книги / Метрология, стандартизация, сертификация в строительном материаловедении

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение х:

Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к хи. Для оценки ее возможных отклонений от хи определяют опытное среднее квадратическое отклонение (СКО):

i 1

Для оценки рассеяния отдельных результатов х измерения относительно среднего х определяют СКО:

n 1 n 1

Примечание. Применение формул (1.8) правомерно при условии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении температуры остывающего металла или измерении потенциала проводника через равные отрезки длины, то в формулах (1.8) в качестве х следует брать какую-то постоянную величину например, начало отсчета.

Формулы (1.7) и (1.8) соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения. Это отражает и формула (1.9), определяющая фундаментальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необ-

52

elib.pstu.ru

ходимо повысить точность результата (при исключенной систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т.д.

Нужно четко разграничивать применение σx и σx: величина σx используется при оценке погрешностей окончательного результата,

аσx – при оценке погрешности метода измерения.

Взависимости от характера проявления, причин возникновения и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также грубые погрешности (промахи).

Систематическая c составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

Случайная s составляющая изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений условий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специальных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности измерения проявляются одновременно, так что общая погрешность при

их независимости = c + s или через СКО c s .

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно возникает из-за множества неуточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики (закон распределения, закон математического ожидания, СКО, доверительная вероятность и доверительный интервал). Часто для предварительной оценки закона распределения параметра используют относительную величину СКО – коэффициент вариации:

53

elib.pstu.ru

Например, при v^ < 0,33,...,0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону. Если Р означает вероятность того, что х результатов измерения отличается

то в этом случае Р – доверительная вероятность, а интервал от x – s до x + s – доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа – величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нормальному закону (как правило), то вместо значения s указывается σx. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при = σx значение Р = 0,68; при = 2σx значение

Р = 0,95; при = σx значение Р = 0,99.

Доверительная вероятность по формуле (1.11) характеризует вероятность того, что отдельное измерение х не будет отклоняться от истинного значения более чем на . Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметического рядаизмерений.

До сих пор рассматривались оценки СКО по «необходимому» (достаточно большому) числу измерений. В этом случае σ2 называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10– 20) получают так называемую выборочную дисперсию σ2. Причем σ2 → > σ 2 лишь при n → >∞. То есть если считать, что σ 2 = σ 2, то надежность оценки уменьшается с уменьшением п, а значения доверительной вероятности P завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводят коэффициент Стьюдента t, определяемый по специальным таблицам в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале J x t x n и отличается от действительного значения на относительную величину x n x .

54

elib.pstu.ru

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повышение точности измерений (уменьшение σx) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (1.9). Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использованы, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической составляющей Л. Если систематическая погрешность опреде-

В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо коренным образом изменить методику измерения. Для сравнения случайных погрешностей с различными законами распределения использование показателей, сводящих плотность распределения к одному или нескольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и выступают СКО, доверительный интервал идоверительная вероятность.

Надежность самого СКО характеризуется величиной 2n . Принято, что если σσ < 0,25 ст, то оценка точности на-

дежна. Это условие выполняется уже при п = 8.

Для практических целей важно уметь правильно сформулировать требования к точности измерений. Например, если за допус-

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением п величина в быстро уменьшается лишь до п = 5, ..., 10. Следовательно, увеличение

55

elib.pstu.ru

числа измерений на одном режиме свыше 5...10 нецелесообразно, что совпадает сусловием получениянадежных значении σσ.

Число измерений можно выбрать из данных табл. 1.5 или по одной из формул:

С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как δi = tPσx/x среднего значения

х tP x x n .

Таблица 1.5

Необходимое число измерений при нормальном законе распределения случайной величины (при Р = 0,95)

Считается, что систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях полностью исключить систематическую составляющую погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то неисключенные остатки, которые нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет ления результатов измерения.

Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает вариацию (разброс) результатов, то систематическая – устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначительность (с целью пренебрежения) систематической погрешности нужно доказать.

56

elib.pstu.ru

Действительно, если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов, как правило, будут различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей. Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1)из двух рядов nˆ и nˆ независимых измерений находят средние арифметические х\ и хг;

2)определяют значения

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р > 0,95, то разность |х1 – х2| носит систематический характер.

