книги / Теория пластичности

попытки совместных действий физиков, материаловедов и механиков. Возникла пограничная область знаний – физическая мезомеханика (В.Е. Панин). Все более широкое распространение в теории пластичности приобретают так называемые физические теории, основанные на явном введении в модели материалов физических механизмов неупругого деформирования. Однако эти изменения нельзя назвать кардинальными; как поется в известной песне В.В. Высоцкого, «…мы снова говорим на разных языках». И это совсем не преувеличение, профессиональный язык физиков, материаловедов существенно отличается от языка механиков. Как и в случае изучения

ивладения иностранными языками, необходимо изучать профессиональные языки смежных областей знаний уже на стадии становления специалистов, на студенческой «скамье». Данная глава, в частности, направлена и на изучение (хотя бы начальное) механиками терминов

ипонятий, широко используемых в физике и материаловедении.

Вчем же причины столь медленного продвижения в решении проблемы создания физических моделей описания поведения материалов, давно осознанной и физиками, и механиками? Одна из них видится в следующем. Как правило, понимание необходимости объединения усилий в разработке совместных моделей на стыке физики

имеханики приходит после многих лет работы в соответствующих областях уже у сложившихся исследователей, с устоявшейся методологией, терминологией. Переучиваться же, как известно, всегда труднее, чем учиться. Именно поэтому авторы сочли необходимым привести в данном пособии по теории пластичности, ориентированным в первую очередь на будущих механиков, необходимые (минимальные) сведения из физики твердого тела (ФТТ) и физического материаловедения. Необходимо с самого начала подготовки механиков – «твердотельщиков» закладывать полидисциплинарное и «многомасштабное» мышление. Возможно, подобным образом надо модифицировать и подготовку физиков-материаловедов.

Конечно, в программу подготовки механиков входит и курс физики, включая некоторые разделы физики твердого тела. Однако курсы механических дисциплин и физики чаще всего воспринимают-

51

ся студентами как совершенно различные дисциплины (что, впрочем, относится и ко многим другим курсам), читаемые преподавателями – специалистами в существенно отличающихся областях знаний, зачастую не умеющими «перекинуть мостики» между ними; причем

вфизике весьма незначительное внимание уделяется вопросам построения моделей неупругого деформирования и разрушения тел. Думается, от включения элементов МДТТ в курс ФТТ, и наоборот,

ввыигрыше останутся обе дисциплины; начинать, как представляется, надо всегда с себя.

Другой возможной причиной является различие целей и задач физиков и механиков. Физиков в большей степени интересуют качественные эффекты, количественные модели в основном используются ими для рассмотрения объектов на атомарном и микроскопическом уровнях. От механиков же требуется получение количественных и достаточно точных (с погрешностью от долей процентов до 10–15 %) результатов расчетов характеристик поведения конструкций и деталей на макроскопическом уровне. При этом такого рода расчеты требуется проводить постоянно, в весьма сжатые сроки (особенно если это связано со специальной техникой), не дожидаясь, пока методы и подходы ФТТ позволят получать результаты для реальных конструкций и процессов с приемлемой точностью. В связи

сэтим для постановки и решения таких практически архиважных задач механики необходимо использовать хорошо зарекомендовавший себя макрофеноменологический подход к установлению ОС.

Однако данный подход, основанный на макроэкспериментах, применим только к уже существующим материалам со стабильными характеристиками. В настоящее время остро стоит задача «проектирования» материалов «под конструкцию», так называемых «функциональных материалов». Иначе говоря, процессы проектирования

конструкций и материалов для них становятся неразделимыми. В этом случае макрофеноменологический подход к построению конститутивных моделей, являющихся необходимыми для проектирования конструкций (оптимальных в том или ином смысле), становится неприменимым, задача неразрешима без использования физических

52

моделей. Таким образом, перед материаловедами и механиками стоит общая задача построения моделей поведения материалов и конструкций из них, основанных на глубоком знании и физики, и механики материалов. Задача эта комплексная, поодиночке её не решить ни физикам, ни механикам. И чем скорее это будет осознано всем сообществом физиков и механиков, тем эффективнее будет работа и тех, и других.

