книги / Надежность электрических машин

101

для которых задаётся диапазон возможных значений, а также параметры, определяемые до испытания. Набор фиксированных значений параметров называют сечениемплана.

План испытаний считается заданным, если в нём известны:

–оцениваемый показатель надёжности;

–перечень параметров плана;

–перечень непосредственных результатов испытаний (достаточная статистика);

–процедура (методика, способ) получения непосредственных результатов;

–дополнительные условия, определяющие рамки применения данного плана.

Каждому плану испытаний соответствует определённая методика планирования (методика выбора сечений плана) и способ обработки непосредственных результатов. Под методикой планирования понимается программа испытаний, о ней речь пойдёт ниже.

Пример плана испытаний. Цель испытаний – оценить веро-

ятность безотказной работы изделия Р(τ) в течение интервала времени τ при произвольном распределении времени отказов T.

1. Проводят m опытов, каждый из которых состоит в испытании одного образца изделия до истечения времени τ, если до этого времени отказ не наступил, или до отказа, если время возникновения отказа t < τ.

2.Фиксируют количество опытов d, закончившихся отказом.

3.Вычисляют точечную оценку Р(τ) на основе величин m

иd, необходимые показатели точности и достоверности этой оценки, доверительные границы ( Рн(τ) и Рв(τ) ), соответствую-

щие заданной доверительной вероятности Q, абсолютные и относительные доверительные погрешности.

Описание полностью характеризует план, так как оценивается показатель надёжности Р(τ) ; количество опытов m является пара-

метром плана; m и d являются достаточными статистическими ис-

102

ходными данными. Процедура получения непосредственных результатов ясна из описания; план может применяться единообразно при произвольных распределениях времени отказов T.

Отметим, что здесь не используются сведения о конкретном испытываемом изделии. Например, ничего не сказано о характеристиках состояния отказа, о необходимом уровне питающего напряжения, частоты, нагрузки, не определены условия внешней среды, количество образцов изделий, необходимое для проведения испытаний (m опытов можно провести на m образцах, а можно – в пределе – и на одном образце при полном восстановлении свойств надёжности) и т. д.

Конкретизацией выбранного плана является программа испытаний. Она составляется в результате планирования испытаний и включает в себя следующие позиции:

–оцениваемый показатель надёжности;

–показатели точности и достоверности оценки;

–план испытаний;

–значения параметров (сечение) плана (в частности, количество опытов m);

–количество образцов, участвующих в испытаниях;

–условия окружающей среды;

–необходимоеиспытательноеоборудование, стендыиприборы;

–режимы работы и технического обслуживания испытываемого образца;

–процедуру получения непосредственных результатов;

–формулы для вычисления искомых показателей;

–способ оформления результатов испытаний. Окончательный вариант требований к точности и достовер-

ности оценки показателей всегда представляет собой компромисс между стремлениями получить высококачественную оценку и снизить затраты всех видов на проведение испытаний. Эти стремления противоречат друг другу, поэтому необходимо учитывать специфику испытываемого изделия: назначение, условия эксплуатации, стоимость эксплуатации, объём партии, возможность испытательной базы и целый ряд других факторов.

103

Оценка вероятности безотказной работы Р(τ) может производиться при использовании различных планов испытаний. Однако почти все эти планы предполагают знание типа закона распределения для исследуемого изделия.

Только один план свободен от этого условия и является универсальным в том смысле, что позволяет по единой методике проводить статистическую оценку величины Р(τ) для изделий с любым законом распределения времени отказов T. Рассмотрим этот план.

План испытаний. Проводится m опытов, каждый из которых состоит в испытании одного образца в установленных условиях эксплуатации до истечения времени τ (если до этого времени не возник отказ образца) либо до возникновения отказа (если отказ возник раньше истечения времени τ). Опыты могут проводиться параллельно (одновременно) или последовательно. По окончании всех m опытов фиксируется общее количество наблюдённых отказов d. Значения m и d представляют собой непосредственные результаты испытаний, на основе которых определяются все необходимые числовые данные – Р(τ), Рн (τ), Рв (τ), δР. План является однопараметрическим планом испытаний, параметром является количество опытов m.

Основные соотношения. Точечная оценка искомой вероятности Р связана с результатами испытаний следующим соотношением:

Такая оценочная функция для рассматриваемого случая является несмещённой, состоятельной и эффективной.

В основе методов планирования, обработки результатов испытаний лежат выражения [4]

i=0

104

связывающие доверительные границы (Рн, Рв) и доверительную вероятностьQ снепосредственнымирезультатамииспытанийm иd.

