книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Значение предела lim tg

равно ... .

Значение предела lim tg

равно ... .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Задача 1.2.12
Значение предела lim	x3	− 3x + 2	равно … .
Значение предела lim	x4	− 4x + 3	равно … .
x→1	x4	− 4x + 3
Решение:				x → 1 представляет со-
Выражение под знаком предела при				x → 1 представляет со-
бой неопределенное выражение типа 0				, т.е. x = 1	– корень
			0

многочленов числителя и знаменателя. Преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на выражение x − x0 , т.е. на x − 1, дающее неопределенность:

	x3	− 3x + 2	x − 1

− x3 − x2
			x2 + x − 2

x− 3x + 2

−x2 − x

−−2x + 2

−2x + 22

		0
	x4 − 4x + 3		x − 1
	x4 − 4x + 3		x − 1
− x4 − x3
− x4 − x3			x3 + x2 + x − 3

x3 − 4x + 3

− x3 − x2

− x2 − 4x + 3 x2 − x

− −3x + 3 −3x + 3

		3								x − 1		x	2	+ x − 2					2
lim	x	3	− 3x + 2			= lim			(		)(				)		= lim	x	2	+ x − 2	.
	x		− 3x + 2						(		)(				)			x		+ x − 2
								(		)(						)
x→1 x4			− 4x + 3				x→1	(		)(	x3	+ x2 + x − 3				)	x→1	x3 + x2 + x − 3
x→1 x4			− 4x + 3				x→1		x − 1		x3	+ x2 + x − 3					x→1	x3 + x2 + x − 3
Полученное выражение представляет собой неопределен-
ность типа				0	.
				0

Поскольку x = 1 и x = −2 являются корнями многочлена, стоящего в числителе, справедливо представление x2 + x − 2 = (x −1)(x + 2).

Поскольку x = 1 является корнем многочлена, стоящего в знаменателе, разделим знаменатель дроби на x −1.

	x3 + x2 + x − 3	x − 1
	x3 + x2 + x − 3	x − 1
− x3 − x2
− x3 − x2		x2 + 2x + 3

2x2 + x − 3

−2x2 − 2x

−3x − 3

3x − 3

Тогда

lim

x2 + x − 2

= lim

( x − 1)( x + 2)

= lim

x + 2

(

)(

)

x→1 x3 + x2 + x − 3

x→1

x2 + 2x

+ 3

x→1

x2 + 2x + 3 6

x − 1

Ответ: 0,5.

Задача 1.2.13

Значение предела lim

1+ x + x2

− 1

равно ... .

x→0

1)− 12 ;

2)2;

3)0;

4)12 .

Решение:

Выражение под знаком предела при x → 0 представляет со-

бой неопределенное выражение типа 0

Числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, со-

пряженное числителю, т.е. на

x2 + x + 1 + 1.

lim

1+ x + x2 − 1

= lim

( 1+ x + x2 − 1)(

1+ x + x2 + 1)

x( 1+ x + x2 + 1)

x→0

+ x

(

)

= lim

1+ x + x2 + 1)

x→0 x( 1+ x + x2 + 1)

x→0 x(

= lim

x + 1

= 1

1+ x + x2 + 1

x→0

Ответ: 4.

Задача 1.2.14

Значение предела lim

5x + 4 − 3

равно ... .

x→1

2x − 1 − 1

1)56 ;

2)65 ;

3)12 ;

4)0.

Решение:

Выражение под знаком предела при x → 1 представляет со-

бой неопределенное выражение типа 0 .

Числитель и знаменатель дроби умножим

на 5x + 4 + 3

(выражение, сопряженное числителю) и на

2x − 1 + 1 (выраже-

ние, сопряженное знаменателю).

Получим

lim

5x + 4 − 3

= lim

(

5x + 4 − 3)(

5x + 4 + 3)(

2x − 1 + 1)

(

)(

)

2x − 1 − 1

2x − 1 −

x→1

= lim

(5x − 5)(

2x − 1 + 1)

= lim

5(x − 1)(

2x − 1 + 1)

(2x − 2)(

x→1

5x + 4 + 3)

x→1 2(x − 1)(

5x + 4 + 3)

(

2x − 1

+ 1

= lim

)

(

5x + 4

+ 3)

x→1

Ответ: 1.

Задача 1.2.15

Значение предела lim

3 9 + 4x − 1

равно ... .

x2 −

x→−2

Решение:

Выражение под знаком предела при x → 1 представляет со-

бой неопределенное выражение типа 0 .

Воспользуемся формулой разности кубов (a − b) ×

× (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 .

Положим a = 3 9 + 4x, b = 1.

Тогда неполный квадрат имеет вид (3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1 . Умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат, т.е.

на выражение (3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1, получим

lim

3 9 + 4x − 1

= lim

(3 9 + 4x − 1)((3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1)

x→−2

x2 − 4

x→−2

(x2 − 4)((3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1)

= lim

9 + 4x − 1

(x2 − 4)((

3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1)

x→−2

= lim

4(x + 2)

( x + 2)(x − 2)((3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1)

x→−2

= lim

= −

1 .

( x − 2)((3 9 + 4x )2 + 3 9 + 4x + 1)

(−4)

(1 + 1 + 1)

x→−2

Ответ: − 1 .

Задача 1.2.16

Значение предела lim sin 9x равно ... .

x→0

tg 2x

1)0;

2)7;

3)92 ;

4)72 .