Предметом теории пластичности являются главным образом анализ и описание поведения моно- и поликристаллических материалов. Особое внимание при этом отводится металлам и сплавам, составляющим подавляющую часть (свыше 75 %) известных в природе материалов, являющихся основным конструкционным материалом практически всех областей промышленности. Монокристаллические материалы имеют приблизительно идеальную кристаллическую решетку одного из семи классов во всем объеме исследуемого тела. Следует отметить, что в технике и промышленности практически отсутствуют идеально монокристаллические тела, хотя в настоящее время существуют технологии изготовления монокристаллических деталей (например, «выращивание» монокристаллических лопаток газотурбинных двигателей из расплава), обладающие уникальными свойствами. Поликристаллы представляют собой совокупность в общем случае произвольно ориентированных кристаллов (с размерами 10–3–10–7 м), разделенных границами и образующихзерна, субзерна, фрагменты, ячейки.

3.1. Основные понятия

Остановимся на некоторых понятиях, широко используемых в физике твердого тела (ФТТ), физическом материаловедении, физике прочности и пластичности, и которые, хочется надеяться, в ближайшем будущем будут также широко применяться механиками. Под фазой понимаются составные части исследуемого материала, которые для принятой степени детальности (точности) рассмотрения могут считаться однородными, т.е. имеющими одно и то же агрегатное состояние, пренебрежимо мало отличающийся состав, свойства,

53

кристаллическую решетку, с точки зрения механики фазы – части материала, описываемые одинаковыми определяющими соотношениями (ОС); изменение фазового состояния (фазовый переход) ведет, как правило, к резкому изменению определяющих соотношений. Следует отметить, что в настоящее время практически отсутствуют ОС, описывающие с достаточной точностью поведение материала в процессе фазовых переходов. Как представляется, потребность в таких ОС весьма велика, например, для анализа формирования полей остаточных напряжений в процессах кристаллизации, сварки, термомеханической обработки. Фазы отделены друг от друга границами – областями с одним характерным размером (толщиной), существенно меньшим двух других. Следует отметить, что в некоторых процессах деформирования, где весьма существенна роль границ (например, при сверхпластичности), последние сами могут рассматриваться как отдельные фазы. Чрезвычайно важной является роль границ при рассмотрении различных способов обработки поликристаллических материалов [43].

Системой называется совокупность разнородных областей материала (фаз), находящихся в (термомеханическом) равновесии. Под структурой понимаются взаиморасположение, форма, размеры и взаимоориентация фаз материала, а также тип и размеры границ между ними. Структуру материала анализируют, как правило, на шлифованных поверхностях. При этом различают макроструктуру, видимую невооруженным глазом, и микроструктуру, исследуемую с помощью оптических микроскопов с большим увеличением или электронных микроскопов. Для изучения макроструктуры в некоторых случаях используются поверхности излома образца. При анализе структуры на шлифах изготавливаются специальные макрошлифы (темплеты) или микрошлифы, поверхность которых получают с помощью шлифовки, полировки и последующего травления с применением специальных химических реактивов. Следует подчеркнуть важность понятия структуры для механики, ибо именно микроструктура в конечном итоге определяет поведение материала (в том числе на макроуровне) и конструкций из него на любой стадии их «жизни».

54

Абстрагируемся пока от реальной структуры кристаллов, которой присуще большое число дефектов, и рассмотрим идеальные кристаллы для понимания в первом приближении строения последних и взаимодействий между составляющими кристалл частицами – атомами, ионами. Несмотря на то, что в классической МСС на уровне межатомных взаимодействий рассмотрение обычно не ведется, знание строения материи на этом уровне необходимо, поскольку позволяет с физических позиций осмысливать законы МСС, в первую очередь ОС. Кроме того, в последние 15–20 лет механики интенсивно используют методы молекулярной (атомарной) динамики [49], особенно в связи с развитием нанотехнологий. Различают следующие виды связей [67, 77]:

♦ионная (или гетерополярная) реализуется при передаче атомами одного сорта электронов со слабо заполненной внешней оболочкой к атомам второго сорта, имеющим почти заполненную внешнюю оболочку, благодаря чему атомы первого сорта из электрически нейтральных становятся положительно заряженными ионами, атомы же второго сорта – отрицательно заряженными ионами; таким образом связь осуществляется кулоновскими силами;

♦ковалентная (или гомеополярная) осуществляется за счет «обобществления» соседними атомами двух или более электронов внешней оболочки, которая таким образом оказывается заполненной до восьми электронов; связь характерна для атомов, имеющих внешнюю оболочку, заполненную не менее чем наполовину;

♦молекулярная связь реализуется за счет сил Ван-дер-Ваальса, обусловленных эффектом поляризации соседних атомов; поляризация происходит при случайных флуктуациях орбит электронов одного из атомов, что ведет к поляризации соседних атомов и появлению дипольных моментов;

♦металлическая связь осуществляется за счет «обобществления» большими группами атомов слабо связанных с атомами валентных электронов; электроны, оторвавшиеся от своих атомов, равномерно распределены по объему кристалла (образуют так называемый электронный газ) и движутся по сложным траекториям таким обра-

55

зом, что в каждый момент времени уравновешивают силы отталкивания положительных ионов. Металлическая связь представляет собой более общий случай ковалентной.

Различные виды связей не исключают друг друга, они могут действовать одновременно (смешанная связь) или заменять одна другую при изменении состояния кристалла (например, при изменении температуры).

Для описания движения атомов в молекулярной динамике широко используются так называемые потенциалы межатомных взаимодействий, характеризующие потенциальную энергию взаимодействия атомов. Независимо от конкретного вида связей потенциальная энергия П(ij) атомов i, j с достаточной для решения многих задач точностью описывается соотношением, общий вид которого был предложен А.Ф. Иоффе:

где А, В, m, n – (положительные) константы материала, m, n – как правило, целые числа, причем n > m; rij – расстояние между атомами

i, j, rij = |ri – rj|, ri – радиус-вектор i-го атома. При этом не учитываются эффекты «экранирования» взаимодействия атомов. Полагая взаи-

модействие потенциальным, силы взаимодействия атомов определяются дифференцированием потенциальной энергии по rij. Качественно характер изменения потенциальной энергии и величины силы взаимодействия F(ij) двух атомов от расстояния между ними изображен на рис. 3.1. Нулевое значение силы взаимодействия, отвечающее минимуму потенциальной энергии взаимодействия, определяет равновесное расстояние между атомами.

Потенциальная энергия произвольной совокупности атомов определяется как сумма потенциальных энергий всех пар атомов. Отметим, что для ионной и ковалентной связей потенциальная энергия взаимодействия составляет порядка 10 эВ/ атом, для молекулярных (самых «слабых») связей – порядка 0,1 эВ/ атом, металлические связи имеют промежуточные значения энергии взаимодействия.

56

анизотропию упругих и пластических свойств кристаллитов (зерен, субзерен), а в силу этого – и особенности деформирования поликристаллов. В связи с этим остановимся на некоторых понятиях кристаллографии [93].

Элементы симметрии (плоскости, оси, центры) встречаются

вкристаллах в различных сочетаниях. Пусть решетка переходит сама

всебя при повороте вокруг некоторой оси на угол 2π /n (n = 1, 2, …); тогда данная ось называется осью симметрии или поворотной осью n-го порядка и обозначается как Сn. Если решетка переходит сама

всебя при повороте на угол 2π /n (n = 1, 2, …) вокруг некоторой оси и одновременном отражении относительно плоскости, перпендикулярной к этой оси, то последнюю называют зеркально-поворотной

осью n-го порядка и обозначают как Sn. В ФТТ показано, что поворотные и зеркально-поворотные оси (симметрии) кристалла могут быть только осями 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Существуют оси симметрии, которые являются единственными, не повторяющимися

спомощью операций симметрии, присущих данному кристаллу (например, отражения оси симметрии относительно плоскости симметрии). Такие направления называются особыми или единичными. К ним относится, например, ось 6-го порядка в шестигранной призме. В то же время в кубе вообще отсутствуют единичные направления, для любой оси симметрии можно найти эквивалентные ей направления.

