книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

то характеристики определятся как линии пересечения двух семейств поверхностей (7.32). Обратно, если на некоторой поверхности с непрерывно изменяющейся касательной плоскостью через каждую точку поверхности проходит лежащая на ней характеристика, то эта поверхность есть интегральная; в самом деле, в каждой ее точке вектор (V) лежит в плоскости (Т), т.е. удовлетворяется уравнение (7.30).

Теперь ясно, как построить интегральные поверхности; для этого достаточно из семейства характеристик (7.32) из двух параметров выделить семейство от одного параметра по некоторому закону, притом так, чтобы полученная поверхность имела непрерывно изменяющуюся касательную плоскость, а для этой цели достаточно установить между параметрами a и b одно произвольное соотношение

Φ (a,b=) 0,

где Φ – дифференцируемая функция.

Исключая из этого соотношения и из уравнений (7.32) a и b, мы получаем уравнение интегральной поверхности:

Φ [u(x, y, z),v(x, y, z)=] 0.

181

Cписок литературы

1.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 468 с.

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. –

М.: Наука, 1967. – 472 с.

3.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.:

Наука, 1982. – 331 с.

4.Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. –

530с.

5.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1964. – 272 с.

6.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 319 с.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Интеграл-Пресс, 1998. – 208 с.

8.Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышэйшая школа, 1977. – 414 с.

9.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. – М.: Высшая школа, 1989. – 383 с.

10.Максимов В.П. О некоторых обобщениях обыкновенных дифференциальных уравнений, краевых задачах и их приложениях к задачам экономической динамики // Вестник Пермского государственного технического университета. Математика и прикладная математика. – 1997. –

№4. – С. 103–121.

11.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – М.: Высшая школа, 1982. – 271 с.

182

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

есть ее характеристическое или вековое уравнение. В раскрытом виде имеем

Обозначим через λ p ( p =1,...,n) корни характеристического уравнения

(П1.1) (характеристические корни или собственные значения матрицы А). Можно доказать, что с помощью преобразования подобия

есть так называемые клетки Жордана, причем каждому характеристическому корню λ p кратности α p соответствует одна или несколько клеток Жордана

размерами e(1)p ,..., e(pr ) такие, что

e(1)p + ... + e(pr ) = α p .

Легко убедиться, что каждой клетке Жордана J p (λ p ) порядка ep

с точностью до нулевого скалярного множителя отвечает один и только один собственный вектор матрицы А, имеющий в надлежащем базисе вид

xp = colon(0,...,0,ξ p ,0,...,0),

где ξ p Eep и

Jp (λ p )ξ p = λ pξ p (ξ p ≠ 0) ,

183

причем различным клетками Жордана соответствуют линейно независимые собственные векторы. Поэтому постоянная r, так называемая степень

вырождения соответствующего собственного значения λ p , представляет собой максимальное число линейно независимых собственных векторов матрицы А, соответствующих λ p .

В общем случае r ≤ α p . Если степень вырождения характеристического корня λ p равна его кратности, т.е. r = α p , то, очевидно, e(1)p = ... = e(pr ) = 1 .

Таким образом, в этом случае все соответствующие клетки Жордана будут содержать по одному элементу (простые клетки).

Поскольку

λ E= S−λ1 S и A=S−1JS,

то характеристический полином ∆λ( ) может быть представлен в виде

различным клеткам Жордана (не обязательно различные между собой). Множители (λ − λ p )e p (p=1,...,n) называются элементарными делителями

матрицы А, а натуральные числа ep (т.е. размеры (порядки) клеток Жордана) – показателями элементарных делителей, соответствующих характеристическому числу λ p или линейному множителю λ −λ p .

Если все характеристические числа λ p имеют простые элементарные делители ( ep =1), то матрица Жордана J будет чисто диагонального вида:

При этом числа λ p не обязательно различны. Это обстоятельство, например, имеет место для симметрической матрицы.

Заметим, что, вообще говоря, характеристические числа λ p – комплекс-

ные, и, следовательно, в общем случае как матрица преобразования S, так и матрица Жордана J имеют комплексные элементы. Если ограничиться действительными преобразованиями, то соответствующая модифицированная матрица Жордана будет иметь более сложный вид.

Можно доказать, что форма Жордана обладает свойством единственности, т.е. данную матрицу с помощью преобразования подобия (П1.2) можно привести только к единственной форме Жордана, с точностью

184

до порядка клеток, и, в частности, размеры набора клеток Жордана не зависят от выбора матрицы S. Например, форма Жордана матрицы А будет полностью определена, если упорядочить ее характеристические числа λ p

( p =1,...,m) , а клетки Жордана, соответствующие одному и тому же

характеристическому числу, расположить в порядке возрастания их размеров.

Пусть существует неособенная матрица T (detT ≠ 0) такая, что

B=TAT−1.

Отсюда

Теорема 1. Подобные матрицы имеют одинаковые формы Жордана (с точностью до порядка клеток).

Доказательство. Действительно, из формулы (П1.3) имеем

λ E− A= Т−1(λ E− B)Т,

отсюда

det(λ E− A)= detТ−1 det(λ E− B)detТ= det(λ −E B)

и, следовательно, характеристические полиномы матриц А и В, а значит, и их собственные значения λ p (p=1,...,n) совпадают между собой.

185

186

Приравнивая соответствующие элементы третьих диагоналей матриц SI1 и ГS , находим

где sn−1,n = 0. Отсюда последовательно определяются элементы sj, j+1 ( j ≥ 1). Аналогично находятся все остальные элементы матрицы S. Поскольку

то размеры клеток Kp (λ p ) представляют собой показатели элементарных

делителей матрицы А.

Следствие 2. Всякую квадратную матрицу А с помощью преобразования подобия B=SAS−1 можно привести к почти диагональному виду

где bjk ≤ ε при j ≠ k и ε– сколь угодно мало. Действительно, матрица А подобна матрице

J =diag[J1(λ 1),...,Jmλ( m)],

187

где λ p (p =1,...,m) (m≤ n) – характеристические корни матрицы А и J p (λ p ) (p=1,...,m) – соответствующие клетки Жордана. Поскольку в силу теоремы 2 имеем

то, очевидно, матрица А подобна матрице

B =diag[K1(λ 1),...,Kmλ( m)],

обладающей нужным свойством.

188

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Экспоненциал матрицы

Пусть X = (xjk ) – квадратная матрица порядка n.

Определение. Под экспоненциалом квадратной матрицы X понимается матричная функция

Матричный ряд (П2.1) сходится для любой квадратной матрицы X и при том абсолютно. Действительно, составляя соответствующий ряд норм, будем иметь

Пусть матрицы X и Y перестановочны, т.е.

XY = YX .

Докажем основное свойство экспоненциала матрицы

189

Нормальная форма экспоненциала матрицы

Пусть A – квадратнаяматрица. Рассмотримэкспоненциалболееобщеговида

190