книги / Неупругое поведение оболочек
..pdf42 |
4. Установившаяся |
ползучесть |
Из условия |
несжимаемости |
ё** = 0 находим ёг;ёг;- = |
= ® р® р + ёааёрр. Следовательно,
~+ ^ао^рр 4" ^х3(^ар'^ар + ^аа^рр) 4“
Х3 (^ар^ар 4* ^аа^рр) = ^ L 4* ^ Х3? KL 4* Х 3?К ~ |
(4*3) |
где PL, PKL, Рк — скалярные величины, равные квад ратичным формам от скоростей деформаций у сре динной поверхности оболочки. Используя (4.3) и (2.40), получаем следующие выражения для резуль тирующих сил и результирующих моментов:
Nap |
(\ip 4” |
^*4“ (^ар 4” ^YV^ap) Ль |
(4*4) |
|||
^ap = (^ap 4"*Яуубар)/г + (Лар + >с^-убар) /3, |
(4.5) |
|||||
где |
|
|
|
Я |
JC3 dx3 |
|
|
|
|
1 |
|
||
1 |
Г |
dx3 |
Г |
|
||
дп |
J р(п-\)12п |
/о Вп |
J |
p(rt-D/2fi » |
|
|
|
|
Я |
* л |
|
|
(4.6) |
|
|
|
|
|
||
|
|
Г |
x 3 d x3 |
|
|
|
|
|
J |
р(«-1)/2« * |
|
|
|
Из приведенных соотношений видно, что мембран ные усилия и изгибающие моменты связаны с соот ветствующими скоростями деформаций более слож-. ным образом, чем это следует из простого принципа суперпозиции, согласно которому моменты зависят
только от скоростей кривизны хар, а мембранные уси лия— только от скоростей удлинений Я,ар. Это вы
звано нелинейностью распределения Р по толщине оболочки. Интегралы (4.6) можно оценить для конк ретных видов функций (4.3); физически они анало-» гичны площади, первому и второму моментам попе речного сечения. В общем случае, однако, уравнения нелинейной ползучести можно решить либо прибли женными методами, либо путем введения упрощен ных (линеаризированных) уравнений ползучести (см. также работы: Одквист и Хулт [4.31], И. И. Гольденблат и Н. А. Николаенко [4.19]). Уравнения (4.4) — (4.6) показывают, что в условиях установившейся
4.1. Определяющие уравнения для оболочек |
43 |
ползучести имеет место перераспределение напряже ний в оболочках.
Недавно были предприняты попытки |
учета анизо |
тропности ползучести. Исчерпывающий |
обзор работ |
по анизотропной ползучести дан Н. И. |
Малининым |
[4.29]. Линеаризированные соотношения анизотроп ности, аналогичные соотношению (2.21), изучал О. В. Соснин [4.42]. Чтобы показать известные специ фические особенности нелинейной ползучести и про демонстрировать возможные методы линеаризации за дач ползучести, выразим переменные для оболочек через функцию диссипации с применением фундамен тального соотношения (2.18). Так как д (st-jSi3-/dsfJ-= = 2Sjj, то после сравнения этого соотношения с ра венством (2.18) становится ясным, что эту послед нюю зависимость можно записать в виде
% = |
|
|
*«“ 0. |
(4-7) |
|
Если рассматривать F = |
l/2f • |
в |
качестве по |
||
тенциальной поверхности |
для скоростей |
ползучести, |
|||
то закон ползучести можно |
записать в форме |
|
|||
*</-/(»,/. г> 1 |
^ - |
*и~°. |
|
(4-8) |
|
где f(ciij,i) — скалярная |
функция, задающая |
вели-* |
|||
чину вектора скорости деформации, направление ко торого определяется выражением dF/doij и ортого нально поверхности Следует заметить, что функцию F можно интерпретировать как диссипатив ный потенциал, так как умножение обеих частей
(2.19) на Sij приводит к равенству |
|
f (оц) sijsl} = kijsu = вцОи = dv = 2fF, |
(4.9) |
которое эквивалентно соотношению (2.29) для ползу чести. Очевидно, однако, что для нелинейного закона ползучести (2.20) диссипативная функция dv и дисси пативный потенциал F связаны посредством (4.9) с конкретной функцией /, заменяющей выражения
44 4. Установившаяся ползучесть
типа (2.34). В частном случае (2.21) имеем тожде ство
= |
<4 - 1 0 > |
Если записать уравнение (4.9) в форме, пригодной для оболочек, и использовать соотношения (2.40) и (2.43), то плотность диссипации на единицу площади
срединной поверхности оболочки принимает |
вид |
D = Jн dv dxз = Mttp&ap + Nap^ap* |
(4.11) |
- H |
|
Функция F связана с плотностью диссипации D (на единицу площади срединной поверхности оболочки) соотношением
F = п | j (Map^ap + ^ap^ap)- |
(4.12) |
Обобщая понятие о потенциалах ползучести на произ вольную функцию результирующих сил F (Nafi, Map),
а не только на те функции, которые следуют из усло вия 2F = fSijSij, получаем систему ассоциированных уравнений течения для скоростей ползучести
Если F является линейной функцией результирующих сил, то линеаризуются уравнения, связывающие ско рости ползучести с перемещениями (кусочно-линей ные потенциалы). Такой подход к теории стационар ной ползучести развивался на основе теорий предель ного равновесия и закона пластического потенциала, обобщенного на нерегулярные критерии текучести [4.32, 4.49].
