книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 2
.pdf
пряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная оставляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазного напряжения
Uф 
U12 U32 U52 U72 ,
а в линейном напряжении отсутствуют гармоники, кратные трем, поэтому
Uл 
3
U12 U52 U72 .
Отсюда следует, что
Uл 3Uф . |
(1.38) |
При соединении генератора и симметричной нагрузки в звезду и при отсутствии нейтрального провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам, так как в такой схеме сумма токов в любой момент времени должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности, и между нейтральными точками генератора и симметричной нагрузки может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем, которое может достигать опасных для жизни значений:
UO'O E3m sin 3 t 3 E6m sin 6 t 6 ,
а его действующее значение
UO'O |
E2 |
E2 |
|
|||
3m |
|
6m |
. |
(1.39) |
||
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
В схеме «звезда – звезда» при симметричной нагрузке фаз при наличии нулевого провода по нему протекает ток тройной частоты:
31
IO3 |
|
E |
, |
(1.40) |
|||
3 |
|||||||
|
|
Z O3 |
|
Z н3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где Z н3 – сопротивление нагрузки для третьей гармоники; |
Z O3 – |
||||||
сопротивление нулевого провода для третьей гармоники. По каждому линейному проводу будет протекать ток IO3 
3 . Аналогич-
но можно найти другие токи от гармоник, кратных трем.
Все эти нежелательные явления исчезают, если гармоники с порядком, кратным трем, погашены в одной из обмоток генератора или трансформатора, соединенных треугольником. Иногда в трансформаторе для этого создают не имеющую выводов специальную обмотку, соединенную в треугольник.
1.7.Задачи и вопросы
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: к цепи (рис. 1.9) с параметрами R 20 Ом, L 0,1Гн,
C 11,25 мкФ приложено несинусоидальное |
напряжение |
u(t) 310sin(314t 15 ) 72,5sin 942t 40sin(1570t |
19 ) В. |
|
* |
R |
|
* W |
A |
u(t) |
|
i(t) |
V |
L |
|
|
|
C |
Рис. 1.9
Найти: мгновенное значение тока i(t), показания измерительных приборов, мощность искажения.
32
Решение.
Расчет цепи (см. рис. 1.9) осуществляем в соответствии с методикой, изложенной в п. 1.4. Источник периодического негармонического напряжения содержит первую, третью и пятую гармоники. Ток в цепи будем рассчитывать символическим методом для каждой гармоники входного напряжения.
1. Расчет первой гармоники.
Комплексное значение входного напряжения
U(1) 3102 e j15 В.
Значения реактивных сопротивлений:
ХL(1) 1L 314 0,1 31,4 Ом;
Х |
|
|
1 |
|
1 |
283 Ом. |
|
C (1) |
C |
314 11,25 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
Комплексное эквивалентное сопротивление цепи
Z (1) R jX L(1) jXC (1) 20 j31,4 j283
20 j251,6 252,3e j85 Ом.
Ток определяется в соответствии с законом Ома:
I(1) |
|
U |
(1) |
|
|
310e j15 |
|
|
1,23 |
e |
j 70 |
А. |
Z (1) |
2 |
252,3e j85 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для первой гармоники цепь носит емкостный характер.
2. Расчет третьей гармоники.
Комплексное значение входного напряжения
U(3) 772,5 e j 0 В.
33
Значения реактивных сопротивлений: |
|
|||||||
Х |
|
3 L 94,2 |
Ом; Х |
|
|
1 |
94,2 Ом. |
|
L(3) |
C (3) |
3 C |
||||||
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Комплексное эквивалентное сопротивление цепи
Z (3) R jX L(3) jXC (3) 20 j94,2 j94,2 20 Ом.
Ток определяется в соответствии с законом Ома:
I(3) |
|
U |
(3) |
|
77,5 |
|
3,88 |
А. |
|
Z |
(3) |
2 20 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
На третьей гармонике в цепи наблюдается резонанс напряжений, цепь носит активный характер.
3. Расчет пятой гармоники.
Комплексное значение входного напряжения
U(5) 402 e j19 В.
Значения реактивных сопротивлений:
Х |
|
5 L 157 |
Ом; Х |
|
|
1 |
57 Ом. |
|
L(5) |
C (5) |
5 C |
||||||
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Комплексное эквивалентное сопротивление цепи
Z (5) R jX L(5) jXC (5) 20 j157 j57
20 j100 102e j79 Ом.