Решение:

I способ

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0		.
	0
Применим первый замечательный предел lim sin x										= 1.
								x→0	x
lim sin 9x	= lim sin 9x cos 2x = lim sin 9x							lim cos 2x.
x→0 tg 2x	x→0	sin 2x			x→0 sin 2x			x→0
Учитывая, что lim cos 2x = 1, получим
		x→0
lim sin 9x	lim cos 2x = lim sin 9x .
x→0 sin 2x	x→0			x→0	sin 2x
Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом,
в числителе и знаменателе выполним преобразования
lim sin 9x		sin 9x		9x		9x	= 9 .
	= lim	9x		9x	= lim	9x
	= lim	sin 2x			= lim	2x
x→0 sin 2x	x→0	sin 2x		2x	x→0	2x	2
		2x		2x
II способ	y = sin 9x		и y = tg 2x являются бесконечно малы-
Функции	y = sin 9x		и y = tg 2x являются бесконечно малы-

ми при x → 0. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, получим

sin 9x 9x, tg 2x 2x при x → 0.

Тогда lim sin 9x	= lim	9x =	9 .
x→0 tg 2x	x→0	2x	2
Ответ: 4,5.
Задача 1.2.17
Значение предела lim		sin2 4x		равно ... .
Значение предела lim		x2		равно ... .
	x→0	x2

1)3;

2)16;

3)0;

4)1.

Решение:

I способ

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0 . Применим первый замечательный предел:

lim	sin2 4x	= lim	16sin 4xsin 4x		= 16.
	x2			4x 4x
x→0		x→0
II способ
Функции		y = sin2 4x		и y = x2 являются бесконечно малыми

при x → 0. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, получаем

sin2 4x 16x2		при x → 0.
Тогда lim	sin2	4x	= lim	16x2	= 16.
	x2			x2
x→0			x→0

Ответ: 16.

Задача 1.2.18

Значение предела lim ( x ctg 7x) равно ... .

x→ 0

1)0;

2)∞;

3)7;

4)17 .

Решение:

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа (0 ∞).

Учитывая, что

lim (x ctg 7x) =

x→ 0

Учитывая, что

lim cos 7x = 1,

x→ 0

	7x	1		1 .
= lim		7	=

x→ 0 sin 7x				7

Ответ: 4.

Задача 1.2.19

ctg 7x = cos 7x , получим
	sin 7x
lim	x cos 7x	= lim	x	lim cos 7x.
lim		= lim	sin 7x	lim cos 7x.
x→ 0 sin 7x		x→ 0	sin 7x	x→ 0
получим		lim	x	lim cos 7x = lim		x	=
получим		lim		lim cos 7x = lim			=
		x→ 0 sin 7x		x→ 0	x→ 0 sin 7x

Решение:

Выражение под знаком предела представляет собой неопределенность типа (0 ∞).

Чтобы использовать первый замечательный предел, выполним замену переменной:

t = π4 − x, отсюда Тогда при x → π4

		π
lim tg				− x tg2x
lim tg			4	− x tg2x
x→	π		4
	4

x = π4 − t. t → 0 и

	π
= lim tgt tg2			− t	=
		4
t→0

	π
lim tgt tg			− 2t .
lim tgt tg		2	− 2t .
t→0		2
t→0

Применяя формулу приведения, получим

	π					sint	cos 2t
lim tgt tg			− 2t	= lim tgt ctg 2t = lim		cost	sin 2t
		2
t→0				t→0	t→0

= lim	2tsint	= lim	1	= 0,5.
	2t sin 2t		2
t→0		t→0

Ответ: 0,5.

= lim	sint	=
	sin 2t
t→0

Задача 1.2.20

sin

−

Значение предела lim

равно ... .

x→

− cos x

Решение:

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0

Чтобы использовать первый замечательный предел, выпол-

ним замену переменной t = x −

, отсюда x =

+ t.

Тогда при x →

t → 0 и

sin

x −

sin t

lim

= lim

x→

t→0

− cos x

− cos t

формулу cos(α+ β) =

Для

косинуса

суммы

применим

= cosαcosβ− sin αsinβ.

cos t +

= cost

cos

− sin t sin

cost −

1 sin t.

lim

sin t

= lim

sin t

t→0

− cos t

−

cost +

sin t

= lim

sin t

3 (1

− cost ) + 1 sin t

t→0

Далееиспользуемформулы тригонометрии 1 − cos t = 2sin2 2t и

sin t = 2sin 2t cos 2t .

sin t

2sin

cos

lim

= lim

2 cos

(1 − cost ) + 12 sin t

t→0

3 sin

2 + sin

t→0

2sin

cos

2cos

= lim

= 2.

t→0

+ cos

t→0

3 sin

+ cos

sin

3 sin

Ответ: 2.

Задача 1.2.21

Значение предела

lim

1 − cos 6x

равно ... .

e− x

− 1

x→ 0

Решение:

Выражение под знаком предела представляет собой неопре-

деленность типа 0 .

При x → 0 числитель и знаменатель являются бесконечно малыми. Используя таблицу эквивалентных бесконечно малых, имеем

1 − cos6x

(6x)2

e− x2

− 1 − x2

при x → 0.

1− cos6x

(6x)2

36x2

lim

= lim

2 = −18.

e− x

− 1

− x

−2x

x→ 0

x→

x→ 0

Ответ: –18.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги