книги / Расчет и подтверждение параметрической надежности РДТТ. Статистический анализ результатов испытаний

-этап проектирования: выбор конструктивной схемы двигателя и его элементов исходя из требований надежности, расчет надежности конструкции и ее элементов, внесение необходимых требований в конструкторскую документацию;

-этап отработки: экспериментальное подтверждение требований к надежности, корректировка конструкции с целью обеспечения заданной надежности;

-этап серийного изготовления: разработка мер, поддерживающих надежность на заданном уровне;

-этап эксплуатации: определение фактического влияния факторов эксплуатации на надежность двигателя.

Двигатели, полностью удовлетворяющие требованиям конструкторской документации, никогда не будут совершенно одинаковыми из-за наличия допусков на его элементы (геометрические размеры заряда и двигателя, толщины теплозащитных покрытий и т.д.). Технологический процесс изготовления всегда имеет отклонения от номинальных режимов, что ведет к колебаниям в значениях скорости горения и плотности топлива, физико-механических характеристик. К таким же эффектам приводят колебания свойств сырья и материалов, использующихся при изготовлении двигателя. При испытаниях двигателя невозможно замерить истинное значение параметров его работы - существует погрешность датчика, свои погрешности вносят преобразователи сигнала и дешифраторы. При проектировании используются методики расчета, которые учитывают только основные действующие факторы, в результате чего действительные параметры двигателя отличаются от расчетных. К этому добавляются погрешности при составлении математических моделей и проведении непосредственных расчетов.

Условия эксплуатации никогда не являются стабильными. Они меняются случайным образом и изменяют параметры двигательной установки. Значит, надежность и работоспособность двигателя, а также все его параметры являются случайными величинами, и для получения их оценок необходимо применение методов теории вероятностей и математической статистики.

2. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ОГНЕВЫХ СТЕНДОВЫХ ИСПЫТАНИЙ

2.1. Основные понятия теории вероятностей и математической статистики

Теория вероятностей изучает закономерности появления случайных событий как результата одновременного действия большого количества факторов, причем физическая сущность протекающих процессов не рассматривается.

Случайное событие - это событие, которое может произойти или не произойти при определенном комплексе условий. Каждое осуществление этого комплекса условий называется испытанием. Количественная оценка степени объективной возможности случайного события называется

вероятностью этого события, величина которой зависит от действия определенных физических законов. Оценкой вероятности случайного события является относительная частота случайного события, которая определяется как отношение числа случаев появления этого события к общему числу испытаний. Относительная частота, или частость, зависит от числа проведенных опытов, обладает определенной устойчивостью и при росте числа испытаний стремится к величине вероятности этого случайного события [1,2,12]. В некоторых случаях величины вероятности

и частости совпадают, например, при оценке вероятности выпадения какой-либо грани кубика.

Случайные события, которые не могут появиться одновременно, называются несовместимыми. Событие, которое не может произойти ни при каких условиях - невозможное событие. Вероятность такого события равна нулю. Событие, которое обязательно произойдет в данных условиях - достоверное событие, вероятность которого равна единице. В общем случае вероятность любого события может иметь значения от нуля до единицы.

При испытаниях двигателя его характеристики принимают различные значения, которые называют возможными значениями случайной величины. Если все эти значения образуют конечную или бесконечную последовательность, причем принятие ею каждого из указанных значений есть случайное событие с определенной вероятностью, то такая случайная величина называется дискретной. С помощью дискретных распределений описывают число отказов двигателя или его узлов при огневых стендовых испытаниях. Под распределением понимается всякое правило, позволяющее находить вероятности всех возможных значений случайной величины. Это может быть функция, график, таблица и т.д. Случайные величины, которые полностью заполняют какой-либо интервал и могут принимать любые значения на этом интервале, называются непрерывными.

Распределения давления в камере двигателя, единичного и полного импульсов тяги, температуры эксплуатации будут описываться непрерывными распределениями. В теории надежности наиболее часто применяются именно эти распределения. Они будут характеризоваться математическим ожиданием случайной величины [1].

+00

М(х) = ^xf(x)dx .

