книги / Применение теории вероятностей в расчётах систем электроснабжения

События Uу+ и Uу- — противоположные и за время наблю­ дения Т„ образуют полную группу событий. Поэтому вероят­ ность события Uу- есть дополнение вероятности события Uу+ до единицы. Отсюда следует, что

e(Uy-]=\—e( Ьу+)= 1— 0,416= 0,584.

Численное определение вероятностен отказов и нормаль­ ной (надежной) работы элементов СЭС также основывается на понятии геометрической вероятности. Однако в - качестве меры всей рассматриваемой области принят год 7Г= 8760 ч. Так как отказ любого элемента СЭС может произойти в ре­ зультате аварийного пли преднамеренного отключения, то со­ ответствующие вероятности отказов определяются по выра­ жениям *[6]

где /ап, /пр — длительности аварийного и преднамеренного от­ ключения соответственно.

Вероятность надежной работы любого элемента СЭС, со­ бытия, противоположного отказу, находится но выражению

11

где /раб — длительность нормальной работы.

Практические формулы по определению вероятностей от­ казов элементов СЭС в результате аварийного отключения, приведенные в таблице 1.1, отличаются от выражения (1.4). Эти отличия обусловлены конкретными особенностями задач электроснабжения и тем, что элементы СЭС выполняются на различные напряжения и эксплуатируются в различных усло­ виях, поэтому в выражение (1.4) вводится показа’гель т — количество повреждений в год. Для протяженных элементов СЭС (ЛЭП) показатель относится к 100 км длины линий пе­ редач.

Таблица 1.1

Практические формулы по определению вероятностей отказов элементов систем электроснабжения

(л)

Втабл. 1.1- е'ав и — вероятности отказов одной цепи

идвух цепей одновременно в двухцеиной линии электропере­ дач. Длительности аварийного и преднамеренного-отключе­ ний, а также показатели повреждаемости элементов СЭС в год, т, приведены в работе [7].

П р и м е р 9. Для участка схемы СЭС, изображенной на рис. 4, определить вероятности отказов В, Л и Т в результате аварийного и преднамеренного отключений. Напряжение на

гг

шниах ЗРУ £/=10 кВ, длина линии электропередач 1=2 км.

Полные вероятности отказов каждого элемента СЭС

ев= <?а(В) + епр(В) = 8,56•10-64 1710•10-6= 1718,56- 10~6;

ел= емл) + ет л)= 137- И)-°+ 1710-10-°= 1847-10"°; ет= еа{Т) 4 £лр(Т) = 479 • 10-° 4 1140-10-°= 1619-10-°.

1.3.ПРИНЦИП ПРАКТИЧЕСКОЙ УВЕРЕННОСТИ

Взадачах электроснабжения вместо невозможных и до­ стоверных событий используются понятия практически невоз­ можных и практически достоверных событий. Практически достоверным событием называется событие, вероятность ко­ торого близка к единице. Практически невозможным собы­ тием называется событие, вероятность которого нс в точно­ сти равна нулю, а весьма близка к нулю. Эти события вво­ дятся согласно принципу практической уверенности [3], ко­ торый формулируется следующим образом: если вероятности события А в опыте весьма мала — е ( А ) < Е х, то можно быть практически уверенным в том. что при однократном воспро­ изведении опыта событие А не произойдет.

13

Принцип практической уверенности исключает из рассмо­ трения события, имеющие вероятность, меньшую £ Л. Вероят­ ность Ех называется граничной вероятностью и ее значения

£.г могут задаваться и из условий безопасности или надеж­ ности. В задачах электроснабжения граничная вероятность Ех принимается часто равной 0,05 [5, 6]. Поэтому практиче­ ски невозможным событиям соответствует вероятность е(А )< <0,05, а практически достоверным событиям — е(А )> 1 —

—£.v>0,95. Принцип практической уверенности является од­ ним из основных принципов практического использования теории вероятностей.

1.4.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.4.1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Под суммой нескольких событий понимается событие, со­ стоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Теоре­ ма сложения вероятностей для несовместных событий форму­ лируется следующим образом.

Для двух событий Aj и А2 вероятность суммы двух несов­ местных событий А] н Аг равна сумме вероятностей событий

для п событий Ai, А2, , А„ вероятность суммы п несов­ местных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Если события Аь А2, , Ап образуют полную группу со­ бытий, то сумма их вероятностей равна единице:

2 е(А() = 1,

/=-1

1.4.2. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Под произведением нескольких событий понимается собы­ тие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Теорема умножения вероятностей для независимых событий формулируется следующим образом.

14

Для двух событии А, и А2 вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

для п событии Аь А2, , А,, вероятность произведения п независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

где П — символ произведения.

