книги / Подземная гидромеханика

При постоянном во времени давлении в данной точке пласта (стационарное поле давлений) фильтрационный поток называется установившимся; если давление в такой точке изменяется с течением времени (нестационарное поле), фильтрационный поток называется неустановившимся.

При изучении процессов фильтрации различают потоки сжимаемой и несжимаемой жидкостей, потоки однородных жидкостей, смесей и др.

1.2.3. Законы фильтрации

Основное соотношение теории фильтрации называют законом фильтрации. Он устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и полем давления, которое вызывает фильтрацию.

Первые исследования фильтрации жидкости в пористых средах проведены французскими инженерами Дарси и Дюпюи, работы которых положили начало теории фильтрации. При изучении движения воды через песчаные фильтры установлена экспериментальная зависимость

∆ Н – гидравлический уклон; kф – коэффициент фильтрации

L

(коэффициент пропорциональности), представляющий собой скорость фильтрации при гидравлическом уклоне, равном единице. Коэффициент фильтрации имеет размерность скорости.

Коэффициент фильтрации используется обычно в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При исследовании фильтрации нефти, газа и их

11

смесей необходимо разделить влияние на фильтрацию свойств пористой среды и жидкости:

где ρ – плотность жидкости; µ – динамическая вязкость жидкости; ∆P – перепад давления; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств пористой среды и характеризующий ее способность пропускать сквозь себя жидкости или газы при перепаде давления; знак «минус» в (7) означает, что давление в направлении движения жидкости уменьшается. Коэффициент k называют коэффициентом проницаемости, он имеет размерность площади (м2).

ВСИ за единицу проницаемости в 1 м2 пронимается проницаемость пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 м2, длиной 1 м и перепаде давления 1 Па расход жидкости вязкостью 1 Па· с составляет 1 м3/с.

На практике нередко пользуются единицей измерения проницаемости, называемой дарси (Д). Один дарси – это проницаемость пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью в 1 см2 и длиной в 1 см при перепаде давления в 1 ат (0,1 МПа) расход жидкости вязкостью 1 мПа·ссоставляет 1 см3/с.

Уравнение (7) – линейный закон фильтрации (закон Дарси), в соответствии с которым зависимость между вектором скорости и градиентом давления линейная.

Вряде случаев при фильтрации жидкости наблюдаются отклоненияотлинейногозакона. ГраницуприменимостизаконаДарсисвя-

зывают с некоторым критическим значением числа Рейнольдса Reкр. Re можетбытьопределенопоформулам:

12

2.УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ

ИГАЗОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

2.1. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости, имеющей динамическую вязкость µ, в однородном горизонтальном пласте постоянной толщины h в направлении от контура питания к галерее стока (рис. 3). Давление на контуре питания Рк, на галерее стока Рг. Длина пласта L, ширина – а. Движение жидкости предполагается установившимся одномерным; закон фильтрации – линейный.

Рис. 3. Вертикальное сечение пласта и линия распределения давления для одномерного потока (линия Рк – Рг)

Расход жидкости (дебит галереи) определится по формуле

14

Для двух частей пласта с линейными размерами x и L – x можно записать (Q = const):

Из этого равенства получаем формулу для распределения давления в пласте при линейном законе фильтрации:

где x – расстояние до произвольного сечения пласта, давление

вкотором Р.

2.2.УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКОРАДИАЛЬНОЕ

ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассмотрим движение несжимаемой жидкости, имеющей вязкость µ, в однородном горизонтальном пласте постоянной толщины h в направлении от контура питания к скважине (рис. 4). Давление на контуре питания Рк, в скважине Рс. Радиусы контура питания rк, скважины rс. Движение жидкости предполагается установившимся плоскорадиальным, закон фильтрации – линейный.

Расход жидкости (дебит скважины) можно определить

где F – площадь нормального по отношению к линиям тока сечения.

При плоскорадиальном движении таким сечением является боковая поверхность цилиндра с площадьюF = 2πrh.

15

PNRPU

формуле(17), получимуравнениераспределениядавлениявпласте:

Из формулы (18) следует, что линия распределения давления в пласте имеет вид логарифмической кривой. Геометрическое тело, образованное вращением этой кривой вокруг оси скважины, называют воронкой депрессии (рис. 4).

Количество жидкости, получаемое из скважины за единицу времени при единичной депрессии, называется коэффициентом продуктивности, то есть коэффициент продуктивности есть отношение дебита скважины к депрессии, при которой этот дебит получен.

График зависимости дебита от депрессии называют индикаторной диаграммой (рис. 5).

Рис. 5. Индикаторная диаграмма

17

При установившемся плоскорадиальном движении жидкости по линейному закону фильтрации индикаторная диаграмма имеет вид прямой линии, выходящей из начала координат (при отсутствии депрессии нет притока жидкости в скважину).

Всоответствии с (19) Кпрод = tgα.

2.3.Установившееся одномерное движение несжимаемой жидкости по нелинейному закону фильтрации

Исходные данные, рассмотренные в п. 2.1, остаются неизменными. Предполагается, что закон фильтрации жидкости в пласте – нелинейный.

Расход жидкости в таком потоке определится по формуле

При Q = const распределение давления подчиняетсязакону

Из формулы (21) следует, что закон распределения давления при нелинейном законе фильтрации в точности совпадает с формулой распределения давления в аналогичном потоке при фильтрации по линейному закону (рис. 3).

2.4. Установившееся плоскорадиальное движение несжимаемой жидкости по нелинейному закону фильтрации

Исходные данные, рассмотренные в п. 2.2, остаются неизменными. Предполагается, что закон фильтрации жидкости в пласте – нелинейный.

18

Вывод формулы для расхода жидкости (дебита скважины) приведен в прил. 1. Формула имеет вид:

При n = 2 (закон Краснопольского) формула дебита упрощается:

rc rк

При нелинейной фильтрации жидкости индикаторная диаграмма имеет вид параболы с показателем степени от 1 до 2. Вслучае существования закона Краснопольского индикаторная линия является обыкновенной параболой второгопорядка (рис. 6).

При линейной фильтрации на каждую следующую единицу при увеличении перепада давления приходится один и тот же прирост дебита. Выпуклость индикаторных линий к оси дебитов при нелинейных законах указывает, что на каждую следующую единицу при увеличении перепада давления приходится все меньший прирост дебита.

19