По свойствам симметрии и числу единичных направлений кристаллы подразделяются на три категории: высшую, среднюю и низшую.

Квысшей категории относятся кристаллы, не имеющие особых направлений, имеющие несколько осей симметрии порядка выше второго. Анизотропия в таких кристаллах выражена слабее всего. Внешняя форма кристаллов высшей категории симметрии является «изометричной», т.е. развита примерно одинаково по всем направлениям (куб, октаэдр).

Кристаллы средней категории имеют одно особое направление – одну ось симметрии порядка выше второго. Анизотропия физических свойств более ярко выражена, особенно в направлениях

58

вдоль особой (главной) оси симметрии и перпендикулярно ей. Характерные формы кристаллов данной категории – призмы, пирамиды.

Книзшей категории относятся кристаллы, не имеющие осей симметрии порядка выше второго, и (или) обладающие несколькими особыми направлениями. Эти кристаллы имеют наиболее ярко выраженную анизотропию свойств.

Три категории кристаллов подразделяются на семь кристаллических систем или сингоний (сингония греч. – сходноугольность).

Всингонию объединяются типы кристаллов, имеющих одинаковую симметрию элементарных ячеек и одинаковый тип (кристаллографической) системы координат (КСК). В общем случае последние представляют собой косоугольные системы координат с различными масштабными отрезками вдоль разных осей. Отметим, что в кристаллографии используется только правая система координат. Выбор системы координат согласуется с симметрией рассматриваемого кристалла. Оси координат выбираются по осям симметрии или по нормалям к плоскостям симметрии, а при недостаточности этих элементов – по ребрам кристаллического многогранника (как в кристаллах низшей категории симметрии).

Квысшей категории относится одна сингония – кубическая. Кристаллографическая система координат здесь – декартова ортогональная.

Средняя категория содержит три сингонии – тригональную, тетрагональную и гексагональную. Кристаллографические системы координат в этом случае – косоугольные или ортогональная (для тетрагональной решетки) декартовы, в качестве одной из осей обычно принимается главная ось симметрии (особое направление). Ось Ox3 перпендикулярна плоскости Ox1x2, масштабные отрезки по осям Ox1 и Ox2 одинаковы, так что анизотропия кристаллов характеризуется обычно геометрическим параметром, равным отношению масштабов вдоль осей Ox3 и Ox1 (или Ox2).

Книзшей категории относятся три сингонии – ромбическая, моноклинная и триклинная. Система координат здесь или декартова ортогональная (для ромбической), или косоугольная декартова (для

59

моноклинной (с осью Ox3 перпендикулярной плоскости симметрии Ox1x2) и триклинной), с различными масштабами вдольвсех трехосей.

Остановимся подробнее на известных семи кристаллических системах (сингониях) и четырнадцати типах элементарных ячеек.

1.Триклинная система. Элементарная ячейка (рис. 3.2) в этом случае представляет произвольный параллелепипед (с ребрами различной длины и произвольными углами). Допустимые трансляции имеют различные длины и углы между векторами трансляции. Триклинная система не обладает поворотными осями (симметрии).

2.Моноклинная система. Элементарная ячейка (рис. 3.3) представляет собой прямоугольную призму, в основании которой лежит параллелограмм общего вида. Существуют два типа решетки данной

системы – простая Γ m и базоцентрированная (Γ′ m), образуемая из простой добавлением узлов в центры одной из пар параллельных прямоугольных граней. Голоэдрия моноклинной системы характеризуется наличием одной поворотной оси (симметрии) 2-го порядка (C2).

3. Орторомбическая (ромбическая) система. Элементарной ячейкой является прямоугольный параллелепипед с неравными ребрами. Существуют четыре типа решеток данной системы: простая (Γ v), базоцентрированная (Γ′ v), гранецентрированная (Γ′′ v) и объемноцентрированная (Γ′′′ v).

60