книги / Общая физика. Ч. 1 Механика

«К1», переключатель 4 – в положение «2», переключатель 5 – вположение «ЦИКЛ», переключатель 8 – в положение «+» или переключатель9 – всреднееположение. Включитепитаниемодуля.

2.Накрутите нить (1,5 оборота) на шкив стола, диаметр которого D = 50 мм (рис. 3), прикрепите к концам нити пружины. Закрепите пружины на осях 12 нижнего блока стойки 10.

3.Поверните стол так, чтобы в свободном положении указатель угла поворота стола находился вблизи нулевого деления шкалы 16.

4.Нажмите кнопку 7 «ГОТОВ» и приведите стол в колебательное движение с амплитудой 40–60 градусов.

Рис. 3. Определение момента инерции маятника

5.Считайте с индикатора время одного полного колебания T.

6.Рассчитайте момент инерции ненагруженного стола по формуле

где R – радиус шкива стола (R = D/2), kпар – коэффициент упругости двух пружин, соединенных параллельно. Данные занесите в табл. 2. Повторите измерения 5–7 раз.

61

Задание III. Проверка теоремы Штейнера

1. Поместите в центре стола два цилиндрических груза 18 массой тц по 500 г один над другим (точная масса грузов выгравирована на нижнем торце грузов). Повторите измерения мо-

мента инерции системы Iсис (по п. 3–6 в задании II).

2. Рассчитайте момент инерции цилиндров по формуле

где I0 – момент инерции ненагруженного стола, измеренный

взадании II.

3.Рассчитайте теоретический момент инерции цилиндров Iтеор относительно оси цилиндров по формуле

(Rц = 24 мм). Данные занесите в табл. 3.

4. Переместите цилиндры на одинаковое расстояние ∆х относительно оси вращения (шаг отверстий на вращающемся столе ∆х = 20 мм). Измерьте период колебаний m2 системы, соответствующий новому положению цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

где kпар – коэффициент упругости пары пружин (см. задание I), R – радиус шкива стола.

62

6. Рассчитайте теоретический момент инерции системы по формуле

Iтеор = I0 + 1 mцRц2 + mц∆x2 ,

2

где I0 – момент инерции ненагруженного стола (см. задание II), тц – суммарная масса цилиндров, Rц – радиус цилиндров

(Rц = 24 мм).

7.Повторите измерения и расчеты по п. 1–6 для всех положений цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

8.Постройте график зависимости момента инерции Iсис

иIтеор от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов ∆х2.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение динамических характеристик вращательного движения: момента силы – М, момента инерции – I, момента импульса – L.

2.Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?

3.В чем состоит суть теоремы Штейнера?

4.Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

5.Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

6.Как рассчитать период колебаний крутильного маятника?

Задания для отчета по лабораторной работе

1. Однородный диск массой m = 3 кг и радиусом R = 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис. 4). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручива-

63

ния) k = 6 Нм/рад. Определить частоту ω малых крутильных колебаний.

2.По данным предыдущей задачи определить амплитуду αm и начальную фазу φ колебаний, если в начальный момент

α= 0,06 рад, ω = 0,8 рад/с.

3.Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков R одинаков и равен 0,5 м. Массы

дисков m1 = 0,1 кг и m2 = 3 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности k = 5,92 Нм/рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период T крутильных колебаний дисков?

4. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, без трения по направляющему стержню, небольшая муфта массой m = 0,1 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k = 10 Н/м (рис. 5). Если пружина не деформирована, муфта находится в центре диска. Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, если диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной 6 рад/с.

5. Сплошной однородный цилиндр массой m совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна k (рис. 6). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.

64

6.Определить момент инерции системы, состоящей из четырех точечных масс m, расположенных по вершинам квадрата со стороной a, относительно оси, лежащей в плоскости квадрата

исовпадающей с его диагональю.

7.По условиям предыдущей задачи определить момент инерции системы точек относительно оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости.

8.Определите момент инерции медного диска радиусом R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r = 2 см. Центры вырезов находятся на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии l = 2,5 см от него (рис. 7). Толщина диска h = 0,1 см. Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Рис. 6 (к задаче 5) Рис. 7 (к задаче 8)

9. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через центры вырезов.

10. Плотность цилиндра длиной l = 0,1 м и радиусом R = 0,05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения ρ1 = 500 кг/м3 до значения ρ2 = 1500 кг/м3. Найти момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра.

7. Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов с помощью теоремы Штейнера. Масса стержня m, длина l.

65

8.По данным предыдущей задачи найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из концов.

9.Найти момент инерции диска массой m, радиусом R относительно оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Применить теорему Штейнера.

10.Определить момент инерции шара массой m = 2 кг радиусом R = 10 см относительно оси, проходящей через середину радиуса, используя теорему Штейнера.

11.По данным предыдущей задачи определить момент инерции шара, подвешенного на нити длиной l = 10 см относительно точки подвеса.

12.Два шара с массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис. 8). Шары соединены между собой пружиной с жесткостью k = 24 Н/м. Левому шару

сообщили начальную скорость v1 = 12 см/с. Найти частоту колебаний системы.