Понятие о диссипативных потенциалах использо вали Друккер и Калладайн [4.10] также для развития метода расчета оболочек, основанного на «вложен ных поверхностях», так как все потенциалы содер жатся внутри друг друга в силу экспоненциального возрастания ползучести. Потенциалы «вложенных по верхностей» можно применять для получения оценок границ ползучести подобно тому, как пластические
4.2. Примеры решений |
45 |
потенциалы приводят к оценкам границ для нагруз-ки в теории предельного равновесия.
Приложение вариационных методов к исследова нию установившейся ползучести обсуждалось в ра боте [4.26] и использовалось в задачах для оболочек И. Г. Терегуловым [4.46, 4.47]. Упругие аналогии пол зучести рассматривали Хофф [4.20] и Одквист [4.30].
4.2. Примеры решений
Принятие нелинейных соотношений между напря жениями и скоростями деформаций в форме (4.2) приводит к значительным различиям в распределе нии напряжений для оболочек при упругом поведе нии и в случае установившейся ползучести. Этот эф фект становится более заметным с повышением нелинейности определяющих уравнений. Для проек тирования конструкций представляет интерес другая задача, состоящая в оценке зависимости между нагрузками и перемещениями. Нилее обсулсдаются не которые результаты, относящиеся к этим двум аспек там решения граничных задач для оболочек при на личии ползучести.
Биник и Фрейденталь [4.3] изучали влияние нели нейной ползучести на распределение результирующих усилий в цилиндрических оболочках без концевой на грузки. Интересно проиллюстрировать на этом типич ном примере частный вид соотношений (4.4) и (4.5) и метод получения приблилсенных решений с исполь зованием диссипативных потенциалов. Исследование работы [4.3] основано на некоторых упрощающих пред положениях, относящихся к соотношениям между ре зультирующими силами и скоростями деформаций (4.4) — (4.6), а именно принимается ёф = 0. Кроме того, предполагается, что напрял<ения изгиба не влияют на окружную деформацию. В обычной систе ме цилиндрических координат (г, ф, х) с началом на конце оболочки эти предпололсения позволяют при вести соотношения (4.1) к виду
(4. 14)
46 |
4. Установившаяся ползучесть |
при условии, что зависимость напряжений от скоро сти деформации е = kan применима к одноосному со стоянию. Теперь можно вычислить соответствующие «жесткости» 1\ и /3, используя (4.14), (4.3) и (4.6). Таким образом, соотношения между результирующими усилиями и скоростями деформаций получаются в виде
Мр = 2Hk~l,ne]jn,
г*Г , (4.15)
где 2# — толщина оболочки. Для решения частной задачи о «краевом эффекте» в длинной шарнирной цилиндрической оболочке, подверженной равномер ному давлению р, был применен следующий вариа ционный метод: находилась функция скорости ра диальных перемещений w, которая минимизирует выражение (2.38). Используя (4.10), (4.12) и (4.15), запишем частную форму внутренней диссипации в (2.38) в виде
2nR J |
№ *** + ^<А> - p w ) d x - ^ min, (4.16) |
о |
|
где R — радиус цилиндра. Для цилиндрической обо лочки тензоры скоростей кривизны Лар и скоростей
удлинений Лар связаны со скоростями перемещений следующим образом:
кх = d2wfdx2, Лф = 0, Яф = w/R.
