книги / Физика. Основы электромагнетизма

и закон Ома, определим общее сопротивление R0 участка цепи АВ:

Итак, в случае параллельного соединения проводников их общее сопротивление вычисляется по формуле:

Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (2.8) и (2.9) для случая произвольного количества проводников.

Результаты (2.8) и (2.9) легко объяснить на примере двух одинаковых проводников с сопротивлением R. В случае последовательного соединения R0 R R 2R , а в случае

последовательное соединение двух одинаковых проводников будет эквивалентно увеличению в 2 раза общей длины провода, а, следовательно, увеличению в 2 раза и общего сопротивления (см. (2.3)). Параллельное соединение двух одинаковых проводников эквивалентно увеличению в 2 раза площади сечения провода. В этом случае общее сопротивление уменьшится в 2 раза.

Пример 2.3. Найти сопротивление участка цепи АВ (рис. 2.3). Все сопротивления в схеме одинаковы и равны 8 Ом.

Решение. Последовательно, шаг за шагом, упрощаем исходную схему. Заменим параллельно соединенные сопротивления R2 и R3, а также R4 и R5 на их результирующие

71

сопротивления R23 и R45 и от схемы на рис. 2.3, а перейдем к схеме рис. 2.3, б. Согласно формуле (2.9):

Рис. 2.3. Схема расчета сопротивления электрической цепи

По формуле (2.8) находим эквивалентное им сопротивление: R123 R1 R23 8 4 12 (Ом) и переходим к схеме на рис. 2.3, в. Т.к. сопротивления схемы рис. 2.3, в соединены параллельно, эквивалентное им сопротивление определяется по формуле (2.9):

Итак, мы нашли сопротивление участка цепи АВ, придя к простейшей схеме рис. 2.3, г.

Пример 2.4. Определить общий ток в цепи и ток через сопротивление R3 в схеме на рис. 2.3, если разность по-

72

тенциалов между точками А и В U0 12 В. Все сопротив-

ления одинаковы и равны 8 Ом.

Решение. Прежде всего, нужно определить общее сопротивление участка цепи R0 3 Ом (см. пример 2.3). Да-

лее решение задачи сводится к последовательному расчету схем рис. 2.3, г, в, б, а.

Схема рис. 2.3, г. По закону Ома находим ток через сопротивление R0 (общий ток в цепи): I0 U0 R0

123 4 Ом.

Схема рис. 2.3, в. Т.к. сопротивления R123 и R45 соединены параллельно, то U123 U45 U0 12 В. Находим

токи через эти сопротивления: I123 U123 R123 1212 1 А, I45 U45 R45 124 3 А. Заметим, что ток I45 можно было определить и по-другому. Для параллельного соединения проводников имеем: I0 I123 I45 I45 I0 I123 4 1 3 А.

Схема рис. 2.3, б. Через сопротивления R1 и R23 течет один и тот же ток, т.к. они соединены последовательно. Причем этот ток равен току через эквивалентное им сопротивление R123 (который мы нашли, рассчитывая цепь рис. 2.3, в): I1 I23 I123 1 А. Таким образом, мы можем рассчитать напряжение на сопротивлении R23: U23 I23 R23

1 4 4 В.

Схема рис. 2.3, а. Т.к. сопротивления R2 и R3 соеди-

Токи и напряжения на оставшихся сопротивлениях предлагаем рассчитать самостоятельно.

73

Пример 2.5. Найти сопротивление между точками А

Рис. 2.4. Схема расчета сопротивления участков электрической цепи

Решение. Точки цепи 1 и 3 соединены проводом с пренебрежимо малым сопротивлением. Такое соединение точек цепи называется коротким замыканием. Падение напряжения на проводе с нулевым сопротивлением ( 1 3 ) I 0 0 , откуда следует 1 3 . Таким образом, потенциалы точек, замкнутых накоротко, совпадают.

Итак, сопротивления R1 и R2 подсоединены к точкам с одинаковыми потенциалами. Напряжения на этих сопротивлениях совпадают: U1 U2 (напряжение на первом сопротивлении U1 1 2 , а на втором U2 3 2 ). Следовательно, можно считать, что сопротивления R1 и R2

соединены параллельно, и точку 1 соединить с точкой 3. Отметим, что соединение точек с одинаковыми потенциалами является одним из принципов нахождения общего сопротивления участка цепи.

Преобразуем цепь так, как показано на рис. 2.4. Легко определить, что R12 R . Сопротивления R12 и R4 соединены последовательно и т. д. Конечный результат получить несложно: R0 R .

А как быть в случае более сложных схем, в которых невозможно найти ни одной пары сопротивлений, соеди-

74

ненных последовательно или параллельно? Или невозможно указать узлы с одинаковыми потенциалами, как мы это сделали в примере 2.5? Такая схема изображена на рис. 2.5. Здесь, например, сопротивления R1 и R4 нельзя считать

ния R1 и R2 нельзя считать соединенными параллельно, поскольку их правые части соединены проводом с отличным от нуля сопротивлением R3. В этом случае потенциалы точек С и D могут не совпадать (потенциал может падать на сопротивлении R3), а значит, и напряжение на сопротивлениях R1 и R2 может быть различным.

Наиболее универсальным методом для расчета сложных электрических цепей является применение правил Кирхгофа (см. подраздел 2.7). Здесь же мы покажем, как в некоторых случаях можно обойтись и без этих правил.