1.4.3. Теорема сложения вероятностей, совместных событий

Теорема сложения для совместных событий формулиру­ ется следующим образом.

Для двух событий А] и А2 вероятность' суммы двух сов-, местных событий Aj и А2 равна сумме вероятностей событий

стных событий равна алгебраической сумме вероятностей п

1.4.4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Теорема умножения для зависимых событий формулирует­ ся следующим образом.

Для двух событий Ai и Л2 вероятность произведения двух событий А((А2) на условную вероятность события A2(Ai), вычисленную при условии, что событие А|(А2) имело место,

Условной вероятностью события AI (A2) при наличии со­ бытия A2(AI ) называется вероятность события АДА;»), вычи-

15

сленная при условии, что событие A2(AI ) произошло. Услов­ ная вероятность обозначается е(А |/А 2) или е(А2/А |).

Для п событий Аь А2, , Ап вероятность произведения п

При использовании теорем сложения и умножения в ре­ шении практических задач следует руководствоваться про­ стым правилом: если в цепи рассуждений, приводящих к от­ вету на поставленный в задаче вопрос, логически получается союз «или», то применяется теорема сложения, если союз «и» — теорема умножения.

П р и м е р 10. Четыре ЭП, получающие питание от шин СП (см. рис. 6), имеют следующие коэффициенты включения:

События включения и отключения ЭП — события несов­ местные, противоположные и образуют полную группу собы­ тий (см. примеры 5 и 6). Поэтому, из условця (1.2) опреде­ лим вероятности отключенного состояния каждого из четы­ рех ЭП соответственно:

Ко, = 1 —0,1=0,9; Ко, = 1 —0,2 = 0,8; Ко;, = 1 —0,3 = 0,7; Ко, = = 1—0,4 = 0,6.

"Чтобы найти £?0,4 будем рассуждать так: все ЭП отклю­ чатся, если отключатся ЭШ и ЭЛ2 и ЭЙЗ и ЭП4. Применим теорему умножения для независимых событий (см. выраже­ ние (1.8) и пример 7):

е0,4 = Ко, Ко, Ко, Ко, =0,9*0,8-0,7-0,6 = 0,3024.

Для нахождения <?j.4 иень рассуждений будет выглядеть следующим образом: один ЭП будет во включенном состоя­ нии только тогда, когда включится ЭП1 и отключатся ЭП2, ЭПЗ, ЭП4 или включится ЭП2 и отключатся ЭП1, ЭПЗ, ЭП4 пли включится ЭПЗ и отключатся ЭП1, ЭП2, ЭП4 пли вклю­ чится ЭП4 и отключатся ЭП1, ЭП2, ЭПЗ. Применим теорему умножения независимых событий и теорему сложения для несовместных событий. Последнее объясняется тем, например, что для нахождения е\,ь события включения ЭГ11 и ЭП2 одно-

16

временно — события несовместные по физическому смыслу задачи.. Согласно рассуждениям вероятность включения одно­ го из четырех ЭП

^1,4 “ Кв| Ко, Ко., Ко, + Ко, Кв» Ко, Ко, 4"Ко, Koj Кв, Ко, ”г

+ Ко, Ко, Ко, Кв, =0,0336 + 0,0756+0,1296+0,2016=0,4404.

'Значения вероятностей включения двух, трех и четырех ЭП соответственно

£*2,4 = 0,2144; еъл = 0,0404; ем = 0,0024.

Все события в примере образуют полную группу событий, следовательно,

5

2 е (А/) = 0,3024 + 0,4404 + 0,2144 + 0,0404 + 0,0024=1.

7=1

Однако согласно принципу практической уверенности, в даль­ нейших расчетах нет необходимости учитывать все возмож­ ные события: достаточно рассмотреть только практически до­ стоверные, а практически невозможные — исключить. Коли­ чество практически достоверных событий — вероятностный максимум тх — в задачах электроснабжения определяется по двум условиям [1]:

максимум определится следующим образом. Суммируем ве­ роятности событий по (1.15) до тех мор, пока оно выполняет­ ся:

тг-г-1

2 е(А,-) =0,3024+ 0,4404 = 0,7428 < 1—0,05. *«=i

Несоблюдение условия (1.15) есть выполнение условия (1.16):

тх

2 е (А/) = 0,7428 + 0,2144 = 0,9572> 0,95.

/= 1

Следовательно шЛ= 2. События одновременной работы грех и четырех ЭП практически невозможны.

