееся распределение температуры Т в нем удовлетворяет уравнению Лапласа