Следовательно^ если мы зададимся какой-либо.кине матически допустимой величиной w, т. е. функцией скорости, удовлетворяющей кинематическим гранич ным условиям, то мы сможем выразить (4.16) через скорости перемещений и параметры, определенные из условия минимума. Например, в работе [4.3] для защемленной оболочки предполагается, что
w {х) = w0[1 —е~Ъх(cos р* + sin p*)]>
Р = ]/3 (1 —v2) (2HR)2.
4.2. Примеры решений |
47 |
||
Это — выражение |
для упругого |
перемещения, |
где |
р — параметр, определяемый из |
условия минимума |
||
(4.16). На рис. 4.1 |
(взятом из работы [4.3]) приве |
||
дены сравнительные диаграммы |
распределения |
ок |
|
ружных усилий и осевых моментов для защемленной
Р и с . 4.1. Приближенное изменение осевых моментов и окруж ных усилий в цилиндрической оболочке при установившейся ползучести [4.3].
а.По осп абсцисс: безразмерный осевой момент.
б.По оси абсцисс: безразмерное окружное усилие.
оболочки, удовлетворяющей закону ползучести (4.14) при п = 1, 3 и 5 соответственно. Видно, что по срав нению с упругим решением (я = 1 ), максимальный момент уменьшается, а область, где влияние из гиба существенно, увеличивается. Ввиду упрощаю щих предположений, приведших к (4.14), эти ре зультаты не отражают, однако, полностью процесса
48 4. Установившаяся ползучесть
перераспределения напряжений, который описывается исходными соотношениями (4.4) и (4.6).. Подобный метод применял В. И. Розеиблюм [4.39] с целью по лучения приближенных зависимостей между нагрузка ми и перемещениями для цилиндрических оболочек.
Козарелли, Патель и Венкатраман [4.12] исследо вали такое же приближение применительно к трех слойным оболочкам для оценки (4.4) и (4.5); при этом они решили результирующую систему нелиней ных уравнений для скоростей перемещений численно. Из их анализа следует, что изгибающий момент отли чается от приведенного на рис. 4.1 момента, который уменьшается быстрее: Однако трехслойное приближе ние не позволяет сделать заключения более общего характера.
Другой пример, касающийся краевого эффекта, исследовал Калладайн [4.8], который численно решил нелинейную систему уравнений (4.4) совместно с со ответствующими уравнениями равновесия и соотно шениями между деформациями и перемещениями. Для полубесконечной круговой цилиндрической обо лочки без осевой нагрузки (Nx = 0), на конце кото рой заданы единичный угол поворота и нулевые пере
мещения (т. е. при граничных |
условиях |
г£(0) = 0, |
дгЬ(0) !дх = 1 и р(х) = 0), были |
получены |
распреде |
ления изгибающих моментов, окружных усилий и перемещений [4.8]. Так как в случае закона ползуче сти (4.14) принцип суперпозиции не выполняется, упо мянутые результаты имеют ограниченное применение для более общих типов нагрузки, когда представляет интерес результирующее распределение напряжений при р(х)Ф 0. Идея об определении границ, характе ризующих состояние ползучести, развитая в работах [4.9, 4.10], приобретает очень важное-значение.
Джемма [4.13] проанализировал деформации ци линдрических оболочек в режиме ползучести, исполь зуя определяющее уравнение (4.1). Если кривизны и удлинения срединной поверхности оболочки выра жены через скорости радиальных перемещений w, то обнаруживается, что обращается в нуль смешанная
4.2. Примеры решений |
49 |
квадратичная форма в (4.3) и, кроме того, величина /2, определяемая в (4.6). Таким образом, распреде ление скалярной величины (ё/7ё,у) по толщине обо
лочки симметрично. Следовательно, соотношения (4.4) и (4.5) выражаются только через w. Подстановка соответствующих выражений в уравнение равновесия цилиндрической оболочки
приводит к следующему уравнению для скорости пе
ремещений: |
■та-[#Г+РМ*- |
0. |
18)W- |
|
где (5 — соответствующая константа, зависящая от по |
||||
казателя п в |
(4.1) и толщины оболочки. Если выпи |
|||
сать подобное уравнение для линейной упругой обо |
||||
лочки |
^ г |
+ <ш = 0, |
|
(4.19) |
|
|
|||
где а = 3fl2(l — v2)/# 2; |
2// — толщина оболочки; f l |
|||
ee радиус, то различие между полями деформаций |
||||
при установившейся ползучести и линейной упруго |
||||
сти станет очевидным. В частном случае полубеско- |
||||
нечной цилиндрической оболочки, нагруженной на |
||||
конце, решение (4.18) для больших п (п > 1 ) |
дано в |
|||
работе [4.13]. В более поздней статье того же автора [4.14] представлено решение при произвольном зна чении показателя п (см. также [4.15]). Ползучесть ци линдрических оболочек изучали И. В. Спасенко [4.43], Б. В. Зверьков [4.50], Л. М. Качанов [4.24, 4.25], Поритский [4.33] и Калладайн [4.6, 4.7]. Бейли [4.2] и В. И. Розенблюм [4.37] одними из первых начали ис следования в области нелинейной ползучести обо
лочек.
