книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1

2.4.Задачи и вопросы

Типовая задача

Решение

Метод, основанный на применении I и II законов Кирхгофа

Реализуем алгоритм расчета (п. 2.3.1):

−зададим положительные направления токов в ветвях, как показано на схеме (см. рис. 2.15);

−схема содержит 3 узла (0, 1, 2), для двух из них (1, 2) составим независимые уравнения по I закону Кирхгофа:

− схема содержит 3 независимых контура I, II, III (стрелками показаны направления обходов контуров), для каждого из которых запишем II закон Кирхгофа:

− подставляя численные значения и решая совместно уравнения (1) – (4), найдем токи, а из уравнения (5) – напряжение на источнике тока. Окончательно имеем:

61

I1 = 9 A; I2 = – 3 A; I3 = 6 A; I4 = 2 A; UJ = 6 B.

Составим уравнение баланса мощности цепи:

R1I12 + R2 I22 + R3 I32 + R4 I42 = E1I1 − E2 I2 +U J J .

После подстановки численных значений имеем 408 Вт = 408 Вт, что свидетельствует о правильности расчета.

Метод контурных токов

Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.2:

−схема содержит три независимых контура; при наличии ветви с источником тока выбираем контуры так, чтобы эта ветвь принадлежала только одному контуру (при таком выборе контурный ток этого контура равен задающему току источника тока); выберем контуры так же, как и в предыдущем методе, а направления контур-

ных токов I11, I22, I33 = J – совпадающими с направлениями обходов онтуров;

−уравнения по методу контурных токов:

Численные значения коэффициентов:

R11 = R1 + R2 = 8 Ом; R22 = R2 + R3 + R4 = 8 Ом; R33 = R4 = 3 Ом; R12 = R21 = – R2 = – 4 Ом; R13 = R31 = 0; R23 = R32 = R4 = 3 Ом;

I33 = J = 8 A; E11 = – E1 – E2= – 48 B; E22 = E2 = 12 B; E33 = UJ.

Решение уравнений (1), (2) дает I11 = – 9 A; I22 = – 6 A.

Из уравнения (3) определяется напряжение на источнике тока UJ = 6 B. Найдем токи в ветвях:

I11 = −I11 = 9 А; I2 = I11 − I22 = −3 А; I3 = −I22 = 6 А; I4 = I22 + I33 = 2 А.

62

Метод узловых потенциалов

Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.3:

−схема (см. рис. 2.15) содержит три узла; в качестве опорного (базисного) выбираем узел 0, тогда подлежат определению потенциалы узлов 1 и 2;

−уравнения для узловых потенциалов:

−расшифруем значения коэффициентов:

−решая систему уравнений (1) и (2), имеем

ϕ 1 = 0, ϕ 2 = 6 B;

−по закону Ома определяем токи в ветвях:

63

Метод наложения

Реализуем алгоритм, изложенный в п.2.3.4:

−зададим положительные направления токов в ветвях,

−разобьем заданную схему на три подсхемы (по количеству источников), в каждой из которых действует только один источник питания (рис. 2.16).

Произведем расчет каждой подсхемы.

Рассмотрим подсхему, изображенную на рис 2.16, а. Воспользуемся методом эквивалентных преобразований, в результате схема примет вид, представленный на рис. 2.17. Входное сопротивление

64

Токи:

где R1,3,4 – эквивалентное сопротивление первой, третьей и четвертой ветвей.

65

− находим токи в ветвях исходной схемы как алгебраическую сумму частичных токов (знак при них определяется из сравнения их направлений с положительными направлениями токов, произвольно заданных на первом этапе):

I1 = I1E1 + I1E2 + I1J = 6 +1+ 2 = 9 А;

I4 = −I4E1 + I4E2 + I4J = −3 +1 + 4 = 2 А.

Метод эквивалентного генератора

Применяется для определения тока в какой-либо одной ветви. Пусть в рассматриваемом примере требуется определить ток в третьей ветви. Реализуем алгоритм, изложенный в п. 2.3.5:

−зададим положительное направление тока в исследуемой

ветви;

− разомкнем эту ветвь, на разомкнутых зажимах возникает напряжение холостого хода;

66

− для нахождения напряжения холостого хода (рис. 2.20)

−в соответствии с теоремой об эквивалентном источнике:

окончательно, I3 = 6 А.

67

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.В результате расчета было получено отрицательное значение тока некоторой ветви цепи. Что это означает?

2.При расчете многоконтурной электрической цепи два контура проходят через ветвь с источником тока. Каким уравнением необходимо дополнить систему контурных уравнений?

3.В электрической цепи есть идеальный источник ЭДС. Какой узел следует выбирать в качестве опорного (базисного) при расчете такой цепи методом узловых потенциалов?

4.Как изменится система узловых уравнений, если потенциал опорного узла взять отличным от нуля?

5.Цепь рассчитана методом наложения. Можно ли определить мощность, вырабатываемую источником, как сумму мощностей, вырабатываемых каждым источником в отдельности?

6.Как изменится уравнение для тока ветви в методе эквивалентного источника, если ветвь, где определяется ток

– содержит реальный источник ЭДС;

– содержит идеальный источник ЭДС?

7.Как зависит эквивалентное сопротивление мостовой схемы относительно диагонали моста от того, какой источник питает эту цепь?

8.Объяснить, как производится определение входного сопротивления активного двухполюсника при решении задачи методом эквивалентного генератора. Определить входное сопротивление двухполюсника (рис. 2.22) относительно точек a и b для двух случаев:

68

а) когда источники ЭДС и тока включены, как показано на рис. 2.22;

б) когда их поменяли местами.

9. Определить при каком значении R ток I в цепи (рис 2.23) равен 1 А, если Е = 30 В. Чему в данном случае равна суммарная активная мощность источников?

11.При каком значении задающего тока J1 источника тока напряжение между точками a и b в цепи (рис 2.24) равно 200 В, если

R = 100 Ом, J2 = 1 А? Чему равна суммарная мощность тепловых потерь?

12.Дана цепь (рис. 2.25), в которой R1 = 100 Ом, R2 = R3 = R5

=25 Ом, R4 = 50 Ом. При каком входном напряжении показание вольтметра равно 15 В?

13. Определить для изображенных ниже схем (рис. 2.26–2.34) токи всех ветвей, напряжение на источнике тока UJ методами уравнений Кирхгофа, контурных токов и узловых потенциалов и проверить выполнение баланса мощности:

69

70