17

1.5.ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ

ВСЭС события, как правило, наблюдаются в результате повторения одних и тех же независимых опытов или незави­ симых серин аналогичных опытов. Под независимыми опыта­ ми (сериями) понимаются опыты (серии), в которых вероят­

ность ожидаемого события не зависит от вероятности этих же событий, но в других опытах пли сериях. Примером повто­ рения одних и тех же опытов является циклическая работа одного ЭП (примеры 1 и .6). Продолжительность одного опы­ та равна /ц, а ожидаемыми событиями являются включение ЭП с вероятностью Кв и отключение с вероятностью К0. При­ мером серии аналогичных опытов является циклическая ра­ бота четырех ЭП, представляющая четыре серии опытов (пример 10). В каждой из серий опытов события включения ЭП происходят с различными вероятностями: KBI = 0,1; Кв2—

=0,2; КВЗ=0,-3; Кв4 = 0,4.

Впрактических задачах электроснабжения целью расчета является определение общего числа т, вероятностей ет, средней длительности 1т и частоты vw возникновения ожида­ емых т событий в результате п повторений опытов или серий

быть одинаковыми или различными. В первом случае для оп­ ределения характеристик т событий применяется частная теорема о повторении опыта, во втором — общая теорема о повторении опытов.

1.5.1. Частная теорема о повторении опытов

Появление пг событий в результате п повторений опытов образуется по сложной схеме. Для появления т событий не­

Гак, например, при работе трех ЭП с коэффициентами вклю­ чения Кв1 = КВ2 = Квз вероятности появления двух ( т = 2) со­ бытий, заключающиеся в одновременной работе ЭП1 и ЭП2, ЭГ12 и ЭПЗ, ЭП1 и ЭПЗ, согласно теореме умножения неза­ висимых событий соответственно равны:

для ЭП1 и ЭП2

в,э.з= Кв1 Кв, К ,3 =Ки2Ко‘; для ЭП2 и ЭПЗ

е"2л*=Ко, Кв, Кв., = К и-Ко|; для ЭП1 и ЭПЗ

^ " 2,3 = KBj Ко, Кв, = Кв2 Ко1;

14

Для вычисления вероятности появления двух событий не имеет значения, какая комбинация ЭП это событие сосТавляет, лишь бы было т = 2:

^ , з = З К в2К о 1.

Таким образом, работа двух ЭП из трех может наблю­ даться в результате появления трех комбинаций. Количество комбинаций определяется сочетанием из 3 по 2;

В общем случае для т событий в результате п опытов веро­ ятность одной комбинации равна произведению вероятностей Квт /Со,*"т , а количество комбинаций определяется числом со­ четаний:

Г' т — _____ Ji*_______

"т\{п—т)\

Частная теорема о повторении опытов формулируется сле­ дующим образом:

Если производится п независимых опытов, в каждом из ко­ торых событие А) (А2) появляется с вероятностью Кв (Ко), то вероятность е,п того, что событие АДАо) появится m раз, оп­ ределяется формулой

Выражение (1.17) называется биномиальным распределе­ нием вероятностей. Вероятности еш при независимых опытах образуют полную группу событий, так что

2 е,п= 1. 'ПсО

Общее число m событий в результате п повторений опытов находится по выражениям (1.15) и (1.16) для заданной гранич­ ной вероятности Ех. Средняя длительность и частота возник­ новения m событий в результате п опытов определяются ио выражениям [1]

19

1.5.2.-Общая теорема о повторении опытов

Общая теорема о повторении опытов формулируется сле­ дующим образом.

Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие Ап(А2,) появляется с вероятностью KBI(KOI), i'= l, 2, 3, , п, то вероятность ет'того, что событие AI/(A2i) появится пг раз, равна коэффициенту при zm в разложении по степеням z производящей функции:

личество опытов или серий опытов; i — номер опыта или се­ рии; z — произвольный параметр; К„,-, Кв<- — коэффициенты отключения и включения ЭП в t-том опыте; П — символ про­ изведения.

первой, второй, третьей, m-ной, /г-ной степенях. События, ве­ роятности которых вычисляются по выражениям (1.20) и (1.21), образуют полную группу событий, так что

2 e,nzm= 1. /71=0

Общая теорема о повторении опытов формализует вычи­ сление вероятностей появления событий и позволяет избе­ жать применения более громоздкого математического аппа­ рата теорем умножения и сложения.

П р и м е р 11. Для условий примера 10 проверить воз­ можность применения формул (1.20) и (1.21) и определить вероятностный максимум тх при граничной вероятности /+=0.05. Составляем производящую функцию вероятностен:

Ф4 (z) ■= и (КоН-Кв/2) = (6,9 + 0,12) (0,8 + 0,22) (0,7 + 0,32).

/ = I

X (0,0 + 0,42) = 0,3024 + 0,44042+0,2144 22 + 0ДМ0423 +

+ 0,002424,

20