Пример 1.2. Расчетные значения составили t = 3 и п = 15. По таблице Стьюдента находим, что при п – 1 = 14 и t – 2,98 = 3 величина Р = 0,99. Тогда Р = 0,99 > 0,95, что свидетельствует о систематическом характере погрешности.

В отличие от случайной погрешности, выявленной в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рассматривается по составляющим в зависимости от источников ее возникновения, причем различают методическую, инструментальную и субъективную составляющие погрешности.

Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными особенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систе-

57

elib.pstu.ru

матические погрешности возникают из-за методической и инструментальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несовершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собственной погрешности СИ, определяемой классом точности, влиянием СИ на результат и ограниченной разрешающей способности СИ.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяется следующими моментами:

•для повышения точности измерений можно выделить лимитирующие факторы, а следовательно, принять решение об усовершенствовании методики или выборе более точных СИ;

•появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а следовательно, целенаправленно осуществлять периодические поверки и аттестации;

•инструментальная составляющая может быть оценена до разработки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляющая.

Другими словами, все виды составляющих погрешности нужно анализировать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зависимости от характера, что является основной задачей при разработке и аттестации методик выполнения измерений.

В ряде случаев систематическая погрешность может быть исключена за счет устранения источников погрешности до начала измерений (профилактика погрешности), а в процессе измерений – путем внесения известных поправок в результаты измерений.

Профилактика погрешности – наиболее рациональный способ ее снижения и заключается в устранении влияния, например, температуры (термостатированием и термоизоляцией), магнитных полей (магнитными экранами), вибраций и т. п. Сюда же относятся регулировка, ремонт и поверка СИ.

Исключение постоянных систематических погрешностей в процессе измерений осуществляют методом сравнения (замещения, про-

58

elib.pstu.ru

тивопоставления), компенсации по знаку (предусматривают два наблюдения, чтобы в результат каждого измерения систематическая погрешность входила с разным знаком), а исключение переменных и прогрессирующих – способами симметричных наблюдений или наблюдением четное число раз через полупериоды.

Пример1.3. Пусть периодическая погрешность меняется по закону

Asin 2 T ,

где φ – независимая величина, от которой зависит (время, угол поворота и т.д.); Т – период изменения погрешности.

Пусть при φ = φ0 величина 0 Asin 2 T .

Находим значение погрешности для φ = φ0 + ε, где ε – такой интервал, что

среднее двух наблюдений, произведенных одно за другим через интервал, равный полупериоду независимой переменной φ, определяющей значение периодической погрешности. То же будет и для нескольких пар подобного рода наблюдений (например, погрешность от эксцентриситета в угломерных СИ).

Краткое содержание темы

Метрология – наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Метрология базируется на комплексе терминов и понятий. Назовем главные из них.

59

elib.pstu.ru

Физическая величина – свойство, в качественном отношении общее для многих физических объектов, но в количественном отношении для каждого объекта индивидуальное. Физическими величинами являются длина, масса, плотность, сила, давление и др.

Единица физической величины – числовое значение этой величины, равное 1. Например, масса 1кг, сила 1Н, давление 1 Па.

Единицы одной физической величины в различных системах единиц могут различаться по размеру, например для силы 1 кг и 10 Н.

Значение физической величины – численная оценка физической величины конкретного объекта в принятых единицах. Например, значение массы кирпича – 3,5 кг.

Техническими измерениями называется определение значений различных физических величин специальными техническими методами и средствами. При лабораторных испытаниях используют измерения геометрических размеров, массы, температуры, давления, силы и др. Важнейшие требования, предъявляемые к техническим измерениям, – единство и точность измерений.

Единство измерений – состояние измерений, когда их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности измерений известны с заданной вероятностью. Единство измерений необходимо, чтобы можно было сопоставлять результаты измерений, выполненных в разных местах, в различное время, с помощью разнообразных приборов.

Точность измерений – качество измерений, отражающее близость результатов к истинному значению измеряемой величины.

Значение физической величины хизм, полученное при измере-

нии, находят по формуле хизм = А/n, где А – числовое значение; n – единица физической величины. В метрологии различают истинное

и действительное значения физических величин.

Истинное значение физической величины идеальным образом отражает в качественном отношении соответствующие свойства объекта. Истинное значение свободно от ошибок измерения. Поскольку все значения физической величины находят опытным путем и содержат ошибки измерений, истинное значение остается неизвестным.

60

elib.pstu.ru