Эти выражения вытекают из предположения о том, что число отказов в m опытах подчинено биномиальному распределению. Непосредственное решение данных уравнений настолько громоздко, что не может быть рекомендовано для практического использования. Поэтому составлены таблицы, полученные с помощью ЭВМ (см. прил. 1, табл. П.3 для Q = 0,9 и Q = 0,8). Строки таблицы соответствуют значениям d от 1 до 25; столбцы – значениям m от 1 до 200. В клетках на пересечениях строк и столбцов указаны значения Рв (сверху) и Рн (снизу), соответствующие решениям уравнений (53), (54) при данном сочетании значений Q, d, m.

Планирование. Сводится к определению единственного значения параметра m (минимального количества опытов), необходимого для обеспечения заданной достоверности и точности оценки показателя P , а также ориентировочного значения сум-

марного расхода ресурса tΣ. Поскольку P является позитивным показателем, точность связывается с нижней доверительной границей, т.е. с уравнением (54). С учётом выражений (51) и (52) можно записать:

Полученное выражение можно рассматривать как основное уравнение планирования, так как оно связывает величины Q и δР, задаваемые в качестве исходных данных, с параметром m. Единственное принципиальное затруднение состоит в том, что в (57) входит величина точечной оценки Р , которая в момент плани-

105

рования неизвестна. Это означает, что при фиксированном значении Q и δР необходимое количество опытов m является функцией результатов испытаний.

В то же время предварительное определение m, хотя бы приближённо, весьма важно с точки зрения практики испытаний. В связи с этим при планировании следует принять некоторое

ожидаемое значение точечной оценки Р = РЕ и использовать его в выражении (57). Это даёт возможность ориентировочно определить m. Выбор РЕ должен производиться на базе всей имеющейся априорной информации:

–данных испытаний и эксплуатации аналогичных изделий;

–результатов расчётов;

–требований, предъявляемых к изделию на этапе разработки, и т.д.

Если РЕ > P , то при фиксированном значении достоверно-

сти точность оценки оказывается выше заданной.

Итак, методика планирования, или программа испытаний,

состоит в следующем:

1.Выбирается нижняя доверительная граница поформуле (56).

2.В табл. П.3 прил. 1 c заданной доверительной вероятностью Q выделяют все клетки, соответствующие значениям m и d, удовлетворяющим равенству

3.Среди выделенных клеток в табл. П.3 прил.1 находится та,

вкоторой окажется значение Рн, равное или наиболее близкое значению, рассчитанному в п.1 по формуле (56). Столбец, которому принадлежит данная клетка, определяет необходимое ко-

личество опытов m.

С целью облегчения процесса планирования на основе данных табл. П.3 прил. 1 было построено семейство графиков

m = f (PE ) для различных значений δР и Q. На рис. 14 приведены два таких графика, соответствующие значениям Q = 0,9

106

и Q = 0,8, позволяющие просто определить необходимое количество опытов m по заданным Q, δР и PE . Планирование по данным графикам не требует комментариев.

Рис. 14. Семейство графиков m = f(PE) при различных значениях δР:

а – доверительная вероятность Q = 0,9; б – доверительная вероятность Q = 0,8

Обработка результатов состоит в определении Р, доверительных границ Рн и Рв и относительной погрешности δР по полученным в испытаниях m и d. Точечная оценка искомой вероятности P вычисляется по формуле (52); доверительные границы определяются по табл. П.3 прил. 1 (по известным параметрам Q, m, d); относительная доверительная ошибка вычисляется по формуле (51).

Пример 6.2.

Требуется провести определительные испытания партии асинхронных микродвигателей для оценки показателя Р за 1000 ч при следующих исходных данных: Q = 0,8; δР = 0,5; закон распределения времени безотказной работы – экспоненциальный; ожидаемый уровень вероятности безотказной работы РЕ = 0,92 (получен расчётным путём).

Планирование. Испытания проводятся с продолжительностью опыта, равной 1000 ч. Для определения необходимого количества опытов воспользуемся рис. 14. В соответствии с исходными данными (Q = 0,8; δР = 0,5 и PЕ = 0,92) по графику на рис. 14, б находим, что m = 80.

107

Проведение испытаний и обработка результатов. На испы-

тания ставятся 80 машин и испытываются в течение 1000 ч. Пусть за это время произошло 6 отказов (d = 6). По (52) вычисляем точечную оценку:

P(1000) =1− 806 = 0,925.

