книги / Пьезокомпозиты и датчики в 3 ч. Ч. 1 Статистическая механика пьезокомпозитов

рис. 1.1, б, в соответственно; для гранулированного композита – из решения задачи о нагружении составной сферы (см. рис. 1.1, з).

Например, для поперечных диэлектрических проницаемостей *(1)11,*(2)11 однонаправленного двухфазного волокнистого композита [104]

Для полидисперсной волокнистой структуры (см. рис. 1.1, д) с трансверсально-изотропными диэлектрическими проницаемостями обеих фаз решение для эффективной диэлектрической проницаемости в плоскости изотропии r1r2

может быть получено из расчетной схемы: одиночное волокно с прослойкой матрицы толщиной в эффективной среде [34],

нагруженной поперечным, например вдоль оси r1, электрическим полем – как решение квадратного уравнения

a 11*2 + b 11* + c = 0,

в решении (2.5) которого

D = b2 − 4ac, a = b0 , b = a0 − b0 (2)11 − 4v1 11 , c = −a0 (2)11 ,

a0 = (1)11 + (2)11 + v0 11, b0 =1+ v0 + (1− v0 ) (1)11 / (2)11,

71

разность 11 = (1)11 − (2)11, диэлектрические проницаемости фаз

(1)11 , (2)11. Для случая, показанного на рис. 1.1, г, с отсутствием прослойки ( = 0) необходимо в решении (2.5) для эффективной

совпадает с решением Фойгта и не зависит от толщины прослойки, оператор осреднения по объему композита ... .

Формула Максвелла – Гарнета [9; 95] для эффективной диэлектрической проницаемости *33 двухфазного композита с эллипсоидальными включениями, главные полуоси которых a = b c ,

полуось c ориентирована вдоль оси r3 ; фактор деполяризации эллипсоида [9]

для случая 1:

72

A3 1− / 2

и при → 0 имеем A3 →1. Отметим, что для однонаправленного

волокнистого композита из формулы Максвелла – Гарнета (2.7) следует решение Фойгта (2.1).

В общем случае задача прогнозирования эффективных физи- ко-механических свойств композита сводится к постановке и решению соответствующих краевых задач для представительной микронеоднородной области V композита.

2.1. Определяющие соотношения на микро- и макроуровнях композита. Постановка связанной

краевой задачи электромагнитоупругости на микроуровне композита

Ненулевые компоненты рассматриваемых трансверсальноизотропных тензоров: упругих C, пьезоэлектрических e и пьезо-

магнитных h свойств, диэлектрических λ и магнитных μ проницаемостей, электромагнитных связанностей κ, температурных ко-

73

эффициентов β, пироэлектрических π и пиромагнитных постоянных представим в матричной форме записи

или через разложения

Cijmn = c12 ij mn + c66 ( im jn + in jm ) +

+(c11 + c33 − 2c13 − 4c44 ) i3 j3 m3 n3 +

+(c13 − c12 )( i3 j3 mn + ij m3 n3 ) +

+(c44 − c66 )( i3 m3 jn + j3 n3 im + i3 n3 jm + j3 m3 in ) ,

74

ekmn = e31 k 3 mn +

+(e33 − e31 − 2e15 ) k 3 m3 n3 + e15 ( kn m3 + km n3 ),

kn = 1 kn + ( 3 − 1 ) k 3 n3 ,kn = 1 kn + ( 3 − 1 ) k 3 n3 ,

k = 3 k 3 ,

где c66 = (c11 − c12 ) / 2, символы Кронекера

тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношения-

ми: 11→1, 22 → 2 , 33 → 3, 23 и 32 → 4 , 13 и 31→5 , 12 и 21→ 6.

Независимые компоненты тензоров упругих C , диэлектрических λ и пьезоэлектрических e свойств некоторых пьезоэлектрических материалов, в частности, трансверсально-изотропных керамик PZT, ЦТС, полимера PVDF, даны в [5; 29; 76; 102] с учетом равенств

Cijmn = Cmnij = Cjimn = Cijnm , eimn = einm , ij = ji ,

C2222 = C1111, C2233 = C1133 , C2323 = C1313 , C1212 = (C1111 −C1122 ) / 2 , e322 = e311 , e223 = e113 , 22 = 11 .

