книги / Силы инерции в задачах биомеханики

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

В.С. Туктамышев, Ю.И. Няшин

СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ЗАДАЧАХ БИОМЕХАНИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2017

1

УДК 531/534:[57+61] Т81

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор В.Н. Аптуков (Пермский государственный национальный исследовательский университет);

доктор технических наук, профессор А.А. Селянинов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Туктамышев, В.С.

Т81 Силы инерции в задачах биомеханики: учеб. пособие / В.С. Туктамышев, Ю.И. Няшин. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2017. – 68 с.

ISBN 978-5-398-01707-6

Приведены примеры задач биомеханики, решение которых наглядно объясняется с помощью введения понятия «силы инерции». Учебный материал, необходимый для решения представленных примеров, разделен на две части: эйлеровы силы инерции, изучаемые в динамике относительного движения, и даламберова сила инерции, рассматриваемая в рамках принципа Даламбера.

Предназначено для использования в качестве дополнительной учебной литературы для студентов, изучающих теоретическую механику, а также дисциплины образовательного профиля «Биомеханика».

УДК 531/534:[57+61]

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Понятие «силы инерции» впервые было рассмотрено Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) [7] для объяснения природы взаимодействия тел в соответствии с формулируемыми им законами механики. Согласно третьему закону Ньютона силы всегда возникают попарно. При этом в рамках классической механики сила является результатом взаимодействия тел. Таким образом, силе, действующей со стороны одного тела на второе, противопоставляется сила, приложенная к первому телу со стороны второго. Например, ладонь человека, бросающего камень, будет испытывать давление, которое обусловлено действием силы со стороны этого камня. Описываемая сила противодействия при сохранении величины ускорения, сообщаемого телу, оказывается тем больше, чем больше его масса. В этом смысле данная сила характеризует инертность ускоряемого тела, поэтому для ее обозначения Ньютон предложил использовать термин «сила инерции».

Иную трактовку силы инерции получают в динамике относительного движения. Как известно, стандартные формулировки законов Ньютона справедливы для инерциальных систем отсчета. При переходе в неинерциальную систему эти формулировки модифицируется путем добавления переносной силы инерции и кориолисовой силы инерции. Таким образом, для исследования движения точки относительно неинерциальной системы отсчета необходимо к силам, действующим на эту точку, добавить переносную и кориолисову силы инерции. Согласно некоторым литературным источникам такие силы инерции принято обозначать термином

«эйлеровы силы инерции» [4].

В принципе Даламбера в случае исследования движения материальной точки в качестве силы инерции используется векторная величина, равная взятому со знаком «минус» произведению массы этой точки на ее ускорение в данной системе отсчета. В механике эта величина называется даламберовой силой инерции [15].

4

Предполагается, что такая сила приложена к самой точке. Согласно принципу Даламбера, если к силам, действующим на материальную точку, добавить даламберову силу инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии. Аналогичное рассуждение можно применить и к механической системе. Таким образом, использование принципа Даламбера позволяет свести задачу динамики к составлению уравнений равновесия, что значительно упрощает решение некоторых проблем механики, например задач определения динамических реакций связей.

Введение сил инерции позволяет упростить решение многих актуальных задач механики. Однако до сих пор среди авторов нет единого мнения о том, реальны эти силы или нет. Наиболее подробно данная проблема излагается в книгах академика А.Ю. Ишлинского, в которых автор проводит четкое разделение между упомянутыми «видами» сил инерции, подчеркивая при этом, что физической (реальной) является только ньютонова «сила инерции» [4]. Данный факт логически следует из приведенного ранее определения этой силы. Действительно, сила инерции (по Ньютону) является мерой противодействия рассматриваемого точечного тела при приложении к нему усилия со стороны другого тела. Важно отметить, что такая сила прикладывается именно к этому другому телу, ускоряющему данное точечное тело. Даламберова сила инерции вводится лишь формально как взятое со знаком «минус» произведение массы точечного тела на его ускорение. Следовательно, эта сила не имеет «источника», а точкой ее приложения считается рассматриваемое точечное (ускоряемое) тело. Аналогичными свойствами обладают и эйлеровы силы инерции, так как вводятся для удобства решения задач динамики относительного движения. При этом никакого механического взаимодействия в исследуемой системе эти силы не отражают [4].

Свои рассуждения А.Ю. Ишлинский поясняет несколькими примерами, в одном из которых рассматривается вращение камешка, привязанного к веревке. Камешек, двигаясь по окружно-

5

сти с постоянной скоростью, обладает центростремительным ускорением. Отсюда следует, что на данный камешек действует центростремительная сила, заставляющая его двигаться по окружности. Эта сила действует на камешек со стороны веревки. Для того чтобы объяснить натяжение веревки при таком вращении, необходимо мысленно разрезать ее вблизи от камешка. Согласно третьему закону Ньютона на веревку со стороны камня должна действовать другая физическая сила, равная по величине центростремительной, но направленная ей противоположно. Данная физическая сила есть не что иное, как ньютонова сила инерции, которая и растягивает веревку. По мнению А.Ю. Ишлинского, эту силу следует называть физической центробежной силой (или просто центробежной силой), которую нельзя путать с понятием центробежная сила инерции [4]. Если ввести систему координат, вращающуюся вместе с веревкой и камешком, то относительно этой системы камешек окажется неподвижным, а веревка по-прежнему останется растянутой. Для устранения этого противоречия, необходимо при мысленном переходе в новую (неинерциальную) систему координат добавить воображаемую силу, которая и будет объяснять наличие искомого растяжения при отсутствии какого-либо движения в рассматриваемой механической системе. Этой добавочной силой, приложенной к камешку, является переносная сила инерции, которую в данном случае следует называть центробежной силой инерции. Отсюда следует общий вывод о том, что искусственно наведенные эйлеровы силы инерции, по сути, являются выдумкой, необходимой для объяснения реально существующих механических взаимодействий между телами с точки зрения неинерциальных систем отсчета.

