книги / Основы теории цепей. Ч. 1

Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше

При расчетах электрических цепей находит применение реак-

тивная мощность Q:

которая положительна при индуктивном характере цепи (ϕ > 0) и отрицательна при емкостном характере цепи (ϕ < 0). Единицу мощности вприменениикизмерениюреактивноймощностиназываютвар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями

Как следует из формул, для повышения коэффициента мощности приемника нужно уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии в единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, рассматривают ее как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией, Wp = Qt (вар ч), на практике измеряют счетчиками.

Введем понятие комплексной мощности. Для того чтобы получить полную, активную и реактивную мощности из известных комплексов тока и напряжения, используют следующие соотношения:

111

S% =U& I =Ue jψu Ie− jψi =UIe j (ψu −ψi ) =UIe jϕ = (3.56) =UI cos ϕ+ jUI sin ϕ = P + jQ,

*

где S%– комплексная мощность, I – сопряженное значение тока. Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощно-

сти равна активной мощности, а мнимая часть – реактивной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S:

Рассмотримкомплексныемощностидляразличныхпотребителей:

– для активного сопротивления:

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых мощностей равна сумме всех получаемых мощностей. Рассмотрим, как соблюдается баланс для комплексных мощностей, а следовательно, и для реактивных мощностей.

112

Пусть общее число узлов схемы равно n. Запишем для каждого узла уравнение по I закону Кирхгофа для комплексных сопряженных токов:

Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел (здесь узел – место соединения не менее двух ветвей) связан с остальными n – 1 узлами. При отсутствии каких-либо ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях становятся равными нулю. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается.

Умножим каждое уравнение (3.61) на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение:

Просуммируем все уравнения (3.62) с учетом того, что сопряженные комплексные токи входят в эти уравнения дважды (для двух раз-

113

В этом выражении столько слагаемых, сколько ветвей, и каждое слагаемое представляет собой комплексную мощность ветви S%i .

Таким образом, сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях равна нулю. Полученное равенство выражает баланс мощностей S% = 0 . Из него следует равенство нулю в отдельности суммы определяемых активных и суммы определяемых реактивных мощностей.

Следует отметить, что взаимное

сти отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощно-

При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.

3.4.5. Метод контурных токов

Алгоритм расчета цепей гармонического тока методом контурных токов аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока (глава 2.3.2) с поправкой на символический метод.

При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида

114

I& – матрица-столбец контурных токов;

ii

E& – матрица-столбец контурных ЭДС.

ii

Пример. В цепи на рис. 3.25 гармонические источники ЭДС

I&1 = I&11 , I&2 = I&11 − I&22 , I&3 = I&22 .

115

3.4.6. Метод узловых потенциалов

Алгоритм расчета цепей гармонического тока методом узловых потенциалов аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока (глава 2.3.3) с поправкой на символический метод.

При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида

Y ij (i= j ) – собственнаякомплекснаяпроводимость,

Y ij (i≠ j ) – общая комплексная проводимость ветвей, соединяющих i и j узлы;

[ϕ&i ] – матрица-столбец потенциалов;

J& – матрица-столбец узловых токов.

ii

Для представленной цепи на рис. 3.25 система уравнений вырождается в одно уравнение, поскольку в цепи два узла.

ϕ&2 = 0, ϕ&1 = J&11 ,

Y 11

3.4.7. Метод наложения

Алгоритм расчета аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока (глава 2.3.4). Рассмотрим применение этого метода на примере схемы на рис. 3.25, которую можно заменить на две составляющие подсхемы (рис. 3.26):

116

ток на заданной схеме (см. рис. 3.25). Для нахождения U&ХХ записывается II закон Кирхгофа для контура, содержащего U&ХХ , в соответствии с направлением обхода, указанным на рис. 3.27.

118

Решение

1. Перейдем от мгновенного значения тока к комплексному

(п. 3.3.1).

Комплекс тока: I& = Im e jψi = 10 e j 30° = 7,07 30° А.

22

2.Найдем комплексные сопротивления реактивных элементов:

3. По закону Ома в символической форме (п. 3.3.2) найдем комплексы напряжений на элементах схемы:

U&R = RI& = 5 7,07e j 30° = 35,35e j 30° В;

U&L = jX L I& = j15 7, 07e j 30° =106e j120° В;

U&C = − jXC I&= − j10 7,07e j 30° = 70,7e− j 60° В.

4. По известным комплексам напряжений найдем мгновенные значения напряжений:

uR (t) = 35,35 2 sin(314t + 30°) В; uL (t) = 106 2 sin(314t + 120°) В;

uC (t) = 70, 7 2 sin(314t − 60°) В. 5. Векторная диаграмма цепи. При построении векторной диа-

граммы (рис. 3.29) вектора напряжений и токов откладываются из начала координат комплексной плоскости.

119

Построение топографической диаграммы начинают с того, что потенциал одной из точек цепи принимают за 0, а затем, обходя цепь в каком-либо направлении, подсчитывают потенциалы всех точек цепи и отображают их на комплексной плоскости.

120