книги / Моделирование технологического оборудования
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
С.П. Никитин
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ
Допущено Учебно-методическим объединением по образова нию в области автоматизированного машиностроения (УМО AM) в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Техно логия, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и специальностям: «Технология машинострое ния»; «Металлорежущие станки и инструменты»; «Инстру ментальные системы интегрированных машиностроительных производств» (направление подготовки дипломированных специалистов - «Конструкторско-технологическое обеспече ние машиностроительных производств»): «Автоматизация технологических процессов и производств (в машинострое нии)» (направление подготовки дипломированных специали стов - «Автоматизированные технологии и производства»)
Пермь 2001
УДК 621.9:531.3:001.5 ББК 34.5-5 Н62
Рецензенты: начальник лаборатории шлифования АО «Пермские моторы», доктор технических наук В. Ф.Макаров; кандидат технических наук, доцент А.И.Лурье; кан дидат технических наук, доцент А.И.Горчаков
Никитин С.П.
Н62 Моделирование технологического оборудования: Учеб, пособие / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2001. - 139с.
ISBN 5-88151-325-8
Изложены вопросы исследования динамики технологического оборудования на осно ве математических моделей, полученных методом прямой аналогии. Даны основы мето да прямой аналогии, представлены математические модели основных уз.1°в и рабочих процессов в технологическом оборудовании, приведены примеры расчет3 конкретных узлов технологического оборудования и результаты исследований. Пособие Может быи, полезно научным работникам и инженерам, специализирующимся в области проектиро вания технологического оборудования, а также аспирантам.
|
УДК 621.9:531.3:001.5 |
|
ББК 34 5-5 |
ISBN 5-88151-325-8 |
© Пермский государственный |
технический университет, 2001 |
ВВЕДЕНИЕ
Точность и производительность технологического оборудования и про цессов во многом определяют эффективность машиностроительного производ ства и качество выпускаемой продукции. Постоянный рост требований к каче ству продукции ведет к усложнению технологического оборудования. Оно на сыщается различными устройствами и системами автоматизации, измеритель ными средствами, сервомеханизмами, новыми инструментами, материалами и процессами. Это требует согласования работы этих устройств в рамках единой системы, точной информации о их поведении при реальных условиях эксплу; тации.
В настоящее время для решения этих задач на этапе проектирования ши роко используют математические методы исследований, т.е. исследования на основе математических моделей.
Различают первичные и вторичные математические модели. Вторичная математическая модель представляет собой основу расчетной методики. Ис пользуя эту методику, конструктор получает необходимую информацию для принятия технического решения. Чаще всего она имеет вид ф>нкцнональной зависимости между требуемым выходным параметром и конструктивными па раметрами системы. Вторичная математическая модель является результатом исследования другой, более сложной, первичной модели. Первичная математи ческая модель отражает структуру изучаемой системы и происходящие в ней физические процессы и строится на основе подобия.
Процесс получения информации об тучаемой сисшс |
ее свойствах на |
основе исследования по первичной математической иоОет называют мате матическим моделированием.
Для исследований современных технологических систем использую! многоуровневый подход, соответствующий сложившейся иерархии процесса проектирования: метауровень, макроуровень и микроуровепь моделирования. Каждому из уровней соответствуют свои цеди, расчетные методики, математи ческий аппарат. Данное пособие посвящено макроуровню математического мо делирования, позволяющему на этапе эскизного проектирования получить не обходимую информацию о поведении системы.
Современное технологическое оборудование и его отдельные \ иы явля ются сложными техническими системами, состоящими из подсистем различной физической природы: механических, электрических, гидравлических, ппевматическиК' тепловых. Математические модели, описывающие повеление них подсистем на макроуровне, представляют собой системы обыкновенных диф ференциальных уравнений.
Процесс математического моделирования можно разбить на два этапа: создание первичной математической модели: анализ первичной математиче ской моДели и получение вторичной математической модели. На обоих этапах в последней время все больше используют цифровые вычисли тельные машины.
которые обладают большой универсальностью, значительной точностью и дос таточным быстродействием.