Несмотря на детальный анализ, проведенный А.Ю. Ишлинским, в настоящее время вопросы, относящиеся к терминологии сил инерции, считаются нераскрытыми [6, 11]. Вместе с тем описываемая проблема носит методологический характер, а элементы неопределенности, связанные с ней, никак не влияют на использо-

6

вание уравнений движения с силами инерции при решении практических задач. Кроме того, как уже было отмечено ранее, введение сил инерции позволяет упростить исследование движения и взаимодействия тел в определенном спектре задач механики. В связи с этим представляется интересным применение методов, основанных на понятии «сила инерции», при изучении некоторых вопросов биомеханики. Предполагается, что использование свойств эйлеровых и даламберовой сил инерции позволит объяснить любопытные эффекты, которые возникают в результате движения в системах, связанных с живой природой.

7

ГЛАВА I. ЭЙЛЕРОВЫ СИЛЫ ИНЕРЦИИ

§1.1. Инерциальные системы отсчета

При формулировке основополагающих законов классической механики Ньютон использовал понятие абсолютного пространства, которое определялось им как «неподвижное вместилище тел» [7]. В современной механике под абсолютным (ньютоновским) пространством понимается трехмерное евклидово пространство с системой отсчета, связанной определенным образом с Солнечной системой. В качестве такой системы может быть выбрана прямоугольная система координат, начало которой совпадает с центром масс Солнца, а три оси направлены на три бесконечно удаленные «неподвижные» звезды.

Системы координат, совершающие поступательное прямолинейное и равномерное движение по отношению к абсолютной системе, называются инерциальными. Любая инерциальная система координат эквивалентна абсолютной, так как формулировки законов Ньютона не изменяются при изучении движения относительно одной из таких систем. Это утверждение в механике из-

вестно как принцип относительности Галилея. Координаты тела относительно различных инерциальных систем отсчета могут быть вычислены с помощью известных преобразований Галилея.

Рис. 1. Схематическое изображение «неподвижного» абсолютного пространства с системой координат Ox*y*z* и инерциальной системы отсчета O1xyz

8

На рис. 1 представлено схематическое изображение абсолютного пространства с системой координат Ox*y*z*, начало которой совпадает с центром масс Солнца. Система координат O1xyz является инерциальной, если она движется поступательно с постоянной скоростью v относительно системы Ox*y*z* (см. рис. 1).

§1.2. Динамика относительного движения

Во многих практических задачах исследование движения рассматриваемых объектов относительно абсолютной системы отсчета представляет значительные трудности. Например, изучение дальних перелетов птиц по отношению к «неподвижной» системе координат с началом в центре Солнца кажется нецелесообразным из-за необходимости учета движения Земли по своей орбите, а также ее вращения относительно собственной оси. С этой точки зрения решение подобных задач следует проводить в рамках систем отсчета, жестко связанных с Землей. Однако такие системы являются неинерциальными, поскольку совершают движение вместе с нашей планетой, перемещаясь в абсолютном (по Ньютону) пространстве. Как было отмечено ранее, использование основного закона динамики с целью изучения движения относительно подвижной неинерциальной системы координат является некорректным. Внесение соответствующих поправок в классическую формулировку этого закона позволяет решить данную проблему.

Предположим, что материальная точка массой m движется под действием силы F. Для установления связи между ускорением ar

рассматриваемой точки относительно некоторой подвижной системы координат и действующей на нее силой необходимо выразить абсолютноеускорение a согласно теореме Кориолиса [15]:

Как известно, векторные величины ae и ac в соотношении

(1) обозначают переносное и кориолисово ускорения. Подставляя абсолютное ускорение, записанное в форме (1), в уравнение второго закона Ньютона, получаем

9

m(ar ae ac ) F или mar F mae mac .

Перепишем последнее выражение в следующей форме:

Рис. 2. Переносная и кориолисова силы инерции

где Feин и Fсин переносная и кориолисова силы инерции (рис. 2), определяемые выражениями:

Из кинематики сложного движения точки известно, что переносным ускорением является абсолютное ускорение той точки подвижной системы координат, которая совпадает в данный момент времени с рассматриваемой движущейся точкой. В общем случае это ускорение определяется абсолютным ускорением начала подвижной системы отсчета, ее угловой скоростью и угловым ускорением, а также положением точки в данной системе [15]. Кориолисово (или поворотное) ускорение точки определяется скоростью vr точки относительно подвижной системы координат и уг-

ловой скоростью вращения этой системы: ac 2 vr .

Вектор кориолисова ускорения можно построить по правилу Жуковского. Согласно этому правилу вектор относительной скорости точки необходимо спроецировать на плоскость, перпендикулярную вектору ω, после чего полученную проекцию домножить на

10