книги / Физика твердого тела и конденсированных систем. Ч. 1
.pdf4.С момента времени / = 0 на грань д = 0 действует поверхностный тепловой источник с постоянной плотностью теплового потока q.
5.На остальных гранях образца происходит свободный теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона
q ~ a ( T - Го).
Отдаваемый поток q тепла пропорционален разности температур между поверхностью образца Т и окружающей средой 7’0, а - коэффициент теплообмена (Вт/(м-К)). Математически краевые условия запишутся следующим образом:
|
71,-0= Го; |
Щ |
=-<•/: |
|/ . ? ^ а ( |
|||
|
|
|
|
('х L- |
|
V |
с.х |
Аналитическое решение |
уравнения |
|
|||||
(16) с краевыми условиями (17) |
|
||||||
получается |
|
с |
использованием |
|
|||
интегральных преобразований Фурье |
|
||||||
и |
Лапласа. |
Анализ полученного |
|
||||
решения |
показывает, |
что |
при |
|
|||
достаточно |
|
малых |
значениях числа |
|
|||
Био |
(Bi = a t / \ ), |
характеризующего |
|
||||
теплообмен, |
зависимость температу |
|
|||||
ры образца от времени имеет так |
|
||||||
называемый |
квазилинейный участок |
|
|||||
(рис. 1), описываемый уравнением |
|
||||||
л г = г - 7 ; ,= 4 - [ е 0 + л -ч .'] |
(18) |
|
|||||
Г - 7 ; )))! |
, |
=< |
(17) |
j\ |
|
|
т-т 0
B i>B i2>Bi,
Значения коэффициентов 0о и А |
/ |
|
в уравнении (18) приведены в табл. I |
Рис. 1. Кривые зависимоеI и изменения |
|
(они определяются расчетным путем |
||
температуры от времени для различных |
||
при аналитическом решении задачи). |
||
значений критерия Био (Bi). /, 2, 3 - точки |
||
Квазилинейный участок распо |
перегиба; (<i, b) - квазилинейные участки; |
|
лагается вблизи точки перегиба (в |
К, Л/, // - касательные в точках перегиба |
ней равна нулю вторая производная от температуры по времени), и его протяженность зависит от величины теплообмена.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
Bi |
Оо |
А |
Bi |
Оо |
А |
0,01 |
0,1623 |
0,9897 |
0,3 |
0,1167 |
0,8221 |
0,05 |
0,1517 |
0,9678 |
0,4 |
0,1079 |
0,7814 |
0,1 |
0,1420 |
0,9245 |
1,0 |
0,0754 |
0,6120 |
0,2 |
0,1277 |
0,8687 |
|
|
L |
Расчетные формулы |
|
|
|
|
|
|||
Выражение (18) можно использовать для расчета ТФХ |
\ и а. |
Чтобы |
||||||
его разрешить относительно л. и я, продифференцируем (18) по времени: |
||||||||
X d{AT) _ |
а |
|
|
|
|
|
(19) |
|
1]( d Г |
С2 ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Решая совместно систему (18), (19), найдем |
|
|
|
|
|
|||
АТ |
|
|
|
|
|
( 20) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■d(A7-) |
|
||
|
|
|
|
|
dr |
( 21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
, л<4 г > - Д7- |
|
|||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
С учетом |
(10) |
вычисляется |
||||
|
удельная теплоемкость: |
|
||||||
|
|
|
|
с = — • |
|
(22) |
||
|
|
|
|
|
Яр |
|
|
|
|
|
Формулы (20)-(22) упрощают |
||||||
|
ся, |
если |
воспользоваться выраже |
|||||
|
нием касательной: |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dr |
■ 8 , |
(23) |
|
Рис. 2. Экспериментальная термограмма |
|
|
|
|
|
|
||
где |
6 |
- |
отрезок, |
отсекаемый |
||||
(кривая зависимости изменения температуры |
||||||||
от времени) |
касательной |
на |
оси |
температур Т |
||||
|
(рис. 2). Из рис. 2 следует: |
|
||||||
З М - А , |
|
|
|
|
|
<24, |
||
d< |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
здесь Г() - длина отрезка, отсекаемого касательной на оси времени. С учетом (23) и (24) расчетные выражения для ТФХ примут вид:
Ml. |
(25) |
|
X = - |
' |
|
5 |
(26) |
|
а ■:М |
|
|
On"2 |
|
|
AL
рб^ ' Итак, для расчета ТФХ необходимо:
1.Измерить толщину образца I в направлении оси х.