Для создания математических моделей в пособии использован метод пря мой аналогии, позволяющий на основе принятой символики и формальных пра вил значительно упростить процесс получения математической модели и ото бразить динамические процессы в разнородной физической системе. При ана лизе математической модели применяется операторный способ решения обык новенных дифференциальных уравнений. Такой подход позволяет методами математического моделирования на цифровой вычислительной машине решать все задачи статики и динамики технологического оборудования и его узлов, механизмов и систем управления: анализировать стационарные режимы дина мических систем при периодических и случайных воздействиях; рассчитывать переходные режимы в механизмах; находить границы устойчивости замкнутых динамических систем; решать вопросы синтеза оптимальных структур и опти мального управления.
В пособии представлен алгоритм получения математических моделей ме тодом прямой аналогии, включающий в себя: создание механической цепи, от ражающей специфику разнородных физических подсистем; переход к эквива лентной схеме, отражающей разнородные физические подсистемы на основе аналогий с единых позиций; составление по эквивалентной схеме уравнений, описывающих динамику в исходной системе. Для отображения физических яв лений предложен набор основных элементов и их математические модели.
Рассмотрены:
а) механические цепи, эквивалентные схемы и математические модели типовых узлов физических систем: рычажная система, схема взаимодействия твердых тел, изгиб стержня;
б) механические цепи, эквивалентные схемы и математические модели ос новных узлов и процессов в технологическом оборудовании: шпиндельный узел, механический привод, гидропривод, процесс трения, процесс резания:
в) механические цепи, эквивалентные схемы и математические модели динамической системы, а также процесс резания пдоскодоподочного стайка.
Проведен анализ влияния параметров процесса резания на динамику тех нологической системы.
1.РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
1.1.Основы метода прямой аналогии
1.1.1. Сущность метода
Особенностью колебательных движений различных физических систем является то, что они описываются одинаковыми математическими уравнения ми. Поэтому свойства одной физической системы, установленные на основе ис следования ее дифференциальных уравнений, можно распространить на любые другие физические системы, описываемые теми же дифференциальными урав нениями. Такие физические системы называют аналоговыми.
Использование аналогий повышает универсальность математических моделей и позволяет использовать методы анализа, разработанные для одной из систем, для других систем.
Наибольшее распространение при математическом моделировании сис тем [22,30,31] находит метод на основе электрических аналогий, т.е. представ ление физических подсистем в виде эквивалентной электрической цепи. В этом случае моделирование исходной физической системы производится по элемен там, т.е. так, что каждому из физических элементов натуры в модели соответст вует определенный изображающий его эквивалент.
1.1.2. Основные принципы метода прямой аналогии
Все формализованные методы моделирования технических систем на макроуровне заключаются в том, что моделируемый объект разбивается на элементы, устанавливаются физические законы, действующие в данном объек те и выражающие связи между однотипными фазовыми переменными. Разли чие между формализованными методами заключается в способе разбиения объ екта на элементы, выборе законов и фазовых переменных. Метод прямой ана логии базируется на следующих положениях:
1.Моделируемый технический объект разделяется на подсистемы, одно родные по характеру протекания в них процессов. Различаются механические, электрические, гидравлические, тепловые и другие подсистемы.
2.Состояние каждой подсистемы описывается множеством фазовых пе ременных, которые могут быть двух типов: переменные потока (/), переменные
потенциала (СО.
3.Структура каждой подсистемы представляется множеством элементов
исвязей между ними. Элементы могут быть простыми и сложными.
4.Свойства элемента задаются его математической моделью, выражаю щей взаимозависимости между фазовыми переменными разного типа (потока и потенциала). Эти выражения называются компонентными уравнениями.
5.Математическая модель объекта есть совокупность компонентных п топологических уравнений. Топологические уравнения представляют собой связи элементов друг с другом, т.е. уравнения, связывающие однотипные фазо
вые переменные элеМен гов.
Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для боль шинства систем различной физической природы, что обусловлено аналогией разнородных физических подсистем.
Компонентные уравнения специфичны для каждого конкретного элемента физической подсистемы. Это могут быть уравнения линейные или нелинейные, алгебраические, обыкновенные дифференциальные или интегральные. Компо нентные уравнения получают либо на основе фундаментальных законов приро ды, либо теоретическим или физическим макетированием, либо математиче ским моделированием на микроуровне. Нахождение компонентных уравнений - задача нетривиальная и трудоемкая, но решение этой задачи осуществляется однажды.
Топологические уравнения получают на основе сведений о структуре объ екта и разрабатывают в связи с этим для каждого нового объекта вновь. Фор мирование топологических уравнений во многом формализовано.