По табл. П.3 прил. 1 (Q = 0,8) для m = 80 находим верхние и нижние доверительные границы: Pв = 0,95; Pн = 0,889. В соответствии с формулой (51) рассчитываем относительную доверительную погрешность

Полученный результат удовлетворяет требованиям к точности и достоверности оценки Р(τ).

6.3.Испытания электрических машин

сэкспоненциальным распределением времени безотказной работы

Экспоненциальное распределение является однопараметрическим, поэтому для определения свойства безотказности изделий достаточно получить оценку одного из следующих используемых показателей: Тср, λилиР(τ). Онисвязанымежду собойсоотношением

отсюда оценка интенсивности отказов λ и её граничные значения λн и λв определяются по формулам:

Относительная доверительная погрешность оценки интенсивности отказов определяется в соответствии с формулой (51):

Определительные испытания на безотказность можно вести в расчёте на любой из трёх указанных выше численных показателей, тогда оценки двух других могут быть получены путём простого пересчёта.

В качестве исходных данных определительных испытаний задаются достоверность Q и оценка точности (или погрешности) δТ . Дляоценки безотказности в данном случае возможны два пути:

1)непосредственная оценка Тср (или λ);

2)оценка Р(τ) при произвольно выбранном τ с последующим

пересчётом в оценку Тср.

Второй путь, сводящийся к основному плану, подробно описан в предыдущем подразделе 6.2. Особенность планирования состоит в том, что для определения числа опытов m необходимо

принять некоторое ожидаемое значение ТЕ, затем выбрать расчётное время τ и рассчитать РЕ(τ) по формуле

Затем необходимое значение m определяется по методике, изложенной в подразделе 6.2. По результатам испытаний m и d определяются Р (τ), Рв(τ), Рн(τ) и δP , которые затем пересчиты-

ваются в оценку Тср в соответствии с формулами (60)–(63). Рассмотрим план испытаний для непосредственной оценки

среднего времени отказов Тср . Этот план полностью пригоден и для оценки λ по формуле (59).

109

План испытаний. Испытывается произвольное количество образцов n. При этом разные образцы могут проработать разное время, некоторые образцы могут не иметь ни одного отказа. Испытания прерываются в произвольный момент времени, после чего подсчитывается суммарная наработка всех образцов tΣ

иобщее количество наблюдённых отказов dΣ .

Внекоторых случаях испытания прерываются не в произвольный момент времени, а в момент, когда наберётся заплани-

рованное количество отказов dΣ = d1 . В этом случае расчётное значение tΣ определяется по формуле

где tф – фактическая наработка.

Основные соотношения. Точечная оценка, обладающая свойствами несмещённости, состоятельности и эффективности, вычисляется по формуле

Известно, что оценка параметра экспоненциального распределения подчиняется распределению χ2, в связи с этим для доверительных границ оценки Тср имеют место следующие соотношения

гдеkв и kн – коэффициенты функции распределения χ2. На основе таблиц распределения χ2 составлены таблицы значений kв и kн при различных доверительных вероятностях Q. В табл. П.4 прил. 1 даны значенияkв и kн для Q = 0,8 и Q = 0,9. Относительная доверительная погрешность вычисляется по формуле

Средняя суммарная наработка в испытаниях всех образцов определяется так:

Планирование испытаний сводится к определению минимального количества отказов d, обеспечивающего заданные Q и δТ оценки. Из-за позитивного показателя Тср в основу оценки доверительных границ положено выражение (68), определяющее нижнюю доверительнуюграницу. Поэтому вычисляетсязначениекоэффициентаkн:

Затем по табл. П.4 прил. 1 для заданного Q находится kн, равное или близкое вычисленному по формуле (71). Столбец, соответствующий указанному kн, определяет необходимое количество отказов d1.

Обработка результатов. На основе результатов испытаний tΣ и dΣ и достоверности Q должны быть определены Тср, Тв, Тн,

δT . Точечную оценку Тср определяют по формуле (66), доверительные границы Тв, Тн по табл. П.4 прил. 1. По dΣ находят kв и kн, затем вычисляют Тв и Тн по (67) и (68). Относительная доверительная погрешность оценки δT вычисляется по формуле (48).

Пример 6.3.

Проводятся определительные испытания АД для оценки среднего времени безотказной работы.

Заданы Q = 0,8 и δT = 0,25.

Планирование. Рассчитывается kн по формуле (69): kн =1−δT = 0,75.

В табл. П.4 прил. 1 находится близкое значение kн = 0,758, которому соответствует d = 6. В соответствии с данными аналогов принимаем ТЕ = 5800 ч. Тогда по выражению (70)