2.Измерить в процессе опыта плотность теплового потока q.
3.Записать термограмму (см. рис. 2), обработать ее графически и определить величины 8 и t{).
4.Выбрать значения* коэффициентов 0о и Л, которые зависят от условий теплообмена, реализуемых в опыте. В условиях проведения лабораторного опыта теплообмен таков, что коэффициенты принимают значения порядка
0„ = 0,1420:/! -0,4245.
5. По |
расчетным выражениям (25)-(27) вычислить ТФХ: теплопро |
водность |
температуропроводность а, теплоемкость с\ |
|
Описание лабораторной установки (ЛУ) |
В соответствии с физическими основами метода измерения теплофизических характеристик (ТФХ) и расчетными формулами (25)—(27) ЛУ обеспечивает:
1.Выполнение краевых условий, заложенных в математическую постановку тепловой задачи.
2.Снятие той информации, которая необходима для расчета ТФХ материала исследуемого образца.
БП |
й я 1—|упт!—ГргГ |
® " 4-
Рис. 3. Блок-схема лабораторной устало
Блок-схема ЛУ (рис. 3) состоит из элементов:
-блока питания нагревателя (БП);
-измерительной ячейки (ИЯ);
-усилителя постоянного тока (УПТ):
-регистрирующего прибора (самописца) (РП).
БП, состоящий из трансформатора и выпрямителя, служит для подачи заданного напряжения на плоскую спираль измерительной ячейки.
ИЯ (рис. 4) включает в себя:
1) плоскую спираль 2, дающую тепловой поток
IU
q ~ S~'
где / - сила тока через спираль, измеряемая амперметром; U - падение напряжения на спирали, измеряемое вольтметром; S - площадь образца;
2)два образца 1 прямоугольной формы сечением S и толщиной t расположенные симметрично относительно спирали;
3)дифференциальную термопару 3, измеряющую разность температур между поверхностью образца и окружающей средой.
1 1
Рис. 4. Измерительная ячейка
Сигнал с термопары подается на УПТ. В качестве УГ1Т используется микровольтнаноамперметр Ф136, который усиливает сигнал с дифференциальной термопары в 4 1 03 раз при нажатой кнопке pV и пределе измерений 250.
РП - двухкоординатный потенциометр ENDIM, обеспечивающий запись кривой зависимости изменения температуры поверх ности образца от времени.
По записанной термограмме определя ются величины 6 и /о (см. рис. 2).
Порядок выполнения работы
1. Выбрать исследуемые образцы, измерить их размеры - толщину f , площадь S (результаты записать в табл. 2) и, путем взвешивания, определить массу образца*
2. Подготовить ЛУ к работе, для чего вставить шнуры питания приборов Ф136, ENDIM, БП в сеть 220 В.
2.1. На передней панели усилителя Ф136 выбрать род измерений, нажав кнопку pV, и предел измерений 250. Разарретировать прибор Ф136, нажав кнопку "АРРЕТИР"; если зайчик прибора переместился по шкале, то вернуть его на место с помощью отвертки, вращая тумблеры "Компенсация грубо и точно"
2.2. а) включить РП (ENDIM) в сеть, нажав кнопку 1 - POWER (рис. 5). Лампочка, установленная в кнопке, сигнализирует включение. По истечении 60 с прибор начинает работать с максимальной для него скоростью;
б) уложить бумагу, для чего: перевести пишущий механизм в крайнее правое положение, нажав кнопку 2 (см. рис. 5); бумагу положить на плиту в соответствии с двумя световыми метками 3 и 4 и нажать кнопку 5 PAPER электростатический держатель бумаги, после чего разблокировать пишущий механизм, нажав кнопку 2 повторно;
в) установить нулевую отметку пишущего механизма. Нулевая точка смешается по оси X потенциометром 6 и по оси Y потенциометром 7 I |рц среднем положении потенциометров пишущий механизм должен находиться на световой метке 3. Если нулевая точка смещена за пределы диаграммы влево или вниз, то в кнопках 8 и 9 горят сигнальные лампы;
г) ввернуть фломастер в пишущий механизм 10.
2.3. Установить ручку OFFSET и множитель 16 на нуль. Установить по оси X предел измерения - 10 мВ/см (ручка 11).
Дни п\мкт нс выполняете . если образец помещен в \ слано
2.Определить to = do-{\!v), где d0 - в см, v - "скорость" перемещения пишущего механизма по оси Y.