Пироэлектрический эффект имеет трансверсально-изотроп- ный пьезоэлектрик титанат бария с независимыми компонентами тензоров пьезоэлектроупругих свойств [9]:

75

Пьезомагнитный эффект проявляется у трансверсальноизотропного феррита [102], изотропные упругие свойства которого заданы через независимые компоненты тензора упругих свойств

трансверсально-изотропные магнитные свойства с осью симметрии r3 заданы через пьезомодули

Возможны разложения рассматриваемых трансверсально изотропных тензоров

Cijmn = c12 ij mn + c66 ( im jn + in jm ) ,

ekmn = e31 k 3 mn +

+(e33 − e31 − 2e15 ) k 3 m3 n3 + e15 ( kn m3 + km n3 ) ,

hkmn = h31 k 3 mn +

+(h33 − h31 − 2h15 ) k 3 m3 n3 + h15 ( kn m3 + km n3 ) + (2.14) +h14[ k1( m2 n3 + m3 n2 ) − k 2 ( m3 n1 + m1 n3 )],

kn = 1 kn + ( 3 − 1 ) k 3 n3 , kn = 1 kn + ( 3 − 1 ) k 3 n3 ,kn = 1 kn + ( 3 − 1 ) k 3 n3 ,

k = 3 k 3 , k = 3 k 3

с учетом связи c12 = c11 − 2c66 .

Представительная область V композита состоит из однородных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитных фаз, плоскости изотропии которых лежат в координатной плоскости

r1r2 , ось поляризации r3 . Для области V задан тензор однородной макродеформации ε* , векторы однородных макронапряженностей электрического E* и магнитного H* полей и однородное прира-

76

щение температуры , вызванное внешним нагревом. Выполня-

ются условия идеального контакта на межфазных поверхностях: непрерывность векторов перемещений, напряжений, индукций электрического и магнитного полей.

На структурном или «микро-» уровне представительной области V композита определяющие соотношения

ного B полей с деформациями ε , напряженностями электрического E и магнитного H полей через считающиеся известными для каждой фазы f тензоры упругих свойств C f , пьезоэлектрических

77

Тензоры эффективных свойств композита: C* , λ* , μ* , e* ,

и связывают осредненные или макроскопические значения напря-

где A(r) , B(r) ,…, T(2) (r) – коэффициенты разложений

78

ij (r) = Aijmn (r) *mn + Bijn (r)En* + Dijn (r)Hn* +Tij (r) ,

полей деформаций ε(r) , электрической E(r) и магнитной H(r)

напряженностей в представительной области композита V . Определяющие соотношения для пьезоактивных сред,

например на макроуровне композита (2.17), можно записать в виде

*ij = Sijmn* *mn + dnij* En* + bnij* Hn* + *ij ,

где тензоры эффективных упругих податливостей S* C*−1 и пьезоэлектромагнитных свойств

при σ* = 0 .

Постановка связанной краевой задачи электромагнитоупругости на микроуровне композита. Постановка связанной краевой задачи электромагнитоупругости для структурно неоднородного тела V с границей Γ состоит из уравнений равновесия

физических соотношений (2.15), соотношений Коши малых упругих деформаций

79

напряженностей и потенциалов электрического и магнитного полей, u* (r) , * (r) , * (r) и – заданные значения полей переме-

щений, электрического и магнитного потенциалов на границе и температура внешнего нагрева представительной области V . Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях: непрерывность векторов перемещений, напряжений, индукций электрического и магнитного полей в представительной области композита V .

Таким образом, вычисление тензоров C* , …, * (2.17),

(2.20), (2.21) эффективных свойств пьезокомпозита в общем случае сводится к решению связанной стохастической краевой задачи электромагнитоупругости с быстро осциллирующими коэффициентами (2.15) в представительной области V с границей Γ

(r) потенциалов. Эти поля в силу линейности задачи (2.27) будут

80