Замены последовательно или параллельно соединенных сопротивлений на эквивалентные по формулам (2.8) или (2.9) являются простейшими примерами преобразования электрических цепей с двумя выводами. Теперь посмотрим, как преобразуются друг в друга схемы, имеющие три вывода, «звезда» и «треугольник» (рис. 2.6). На рис. 2.6, а для наглядности сопротивления обозначены малыми буквами, а сопротивления схемы на рис. 2.6, б – большими с двойным индексом. Например, сопротивление R23 включено между выводами 2 и 3 и т. д. Если мы хотим заменить одну схему

75

Аналогичные выражения можно получить для точек 1 и 3, 2 и 3:

Решая систему из трех полученных уравнений, получим формулы для прямого:

и для обратного преобразования:

Пользуясь формулами (2.10) и (2.11), можно производить замену одной схемы другой. Например, «звезду»

ссопротивлениями 1 Ом можно заменить «треугольником»

ссопротивлениями 3 Ом (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Схема замены соединения сопротивлений «звезды» и «треугольника»

77

Пример 2.6. В схеме на рис. 2.5 R1 R2 R3 R4 3 Ом, R5 11 Ом. Определить: 1) сопротивление участка це-

пи АВ; 2) ток через сопротивление R5 , если точки А и В подключены к напряжению U0 12 В.

Решение. На рис. 2.8 показана последовательность преобразований схемы. Отметим лишь, что самым первым было преобразование «треугольника» ACD в «звезду». При этом мы воспользовались формулами (2.10) (см. также рис. 2.7). Для общего сопротивления участка АВ получаем R0 4 Ом.

Рис. 2.8. Последовательность преобразования электрических схем

Для нахождения общего сопротивления участка можно было выбрать несколько вариантов преобразования исходной схемы. Например, можно было сначала «треугольник» CBD превратить в «звезду» или, наоборот, «звезду» с центром в узле С (или D) превратить в треугольник. Однако, помимо общего сопротивления, нам необходимо найти еще и ток через сопротивление R5. Поэтому схему нужно преобразовать так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление R5. Этим мы и руководствовались при выборе преобразований.

78

Рассматривая упрощенные схемы, так же как и в примере 2.4, легко получить, что общий ток, поступающий на участок цепи АВ I0 3 A , а ток через сопротивление R5:

I5 0,75 А.

2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи

Для того чтобы поддерживать разность потенциалов на концах проводника и, следовательно, существование постоянного электрического тока в проводнике и постоянное тепловыделение, необходимы источники электрической энергии (электрического тока). В источниках такого рода происходит разделение зарядов разных знаков, и на выходных клеммах появляется разность потенциалов.

Подключим какую-нибудь нагрузку (сопротивление)

кисточнику электрической энергии. Получим замкнутую цепь. Каким образом движутся заряды вне и внутри источника тока? Прежде всего, еще раз напомним, что мы рассматриваем только стационарные токи, т.е. заряды нигде не накапливаются, а просто циркулируют по замкнутой цепи. Вне источника (во внешней цепи) ток идет от «плюса»

к«минусу» (клемма «плюс» – клемма с большим потенциалом, клемма «минус» – клемма с меньшим потенциалом). Таким образом, во внешней цепи заряды движутся в направлении, в котором на них действует электрическое поле внутри проводника: положительные по полю, отрицательные против поля. Внутри источника электрической

энергии (во внутренней цепи) ток идет от «минуса» к «плюсу», т.е. заряды движутся в направлении, противоположном тому, в котором на них действует электрическое поле. Значит, внутри источника перемещение зарядов вызывается не электрическим полем, а какими-то иными причинами. Эти причины (химические, механические, световые, магнитные и т. д.) зависят от природы источника тока.

79

Силы, действующие внутри источника электрической энергии, заставляющие заряды двигаться против действия электрического поля, называются сторонними силами. При этом часто при решении каких-то задач природа этих сил значения не имеет и не конкретизируется. Сторонние силы при упорядоченном движении зарядов совершают работу, за счет которой, например, нагреваются сопротивления. Очевидно, что полный запас энергии источника тока равен работе, которую могут совершить сторонние силы.

К идее о необходимости действия в замкнутой цепи сторонних сил полезно прийти и иным образом. Представим себе, что на свободные заряды в замкнутой цепи действовали бы одни электрические силы. Известно, что цепь при прохождении по ней тока нагревается. Выделившееся тепло тогда можно было бы рассматривать только как результат работы электрических сил (электрического поля). Но работа электрического поля по перемещению зарядов по замкнутой траектории (в данном случае замкнутой цепи) равна нулю (этот факт рассматривался в подразделе 1.12). А значит, не могла бы нагреваться и цепь, что явно противоречит опыту. Следовательно, где-то в замкнутой цепи обязательно должны действовать силы не электростатического происхождения, работа которых отлична от нуля, т.е. сторонние силы. Место действия сторонних сил в замкнутой цепи и можно назвать источником электрической энергии или источником тока.

Важнейшей характеристикой источника тока является электродвижущая сила (ЭДС). Можно дать два эквивалентных определения ЭДС.

1) ЭДС – разность потенциалов на выходных клеммах источника тока при разомкнутой внешней цепи (или когда ток через источник не идет). Далее мы покажем, что

80