Цсм;-1<
3.Определить значение 5 = -----------
4-103а
где 4-103 - коэффициент усиления УПТ, а - удельная термоэдс термопары (а = 65*10'3 mV/K), 10 mV/см - масштабный множитель оси X.
4.Рассчитать значение теплового потока а =^ - \
1S
5.Определить плотность материала образца р~= ^
6.Вычислить ТФХ по формулам (25)-{27).
|
|
Таблица 2 |
t, м S, м2 I, А |
U, mV d0, см L, см |
/о» С 5, К <7, Вт/м2 |
Дж . |
Вт . |
м*‘ |
кг-К ’ |
Х = |
с |
м -К ’ |
Примечание. В установке используется образец, выполненный из кварца: £ = 3,9 мм, S = 415 мм2, р = 2,65-103 кг/м3
Контрольные вопросы
1.Явление теплопроводности. Коэффициент теплопроводности. Основ ной закон теплопроводности.
2.Теплоемкость тела.
3.Коэффициент температуропроводности.
4.Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного теплового потока.
5.Физические основы метода. Расчетные формулы.
* Плотность образца, помещенного в установку, задается лаборантом.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ИЗМЕРЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ
Цель работы: ознакомиться с техникой измерения температурного коэффициента линейного расширения (ТКЛР) твердых тел; измерение ТКЛР на лабораторной установке.
Приборы и принадлежности: дилатометрическая установка, исследуемые образцы.
Краткие теоретические сведения
Процессы изготовления деталей конструкций, приборов, их последующая эксплуатация происходят в различных температурных условиях. При этом возникают термические деформации, которые изменяют форму поверхностей деталей, нарушают посадки, создают внутренние напряжения, вносят погрешности в результаты измерений и т.д. Причиной термических деформаций при нагреве или охлаждении твердых тел являются различия в законах изменения сил притяжения и отталкивания между атомами при смещении их из положения равновесия. Последствия теплового расширения тел могут быть учтены при конструировании или уменьшены в ходе эксплуатации, если известны температурные коэффициенты линейного расширения используемых материалов.
Тепловым расширением называется явление изменения размеров и формы тела, вызванное изменением его температуры при постоянном давлении [1].
Известно, что частицы, образующие твердое тело, совершают тепловые колебания около положения равновесия. Энергия теплового движения порядка кТ [2] много меньше потенциальной энергии взаимодействий частиц между собой, и потому тепловые колебания очень малы. Например, при комнатной температуре амплитуда тепловых колебаний атомов в кристалле МО'1 - 2-10'11 м. С ростом температуры амплитуда колебаний возрастает. Но из факта увеличения амплитуды колебаний не обязательно следует факт расширения тела. Если колебания строго гармонические, т.е. отклонения от положения равновесия вдоль выбранной оси равные, то увеличение амплитуды не ведет к изменению среднего расстояния между частицами. В этом случае не будет наблюдаться тепловое расширена тела. Однако тепловые колебания не являются строго гармоническими.
Рассмотрим известную [2] зависимость потенциальной энергии взаимодействия частиц от расстояния между ними (рис. 1, кривая У).
|
Точка 0\ |
соответствует состоянию |
|||||||
|
равновесия частицы при Т - О К. Пусть |
||||||||
|
температура тела Т\, тогда частица, |
||||||||
|
обладая еще и кинетической энергией |
||||||||
|
Екубудет находиться не в точке 0\, а на |
||||||||
|
уровне |
ci\a2. |
В |
положении |
а\ |
||||
|
кинетическая |
|
энергия |
|
частицы |
||||
|
переходит в |
потенциальную |
энергию |
||||||
|
отталкивания, |
а |
в |
положении |
а2 |
- в |
|||
|
потенциальную энергию |
притяжения. |
|||||||
Рис. 1. Зависимость потенциальной |
Кривая |
потенциальной |
энергии |
не |
|||||
симметрична,_ поэтому |
частица |
сме |
|||||||
энергии взаимодействия от расстояния |
щается влево (а\) от линии меньше, чем |
||||||||
(кр. /) и среднее расстояние между |
|||||||||
вправо |
(а2)у |
т.е. |
|
колебания |
частицы |
||||
частицами (кр. 2) |
|
||||||||
|
ангармонические. |
Новому усредненно |
|||||||
му положению равновесия частицы будет соответствовать точка Оа(середина отрезка а\а2). При другой температуре Т2> Т\ получим аналогичную точку Оь. С ростом амплитуды колебаний (b\b2>a\a2) происходит смещение вправо точки положения равновесия частицы. Это значит, что с ростом температуры тела возрастает среднее расстояние между частицами тела (кривая 2). Таким образом, причиной увеличения линейных размеров тела при нагревании является увеличение между частицами расстояний, характеризующих положение их равновесия.