Ток определяется в соответствии с законом Ома:
I(5) |
|
U |
(5) |
|
40e j19 |
|
|
0,39 |
e |
j 60 |
А. |
|
Z (5) |
2 |
102e j 79 |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для пятой гармоники цепь носит индуктивный характер.
34
Мгновенное значение тока i(t) представляет собой сумму мгновенных значений токов всех гармоник
i(t) i(1) (t) i(3) (t) i(5) (t) 1,23sin(314t 70 ) +3,88sin942t 0,39sin(1570t 60 ).
4.Определение показаний приборов. Считаем, что амперметр
ивольтметр показывают действующее значение:
– вольтметр V:
|
2 |
2 |
|
2 |
|
310 |
2 |
|
77,5 |
2 |
40 |
2 |
|
|||
U |
U(1) |
U(3) U(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
228 В; |
|||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– амперметр А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
2 |
2 |
2 |
|
|
1,23 2 |
3,88 2 |
0,39 |
2 |
2,9 А. |
||||||
I(1) |
I(3) |
I(5) |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Ваттметр показывает активную мощность, потребляемую цепью и равную сумме активных мощностей, выделяемых каждой гармоникой тока в отдельности:
– ваттметр W:
P P(1) P(3) P(5) U(1) I(1) cos (1) U(3) I(3) cos (3)
U(5) I(5) cos (5) |
|
310 |
1,23 cos( 85 ) |
77,5 3,88 cos0 |
|
|
2 |
2 |
2 2 |
|
40 0,39 cos79 167,4 |
Вт. |
||
|
|
2 |
2 |
|
5. Определение мощности искажения.
В соответствии с (1.26) для определения мощности искажения необходимо определить полную S, активную P и реактивную Q мощности.
35
Полная мощность
S UI |
U(1)2 U(3)2 |
U(5)2 |
|
I(1)2 I(3)2 |
I(5)2 |
|
228 2,9 661,2 ВА;
активная мощность P 167,4 Вт; реактивная мощность
Q Q Q Q |
I 2 |
(X |
L(1) |
X |
C (1) |
) I 2 |
(X |
L(3) |
X |
C (3) |
) |
|||||
|
(1) |
(3) |
(5) |
|
(1) |
|
|
(3) |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
1,23 |
2 |
|
|
|
|
3,88 |
2 |
94,2 94,2 |
|||||
I(5) |
(X L(5) XC (5) ) |
2 |
|
31,4 283 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,39 2 157 57 182,72 вар.
2
Мощность искажения
T S 2 P2 Q2 
661,22 167,42 182,722 613ВА.
Задача 2.
Дано: в цепи (рис. 1.10) действуют два источника:
e1 (t) 60 30sin( t 30 ) 60sin 2 t В, e2 (t) 30 В;
параметры цепи: R1 30 Ом, L3 10 Ом, 1C 40 Ом.
Найти: показания измерительных приборов.
Решение.
Расчет цепи (см. рис. 1.10) осуществляется для каждой гармоники в отдельности.
1. Расчет постоянной составляющей (нулевой гармоники).
Для постоянной составляющей индуктивность имеет нулевое сопротивление, а емкость – бесконечно большое (рис. 1.11). С учетом изложенного цепь стала одноконтурной, ток и напряжение определяются по закону Ома:
36
I1(0) |
I2(0) |
|
E1(0) |
E2(0) |
|
60 |
30 |
0,5 |
А; |
|
R1 |
60 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
UC (0) |
E2(0) |
30 В; |
|
|
|||
активная мощность
P(0) E1(0) I1(0) 60 0,5 30 Вт.
2. Расчет первой (основной) гармоники.
Расчетная схема для первой гармоники приведена на рис. 1.12, на схеме цифры указывают сопротивления элементов в омах, источник e2 (t) на схеме отсутствует (заменен коротко-
замкнутым участком), так как этот источник содержит только постоянную составляющую. Комплексное действующее значение
ЭДС первого источника на первой гармонике E1(1) 302 e j30 В.
Поскольку по условию задачи необходимо определить показания приборов, то для дальнейших расчетов будем использовать дей-
ствующее значение ЭДС источника E1(1) 302 В. Сопротивление третьей ветви
Z 3(1) jX L3(1) jXC3(1) j10 j40 j30 Ом,
сопротивление второй ветви
Z 2(1) jX L2 (1) j30 Ом.
37
Очевидно, что во второй и третьей ветвях наблюдается резонанс токов, при этом входное сопротивление идеального параллельного контура (фильтра-пробки) равно нулю. Поэтому I1(1) 0 А; P(1) 0 Вт. Все входное напряжение приложено к параллельному контуру:
UC (1) |
|
E1(1) |
XC3(1) |
|
30 |
|
40 |
|
40 |
В. |
||
X L3(1) |
XC3(1) |
2 (40 |
10) |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. Расчет второй гармоники.
Расчетная схема для второй гармоники имеет такой же вид, как и для первой гармоники (рис. 1.13), но необходимо определить новые значения реактивных элементов, помня о том, что индуктивное сопротивление возрастет в два раза, а емкостное сопротивление уменьшится в два раза. Новые значения сопротивлений указаны в омах на схеме (см. рис. 1.13). В третьей ветви наблюдается резонанс напряжений, и сопротивление этой ветви будет равно нулю, следовательно, входное сопротивление цепи
Z(3) |
R1 |
60 Ом. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1(2) I3(2) |
E1(2) |
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
1 |
|
|
А; |
|||||
R1 |
|
|
|
|
2 60 |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
60 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|||||
P(2) E1(2) I1(2) I1(2) R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 30 Вт; |
|||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
38
|
|
UC (2) I3(2) X C3( 2 ) |
|
20 |
В. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Показания приборов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– амперметра А: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
I1 |
I1(0) I1(1) I1(2) |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,866 А; |
||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
– вольтметра V: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
40 |
|
2 |
|
20 |
|
2 |
|||
UC |
UC (0) |
UC (1) |
UC (2) |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,6 В; |
||
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– ваттметра W: P P(1) |
P(2) |
P(3) |
30 30 60 Вт. |
|||||||||||||||
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1.При каких условиях ток, равный сумме двух периодических токов, является непериодическим?
2.Верно ли утверждение:
а) комплексное значение тока I ветви является суммой комплексных значений гармоник тока I(1) , I(2) , I(3) , этой ветви;
б) действующее значение тока ветви является суммой действующих значений гармоник тока этой ветви;
в) мгновенное значение тока ветви является суммой мгновенных значений гармоник тока этой ветви;
г) вектор тока ветви является суммой векторов гармоник тока этой ветви;
д) баланс мощности цепи негармонического тока определя-
~ |
~ |
|
ется по формуле Sист |
Sпотр ; |
|
е) в цепях с источниками негармонических воздействий все- |
||
гда полная мощность S |
P2 Q2 ; |
|
|
|
39 |
ж) для цепи, содержащей последовательно соединенные резистор и емкость (индуктивность), активная мощность определяется по формуле P UI cos , если входное напряжение
u(t) U0 |
2U sin t ; |
|
з) длянесинусоидальныхпериодическихнапряженийUm/U = 2? |
||
3. Задан ток i(t) 4 30 |
2 sin t 5 2 sin 3 t , А. Опреде- |
|
лить, во сколько раз амплитуда первой гармоники напряжения на потребителе больше амплитуды третьей гармоники, если в качестве потребителя используется:
а) идеальная индуктивность; б) идеальная емкость.
4. Последовательно соединенные резистор и индуктивность имеют одинаковые сопротивления (R L). На каком из элементов
действующее значение несинусоидального напряжения больше, если входноенесинусоидальноенапряжение:
а) не содержит постоянной составляющей; б) содержит постоянную составляющую?
Изменится ли ответ, если вместо индуктивности включить конденсатор?
5. Параллельно соединенные резистор и индуктивность имеют одинаковые проводимости ( G 1
L ). Действующее значение ка-
кого тока ( IR или IL ) больше, если напряжение на входе цепи неси-
нусоидально и не содержит постоянной составляющей? Изменится ли ответ, если вместо индуктивностивключитьконденсатор?
6.Ток ветви электрической цепи содержит постоянную составляющую и три первые нечетные гармоники. Как изменится
действующее значение тока, если:
а) начальную фазу первой гармоники изменить на 180°, 90°; б) изменить период тока?
7.К цепи с последовательно соединенными RLC-элементами
приложено напряжение u(t) U0 
2U sin t . При какой частоте ω активная мощность в цепи имеет:
40