Приложением кусочно-линейных диссипативных потенциалов к задачам ползучести круговых цилинд рических оболочек занимались Онат и Юксель [4.32]. Примененный ими метод сходен с методами теории
4 Зак. В|
50 4. Установившаяся ползучесть
предельного равновесия (разд. 6). Предположим, что при ползучести результирующие усилия связаны ли нейным уравнением
Мх + аЛГф = qpF. |
(4.20) |
Если уравнение (4.20) определяет диссипативную функцию ползучести (4.1 Г),то F — диссипативный по тенциал (4.12), тогда как ср — величина вектора те чения, зависящая от показателя в соотношении (2.21) между напряжениями и скоростями деформаций. Применяя к (4.20) закон течения пластического по тенциала (4.13), можно найти выражение для отно
шения окружного удлинения Лф к осевой кривизне кх в виде
Яф/х* = а, |
(4.21) |
где а — соответствующая постоянная, определяющая наклон F-линий на плоскости (Мх, Мф). Так как за*
висимость деформаций от перемещений для симмет рично нагруженных цилиндрических оболочек имеет
вид хх = d2w/dx2, Яф = wR, уравнение для |
скорости |
перемещений принимает форму |
|
w" —w/(Ra) = 0. |
(4.22) |
Его решение в зависимости от знака а выражается через тригонометрические или гиперболические фуню*
Уравнения поля напряжений зависят от функции ф. Так как соотношение (4.10) совместно с условием равновесия (4.17) образует полную систему для оп ределения результирующих сил, то после преобразо ваний находим
d2Mx |
q)F |
(4.23) |
dx2 |
|
|
|
|
Если результирующие силы связаны с потенциалом ползучести уравнениями типа (4.20) в ограниченной замкнутой области, то соответствующие уравнения для профиля напряжений должны быть выбраны так, чтобы были удовлетворены действительные гранич ные условия. В работе [4.32] этот подход применялся
4.2. Примеры решений |
51 |
к трехслойным оболочкам, материал которых удов летворяет закону установившейся ползучести ё= kd* при одноосном напряжении, а функция F пропорцио нальна функции, определяющей шестиугольник те кучести Кулона—Треска для трехслойных оболочек. При этом ср выражается непосредственно через гр, а так как ги известно из уравнений вида (4.22), то ока зывается, что соотношение (4.23) можно проинтегри ровать. Для равномерно нагруженной свободно опер той оболочки длиной L и толщиной 2Н было найдено, что
(4.24)
где k — константа материала, входящая в зависи мость напряжений от скоростей деформаций; б — не которая постоянная.
Однако в практических расчетах метод кусочно линейных диссипативных потенциалов, как правило, требует для удовлетворения заданных граничных ус ловий затраты значительных усилий, вызванных не обходимостью подбора различных граней гиперприз мы взаимодействия напряжений.
Деформации ползучести осесимметричных мем бранных оболочек исследовали Л. М. Качанов [4.26], Джемма и Варфилд [4.16]. В работе [4.16] даны вы ражения для перемещений замкнутой эллипсоидаль ной оболочки, подверженной однородному давлению, когда материал оболочки удовлетворяет степенному закону ползучести (4.1). Деформации мембранных оболочек изучали Козарелли и Патель [4.11]. Вслед ствие статической определимости мембранных оболо чек при соответствующих граничных условиях во мно гих случаях легко найти деформации.
Уравнения (4.1) можно использовать для проекти рования мембранных оболочек, удовлетворяющих требованию постоянной скорости ползучести (обо лочки «постоянного сопротивления ползучести» [4.26]), т. е. при iifiij = const. Так как ввиду (2.19) такое
4*