Температурный коэффициент линейного расширения (ТКЛР) а
определим как |
|
|
а = -<х> 1 |
’ |
( 1) |
7 |
|
где <х> - среднее значение отклонения расстояния между частицами от его равновесного значения /*0; Т - температура тела.
Расчеты ТКЛР могут быть выполнены лишь для кристаллов простейшего типа. Во всех остальных случаях предпочтительнее определять ТКЛР экспериментальным путем. Отметим, что ТКЛР для твердых тел может быть различен по разным направлениям (свойство анизотропии тел) и это приводит к изменению формы тел.
Объем V твердого тела при нагревании возрастает пропорционально
температуре: |
|
У=Уо(1+ РО. |
(2) |
где К0 - объем тела при температуре О °С; р - |
коэффициент объемного |
расширения твердого тела, характеризующий относительное увеличение объема, происходящее при нагревании тела на один градус. Известно, что
Р = а, + а 2 + а 3, |
(3) |
где «|, а 2, аз - главные ТКЛР (коэффициенты вдоль кристаллографических
осей кристаллов). Для изотропных тел а |= а 2=аз и |
|
Р = За. |
(4) |
Аналогично объему меняются линейные размеры твердого тела при его |
|
нагревании. |
|
Обозначим длину некоторого тела при О °С через |
(’(). Тогда длина этого |
тела при температуре t °С будет (,. Среднее значение ТКЛР (а) в интервале
температур от О °С до \ °С |
есть относительное |
удлинение тела |
при |
изменении его температуры па один градус, т.е. |
|
|
|
|
|
|
(5) |
Среднее значение ТКЛР будет практически таким же, если взять: / С1. |
|||
длину стержня при комнатной |
температуре (Го), |
- длину стержня |
при |
некоторой, более высокой температуре (7’), и определить относительное удлинение при нагревании на 1 К:
<«>=^ Г -Г1 п (6)
Мы перешли от шкалы Цельсия к шкале Кельвина.
Формула (6) используется в качестве основной расчетной формулы в данной работе.
ТКЛР является одним из важнейших эксплуатационных свойств материалов.
Приборы для измерения ТКЛР называются дилатометрами.
Конструкция лабораторной дилатометрической установки
В качестве исходной схемы в предлагаемой установке принят относительный метод с механическим способом измерения удлинения образца. Основные детали лабораторной установки изготовлены из плавленного кварца, обладающего наименьшим ТКЛР.
Установка (рис. 2) включает в себя измерительный блок и блок регистрации температуры.
Нагревательная печь 2 размещена в металлическом цилиндре 1. Источником питания печи служит лабораторный автотрансформатор ЛАТР-22. Цилиндр закрыт асбоцементной втулкой 4. В печь вставляется кварцевая трубка 3, внутри которой размещается образец 5. Температура в печи определяется термопарой ХК (хромель-копель). Изменение длины образца определяется с помощью индикаторной головки 7.
Рис. 2. Дилатометр: 1 - металлический цилиндр; 2 - нагревательная печь; 3 - кварцевая пробирка; 4 - втулка, закрывающая цилиндр; 5 - образец; б - толкатель; 7 - индикаторная
головка типа 1-МИГ; 8 - термопара ХК; 9 - блок регистрации температуры
Порядок выполнения работы
1.Ознакомиться с установкой и схемой ее включения в работу.
2.Ознакомиться с методом измерения температуры образца с помощью термопары. К лабораторной установке прилагается график зависимости
термоЭДС (е) от разности температур. По данному графику определяется температура образца.
3.Включить в сеть автотрансформатор и установить напряжение 70 В.
4.Измерить длину образца Л70 в делениях при исходной температуре.
5.В процессе нагревания (остывания) образца отслеживать значения
термоЭДС 8/ и измерять длину образца Nj (в делениях) при соответствующих значениях е, (таблица). Для выключения печи достаточно снять напряжение с автотрансформатора.
6. Заполнить таблицу. Для определения Д7} использовать градуиро вочный график.