книги / Методы самосогласования механики композитов

первой локально-осредненной краевой задачи

в произвольной точке r композита; εV* – относительное изменение макрообъема композита.

Аналогично (3.101)–(3.107) для расчета EV (ξ) (3.69) можем записать осредненную краевую задачу

171

или

с учетом разложения (3.87), так как выполняются равенства (3.96)

V11ii =1 , D11ii = 0 .

Искомые поля условных моментов деформаций KV(ε) (ξ) (3.101)

с учетом зависимостей (3.72), (3.74), (3.104) и (3.111). Аналогично

(3.112) вычисляются поля (3.102):

Отметим, что скалярные поля условных моментов для величины относительного изменения объема K[εV ] (ξ) и для шаровой состав-

Аналогично (3.114) и (3.115) соответствующие смешанные моменты рассчитываются по формулам

172

где τ12 и γ12 – соответствующие касательные напряжения и угол сдвига, например, в плоскости r1Or2 .

Когда точка ξ лежит в области f-й фазы включений υ( f ) , выполняются соотношения

K[σ] (ξ) = (K( f ) )2 K[εV ] (ξ) , K[στ12 ] (ξ) = K( f )G( f ) K[εV γ12 ] (ξ) ,

для тензоров V и D (2.146).

173

Таким образом, левая часть равенства (3.118) может быть пре-

с учетом (3.96), (3.119) и (3.120). Заменив в (3.121) свободные индексы mn последовательно на mm и, например, на 12 , получим

где ~εVI ≡ ~εiiI – величина относительного изменения объема в точке ξ

расчетной области локально-осредненной краевой задачи (3.105), (3.106). Формулы (3.122) и (3.123) с учетом (3.114) и (3.116) можно записать в виде

174

Таким образом, коэффициенты aVV( f ) и aVD( f ) в качестве параметров самосогласования входят в скалярные поля соответственно aVV (ξ) и aVD (ξ) (3.88), (3.93), (3.94), (3.97) и (3.98), формирующих поле упругих свойств aI (ξ) (3.111) первой локально-осредненной

краевой задачи (3.105), (3.106); при этом коэффициенты aVV( f ) и aVD( f )

вычисляются по формулам (3.124) и (3.125) через решение этой же краевой задачи, что приводит к ее физической нелинейности.

Аналогично (3.101)–(3.125) могут быть определены поля услов-

От (3.64), (3.65) перейдем к постановке относительно поля перемещений

175

с граничными условиями при ξ → ∞

с учетом разложения (3.87), так как выполняются равенства (2.146)

с учетом зависимостей (3.131) и (3.132).

Аналогично (3.114)–(3.117) моменты рассчитываются по формулам

176

с учетом (3.127) и (3.131). Левая часть формулы (3.136) может быть преобразована к виду

= 12 (aDV( f )Vmndb + aDD( f ) Dmndb ) < γ12εdb >,

следовательно, формула (3.136) примет вид

( f ) υ( f )

177

Заменив в (3.137) свободные индексы mn последовательно на mm и на 12 , получим

Формулы (3.138) и (3.139) с учетом (3.133) можно записать в виде

Таким образом, коэффициенты aDV( f ) и aDD( f ) являются параметрами самосогласования второй локально-осредненной краевой задачи (3.128) и (3.129), так как поле упругих свойств aII (ξ) зависит от

коэффициентов aDV( f ) и aDD( f ) (3.88), (3.95), (3.96), (3.99), (3.100),

(3.130), и вычисляются через решение этой же краевой задачи по формулам (3.140) и (3.141). Вторая локально-осредненная краевая задача (3.128), (3.129) так же, как и первая (3.105), (3.106), является физически нелинейной.

178

Отметим, что имеют место равенства для вычисления осредненных по области f-й фазы моментов:

с учетом формул (3.57), (3.124), (3.125) и (3.140), (3.141). Из (3.143)

и (3.144) следует свойство симметрии для коэффициентов

однако (3.146) будет выполняться лишь приближенно, что обусловлено принятой аппроксимацией (3.86) для тензора A( f ) .

Расчетные схемы первой (3.105), (3.106) и второй (3.128), (3.129) локально-осредненных краевых задач теории упругости – это одиночное включение с неоднородным переходным слоем в однородной неограниченной среде при заданном на бесконечности всестороннем растяжении или сдвиге. Упругие свойства этого одиночного включения, переходного слоя и неограниченной среды для первой и второй краевых задач различны и определяются соответственно полями aI (ξ) (3.111) и aII (ξ) (3.130). Упругие свойства среды не равны

эффективным упругим свойствам композита. Граничные условия, а именно величины всестороннего растяжения или сдвига среды на бесконечности для первой и второй краевых задач также различны и рассчитываются по соответствующим формулам (3.106) или (3.129).

179

Упругие свойства переходного слоя учитывают особенности случайного взаимного расположения включений в композите.

Уточнить решение краевой задачи (3.51), (3.52) для квазипериодических структур возможно, если представить искомое решение K (u ) (ξ1 , ξ) в виде разложения

для соответствующей периодической структуры, и перейти к решению задачи

относительно отклонений K (u )o (ξ1 , ξ) (3.147); поле объемных сил

180