книги / Математическое моделирование процессов механической обработки

Получено уравнение в операторной виде, описывающее изменение напряжения в цепи (скорости движения исполнительного органа – суппорта привода подачи) при ненулевых начальных условиях (в самом общем случае).

Выражение для изображения тока I1(р) определим следующим образом:

где Zвх p – входное операторное сопротивление цепи.

Получено уравнение в операторном виде, описывающее изменение тока в цепи (тягового усилия на ходовом винте привода подач исполнительного органа) при нулевых начальных условиях.

Полученные уравнения позволяют подробно проанализировать работу механизма (как, впрочем, и любого другого механизма) станка в следующих режимах:

1.Режим пуска двигателя, когда суппорт станка из состояния покоя приводится в движение, т.е. пуск привода на холостом ходу, начальные условия в этом случае равны нулю, так как массы не двигаются, валы не растянуты.

2.Режим переключения скорости движения суппорта станка

содной ступени на другую. Начальные условия в этом случае не равны нулю. Таким образом, внутренние источники будут оказывать существенное влияние на протекание переходного процесса.

3.Режим торможения, когда тормозным устройством в приводе скорость движения суппорта изменяется от какого-то определенного значения до нуля. Начальные условия в этом случае не равны нулю.

51

4.Режим, когда на суппорт начинает действовать сила резания (скажем, PZ) – при врезании резца в заготовку, закрепленную

впатроне шпинделя станка. Этому режиму будет соответствовать электрическая схема, в которой к выходу приложен источник тока, включаемый специальным ключом. Начальные условия в этом случае не равны нулю, и внутренние источники оказывают воздействие на протекание переходного процесса в приводе.

5.Режим стационарной работы привода, когда на суппорт действует сила резания PZ, изменяющаяся, например, по косинусоидальному гармоническому закону. Этому режиму будет соответствовать электрическая схема, в которой к выходу цепи приложен источник тока с гармоническим воздействием. Начальные условия в этом случае не равны нулю, внутренние источники будут оказывать существенное воздействие на протекание стационарного процесса в приводе станка.

Проверка адекватности метода электроаналогии

Рассмотрим вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы с учетом трения. Принципиальная схема такой системы приведена на рис. 3. В этой схеме тело массой m удерживается упругой связью с жесткостью С с учетом трения (демпфером).

1. Классическое решение методом теории колебаний. Рассмотрим воздействие на систему с вязким трением внезапной нагрузки:

0 (t 0),

P t P0 t 0 .

В этом случае уравнение движения груза массой m имеет вид

m x C x R P0 ,

где m – масса груза (тела); с – жесткость пружины; R – сила трения. Зависимость силы трения R от смещения или скорости дви-

жения определяется физической природой трения. Наиболее про-

52

стым случаем является так называемое вязкое трение, когда сила трения пропорциональна скорости движения:

Тогда уравнение будет иметь вид

m x C x a x P0 ,

при этом можно получить уравнение вида

колебаний соответствующей консервативной системы.

Решение полученного уравнения будет определяться следующей формулой (промежуточных выкладок не приводим; графическая интерпретация решения приведена на рис. 24):

53

В данном случае

2 2

Из полученной формулы видно, что даже при значительном затухании частота p1 затухающих колебаний мало отличается от частоты соответственных колебаний р соответствующей консервативной системы.

Рис. 24. Затухание колебаний линейной системы

Решим пример при следующих численных значениях величин параметров системы с одной степенью свободы:

m = 20 кг; P0 =100 Н;

α = 100 (Н с)/м; С = 500 Н/м.

54

p1 25 6,25 4,331/с;

n 0,577. p1

Получим уравнение

x 100500 1 e 2,5 t cos 4,33t 0,577sin 4,33t .

Окончательное уравнение

x 0,2 1 e 2,5 t cos 4,33t 0,577sin 4,33t .

Для получения выражения для скорости движения груза продифференцируем данное уравнение по времени:

x V dxdt d 0,2 0,2e 2,5 t cos 4,33t 0,577sin 4,33t .

Не приводя промежуточных выкладок, запишем окончательный результат:

x V 1,154e 2,5 tsin 4,33t .

Решение операторным способом по методу электроаналогии

Механическая цепь линейной системы с одной степенью свободы с учетом трения приведена на рис. 4. По механической цепи составлена эквивалентная электрическая схема, которая приведена на рис. 5. Операторная схема замещения с нулевыми начальными условиями приведена на рис. 25.

55

Исходные данные для расчета принимаем те же, что и в первом случае:

С = 20 кг;

I = 100 Н;

R = 0,01 м/(Н с);

L = 2 10–9м/Н.

В соответствии с исходными данными выражение для изображения U(p) будет иметь вид

Найдем первую производную характеристического уравнения М(р):

M p 0, 2 10 3 p 2 10 3.

Решаем характеристическое уравнение М(р) = 0:

M p 0, 4 10 3 p2 2 10 3 p 0,01 0.

57

Рис. 26. Комплексная плоскость

Любое комплексное число +jb в нашем конкретном случае можно представить в виде

j b p e j ; arctg b ,

так как j b 3, 47 10 3 , следовательно, = 90 , тогда

3,47 10 3 3,47 10 3 e j 90 .

Подставим полученное выражение в формулу разложения:

В данном случае целесообразно перейти от показательной формы записи к тригонометрической ее форме, попутно избавившись от комплексных чисел. Для перехода от показательной формы к тригонометрической применяются формулы Эйлера:

58

Тогда

Ut 2 0,577e 2,5 t cos 90 4,33t 1,154e 2,5 t sin4,33t.

Внатуральном выражении уравнение будет иметь вид

x t V t 1,154e 2,5 tsin4,33t.

Графическая интерпретация полученного уравнения приведена на рис. 27.

Рис. 27. Переходный процесс в системе с одной степенью свободы

Таким образом, два метода решения поставленной задачи дают уравнения одинакового вида с идентичными параметрами системы. Это обстоятельство позволяет сделать выводы о том, что математические модели, разработанные на основе электрических аналогий операторным методом, способны адекватно описывать процессы, происходящие в станочных системах различной физической природы.

Кроме того, получим решение в операторном виде при ненулевых начальных условиях, если таковые имеются на индуктивности L (например, пружина предварительно сжата или растянута) и емкости С; начальные условия на емкости равны нулю, так как скорость движения груза в начальный период времени t = 0

59

равна нулю (V = 0). Операторная схема замещения при ненулевых начальных условиях будет иметь вид, приведенный на рис. 28.

Рис. 28. Операторная схема замещения системы с одной степенью свободы при ненулевых начальных условиях

Пользуясь законами Ома и Кирхгофа, найдем изображение напряжения U(p) в цепи.

Индексы сопротивлений Z(p) и напряжений Е(р) по токам цепи:

60