13.Поданнымпредыдущейзадачинайтиэнергиюколебаний.

14.По данным предыдущей задачи найти амплитуду колебаний системы.

15.Найти циклическую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массой m и длиной l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 9). Жесткость пружины k.

В положении равновесия стержень вертикален.

66

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7 ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА

Цель работы: а) ознакомление с особенностями движения гироскопа; б) определение угловой скорости прецессии и момента инерции гироскопа.

Приборы и принадлежности: гироскоп, электронный блок, в состав которого входят система измерения скорости вращения гироскопа, электронный таймер, фотоэлектрическая система отсчета угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.

Краткая теория

Гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое направление в пространстве. Большие скорости вращения гироскопа требуют, чтобы ось гироскопа была осью симметрии. Подвижность оси гироскопа обеспечивается кардановым подвесом или каким-либо другим аналогичным устройством. При этом вращение оси гироскопа происходит таким образом, что некоторая точка O этой оси (например, центр масс гироскопа) остается неподвижной. При вращении оси соответствующая угловая скорость Ω (скорость прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей оси, которую будем обозначать ω.

Если на ось гироскопа действует некоторая сила, создающая момент M, то момент импульса относительно точки O (главный момент импульса) L изменяется в соответствии с уравнением моментов.

dt

Анализ уравнения (1) упрощается вследствие того, что угловая скорость вращения гироскопа очень большая. А это озна-

67

чает, что при относительно медленном изменении ориентации оси гироскопа главный момент импульса практически направлен по оси гироскопа. Момент внешних сил M направлен перпендикулярно оси гироскопа, т.е. практически перпендикулярно главному моменту импульса L. Приращение dL момента импульса должно быть направлено по моменту M, т.е. практически перпендикулярно моменту импульса L. Такое приращение вызовет изменение направления момента импульса L, т.е. изменение направления оси гироскопа. Если при этом ось поворачивается на угол Ωdt, то соответствующее изменение момента импульса

Следовательно, под действием постоянного момента сил M возникнет вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью Ω. При этом изменение момента импульса L в единицу времени, равное LΩ, будет определяться уравнением (1). Отсюда следует, что

где I – момент инерции гироскопа относительно его оси, получим для угловой скорости

Ω= M .

I ω

Вращение оси гироскопа с угловой скоростью Ω под действиемпостоянногомоментасилM называетсяпрецессиейгироскопа.

Отметим две особенности прецессионного движения. Во-пер- вых, прецессия не обладает «инертностью» (прецессия существует, пока действует момент). Во-вторых, ось вращения прецессии

не совпадает с направлением момента силы M, а перпендику- r

лярна ему (приращение ∆L параллельно вектору) M .

68

Описание прибора

Прибор (рис. 1) состоит из электрического моторчика A, укрепленного в обойме B. Обойма опирается на вертикальный стержень C и может вращаться вокруг горизонтальной оси, а вместе со стержнем – вокруг вертикальной оси.

Рис. 1. Прибор для изучения прецессии гироскопа

Собственно, гироскопом является ротор моторчика с массивным диском E. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, может изменяться при перемещении груза K по стержню обоймы. Прибор содержит также электронный блок G, в состав которого входят: система измерения скорости вращения моторчика, электронный таймер, фотоэлектрическая система измерения угла поворота гироскопа вокруг вертикальной оси.

Включение моторчика производится выведением ручки «СКОРОСТЬ ВРАЩЕНИЯ» 1 из крайнего левого положения. Дальнейшее вращение этой ручки по часовой стрелке приводит к увеличению скорости вращения моторчика. Стрелочный

69

прибор 2 на панели блока показывает скорость вращения моторчика.

Включение электронного таймера и фотоэлектрической системы измерения угла φ поворота гироскопа вокруг горизонтальной оси производится одновременно нажатием клавиши «СЕТЬ» 3. При нажатии на клавишу «СБРОС» 4 происходит обнуление табло электронного блока 6, 7. После нажатия на клавишу «СБРОС» происходит запуск фотоэлектрической системы измерения угла φ и электронного таймера в момент, когда световой пучок попадает на фотоэлемент системы через одну из прорезей на цилиндрической диафрагме D, поворачивающейся вместе с гироскопом вокруг вертикальной оси. После нажатия на клавишу «СТОП» 5 происходит остановка измерений времени t и угла φ при очередном попадании светового пучка на фотоэлемент системы. Угловую скорость прецессии получают путем деления зафиксированного на табло 7 электронного блока значения угла φ на соответствующее время t.

Порядок выполнения работы

1.Закрепите груз K на стержне обоймы так, чтобы весь прибор находился в безразличном положении равновесия, ось гироскопа установите горизонтально.

2.Включите моторчик и подождите 2–3 минуты, пока ротор не начнет вращаться с номинальным числом оборотов. Смещением груза K создайте момент силы тяжести M. Величина этого момента сил определяется по формуле M = Ph, где P – заданный вес груза, h – расстояние этого груза от его начального положения, измеряемого по шкале на стержне. Данные занесите

втаблицу.

Р= mg =… (Н)

70