Разработку математической модели методом прямой аналогии разбивают на ряд этапов:
1.Выделяют в исходном объекте однородные физические подсистемы (механическую, гидравлическую, электрическую и т д.)*
2.Строят эквивалентные схемы для каждой из подсистем.
3.Устанавливают связи между подсистемами и объединяют подсистемы в
одну.
4.По объединенной эквивалентной схеме пишут математическую модель объекта.
1.1.3. Выделение в исходном объекте однородных физических подсистем
Процесс разделения исходного объекта на подсистемы, однородные по протекающим в них физическим явлениям, требует определить законы и фазо вые переменные для каждой из подсистем, найти аналогии между ними.
В прошлом искали аналогии новым и мало изученным в то время элек трическим явлениям в области более известных механических, гидравлических и тепловых явлений. В наши дни мы ищем уже в электротехнике аналогии дру гим физическим явлениям. Первыми были разработаны электромеханические аналогии.
Первая система электромеханических аналогий была создана Максвел лом (1831 - 1879). Он принял в качестве обобщенных координат в электриче ской подсистеме электрические заряды. В соответствии с этим в первой систе ме электромеханических аналогий переменная потока (/) в эквивалентной схеме
-аналог скорости (и) в механической подсистеме, а переменная потенциала (if)
-аналог силы (F).
Позже была введена вторая система электромеханических аналогий, при которой переменная потока в эквивалентной схеме (/) является аналогом силы
(F) в механической системе, а переменная потенциала (U) —аналогом скорости (v).
Кроме электромеханических, существуют электроакустические, электротепловые, электрогидравлические и другие аналогии между электрическими и физическими явлениями. Так как аналогия между явлениями устанавливается по уравнениям, то можно обобщить метод электроаналогий и использовать его в качестве метода получения и исследования математических моделей разно родных физических систем. Если с точки зрения математики результат решения поставленной задачи не зависит от выбора системы аналогий, то наглядность, удобство разработки и анализа математическрй модели во многом определяют ся выбранной системой аналогий. Поэтому можно указать предпочтительные системы аналогий для каждой из физических подсистем. Рассмотрим основные технические подсистемы с точки зрения аналогий компонентных и топологиче ских уравнений.
Электрическая подсистема
Основными Фазовыми переменными электрической подсистемы являются токи / и напряжения U.
Основные элементы этой подсистемы - резистор, емкость, индуктив ность, источники тока и напряжения, трансформаторы и т.д.
Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента рези стор отражает зависимость силы тока в ветви от падения напряжения на этом
элементе (закон Ома): |
|
|
|
I= U /R , |
(1.1) |
где |
R - электрическое сопротивление. |
|
|
Уравнение элемента емкость связывает силу тока и падение напряжения |
|
на этом элементе: |
|
|
|
/ = С (dU / d/), |
( 1.2) |
где |
С - электрическая емкость. |
|
|
Уравнение элемента индуктивность отражает зависимость тока индукции |
|
от падения напряжения на этом элементе: |
|
|
|
I = (\/L) l Udt, |
(1.3) |
где L - электрическая индуктивность.
Топологические уравнения. Роль топологических уравнений в электриче ской подсистеме играют уравнения законов Кирхгофа.
Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю сум мы токов в узлах схемы (уравнение равновесия), т.е.
£ / * = о . |
(1.4) |
|
где h - ток в ветви;
п - количество ветвей, образующих узел.
Уравнение второго закона Кирхгофа указывает, что сумма падений на пряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному конту ру равна нулю (уравнение непрерывности), т.е.
|
/» |
|
|
1 С /,= 0, |
(1.5) |
|
У=1 |
|
где |
j - номер ветви; |
|
|
Uj—падение напряжения вj - й ветви схемы, входящей в контур; |
|
|
п - количество ветвей, входящих в контур. |
|
|
Механическая поступательная подсистема |
|
|
Основными фазовыми переменными механической поступательной под |
|
системы являются силы F и линейные скорости и, аналоги соответственно то |
||
ков и напряжений. |
|
|
|
Основные элементы этой подсистемы - |
элементы массы, отображающие |
свойство инерционности; пружины, отображающие свойство упругости; эле менты сопротивления, отображающие потери механической энергии на трение.
Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента со противление отражает зависимость силы сопротивления от скорости скольже
ния: |
|
F = u /R м, |
(1.6) |
|
|
||
где |
Rsl= 1/ h - линейное сопротивление поступательному |
движению |
|
|
|
(аналог электрического сопротивления); |
|
|
|
Н - коэффициент вязкого трения. |
|
|
Уравнение элемента масса отражает зависимость силы инерции ог вели |
||
чины ускорения (второй закон Ньютона): |
|
||
|
|
F= та =См(сЬ / dt)% |
(1.7) |
где |
См —т —инерционная масса элемента (аналог электрической емко |
||
|
|
сти); |
|
|
а = du / dt - ускорение. |
|
|
|
Уравнение элемента пружина отражает зависимость силы упругости oi |
||
величины сжатия элемента: |
|
||
|
|
F = ( 1/Z.M) -J и dt = k.x. |
( 1.8) |
где |
k - |
1/Z.M- жесткость пружины; |
|
|
л* = J и dt - перемещение; |
|
|
|
Lsx |
- податливость пружины (аналог элект рической индуктив |
|
ности). |
|
|
|
Для отображения упругости участка типа стержня при его растяжении или сжатии жесткость пружинного элемента определяется выражением
|
k =ES/l, |
(1.9) |
где |
Е - модуль упругости первого рода (Юнга); |
|
|
S - площадь поперечного сечения рассматриваемого участка; |
|
|
/ - длина участка. |
|
|
Топологические уравнения. Аналогом уравнения первого закона Кирхго |
|
фа в механической поступательной системе выступает уравнение равновесия сил, действующих на рассматриваемое тело (уравнение равновесия). Это урав нение выражает принцип Даламбера.
|
1 ^ = 0, |
|
( 1.10) |
где |
Fk- к-я сила, приложенная к телу. |
|
Аналогом второго закона Кирхгофа является принцип сложения скоро |
стей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и перенос ных скоростей равна нулю (уравнение непрерывности).
1 > , = о.
( 1.11)
где v j - скорость движения.
Механическая вращательная подсистема
Основными фазовыми переменными механической вращательной под системы являются моменты М и угловые скорости о), аналоги соответственно токов и напряжений.
Основными элементами этой подсистемы являются масса, отображающая свойство инерционности; пружина, отображающая свойство упругости; сопро тивление, отображающее потери механической энергии на трение.
Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента со противление отражает зависимость момента сил сопротивления от круговой
скорости: |
|
|
|
М = (о //?пр, |
( 1.12) |
где |
/?вр = 1 / И - линейное сопротивление вращению (аналог электрического |
|
|
сопротивления); |
|
|
И - коэффициент трения при вращении. |
|
|
Уравнение элемента масса отражает зависимость момента инерции от уг |
|
лового ускорения (основное уравнение динамики вращательного движения):
|
A /= y(dco/d/), |
(1.13) |
где |
J - момент инерции элемента (аналог электрической емкости); |
|
|
6 = d co /d / - угловое ускорение. |
|
Уравнение элемента пружина при кручении отражает зависимость мо мента упругих сил от величины закручивания элемента:
|
|
Л /= (1/£вр) J со d/ = £<р, |
(1.14) |
где |
к = \/LBp - крутильная жесткость элемента; |
|
|
|
<р = / со dr —угол закручивания; |
|
|
|
Z,Bp |
- крутильная податливость элемента (аналог |
электриче |
ской индуктивности). |
|
||
|
Для отображения упругости участка типа стержня при его закручивании |
||
жесткость пружинного элемента определяется выражением |
|
||
|
|
к - GJp/l, |
(1.15) |
где |
G - модуль упругости второго рода; |
|
|
|
Jp- полярный момент инерции сечения рассматриваемого участка; |
||
|
/ - длина участка. |
|
|
Топологические уравнения. Аналогом уравнения первого закона Кирхго фа в механической вращательной системе выступает уравнение равновесия мо ментов, действующих на рассматриваемое тело (уравнение равновесия). Это уравнение выражает принцип Даламбера для вращательных подсистем.
|
п |
|
|
= |
(Мб) |
|
*=I |
|
где |
Мк - момент, приложенный к телу. |
|
|
Аналогом второго закона Кирхгофа является принцип сложения угловых |
|
скоростей вдоль оси вращения, в соответствии с которым |
|
|
|
= 0 > |
(1.17) |
|
п |
|
где |
со угловая скорость движения. |