Математическое ожидание есть предел, к которому стремится относительная частота при стремлении количества испытаний к бесконечности. Все значения случайной величины группируются около математического ожидания. В качестве меры разброса используется дисперсия случайной величины

D(x)= §х-М (х)}2 f(x)dx

Кроме этих характеристик, используются следующие: мода распределения - координаты максимумов функции плотности; медиана распределения - координата, делящая площадь под кривой плотности пополам; квантиль - координата, делящая площадь под функцией распределения пропорционально какой-либо доле. Например, 30%-ный квантиль делит площадь под функцией распределения на две части: одна часть 30%, другая - 70%, 20%-процентный квантиль - на доли 20 и 80% и т.д.

На практике наиболее часто встречается нормальный закон

распределения случайной величины, плотность которого определяется[12]

1 " i

4ъс

Все экспериментальные данные получают в процессе испытаний. Под

испытанием понимается эксперимент, в котором определяется комплекс основных факторов, влияющих на результат опыта. Различают активный

эксперимент, в котором изменение факторов производится искусственно, и

пассивный, где используется естественное изменение факторов. Все побочные факторы желательно устранить. Если это сделать невозможно, то побочные факторы относят к основным и их влияние учитывают. Все остальные факторы, не поддающиеся учету, относят к случайным факторам. Регистрация параметров испытания называется наблюдением.

Наблюдения могут быть прямыми, когда непосредственно замеряется

интересующая величина, и косвенными, когда замеряется та величина, которая дает нужный нам параметр только после соответствующего пересчета.

Результат испытания, который бы появился при воздействии только основных факторов, называется истинным результатом. Очевидно, что получить его невозможно, и реальный результат наблюдения всегда будет случайной величиной. Отличие его от истинного результата называется

ошибкой наблюдения. Она может быть систематической, т.е. одинаковой для каждого опыта, случайной, имеющей при каждом наблюдении свой знак и величину, и грубой, величина которой резко отличается от остальных ошибок.

При производстве наблюдений применяется выборочный метод [1,12]. Предполагается, что имеется большая совокупность объектов, называемая

генеральной. Она может быть конечной или бесконечной. Например, все двигатели, изготовленные по одному и тому же чертежу, образуют конечную генеральную совокупность, а температура эксплуатации двигателя образует бесконечную генеральную совокупность. Из генеральной совокупности извлекается какое-то количество объектов, которые образуют выборочную совокупность. Это количество объектов называется объемом выборки. В общем случае, объекты могут не отбираться, а просто производится замер интересующих нас параметров объектов. По результатам анализа выборочной совокупности делают заключение о параметрах генеральной совокупности. Эта оценка будет случайной. Чем больше объем выборки, тем выше точность оценки. Оценки должны быть состоятельными, т.е. параметры выборочной совокупности должны стремиться к соответствующим параметрам генеральной совокупности при увеличении объема выборки. Оценки должны быть несмещенными, т.е. в пределе выборочные параметры должны стремиться к генеральным. Из двух оценок одного и того же

генерального параметра одна из оценок будет более эффективна, если она имеет более быструю сходимость с генеральным параметром. Например, среднее значение выборочного распределения является состоятельной и

несмещенной оценкой математического ожидания генерального распределения. Такой же оценкой является и медиана выборочного распределения, однако, эффективность медианы ниже, чем выборочного среднего.

Основная задача математической статистики - нахождение функций

приравнивается соответствующему выборочному параметру. При анализе надежности летательных аппаратов практически не используется;

интервальная - предполагается, что генеральный параметр с какой-то

вероятностью, называемой доверительной вероятностью, лежит в

доверительном интервале, границы которого определяются по параметрам выборочного распределения. Величина, дополняющая доверительную вероятность до единицы, называется уровнем значимости и показывает вероятность ошибки в оценке генерального параметра по выборке.

Для определения параметрической надежности двигателя необходимо получение оценок параметров распределений внутрибаллистических характеристик (ВБХ), их зависимостей от различных факторов. Статистические расчеты очень Трудоемки, поэтому были разработаны программы расчета на ПЭВМ для различных вариантов анализа.

22. Подготовка исходных данных для расчета на ЭВМ

При отработке РДТТ испытания проводятся при различных условиях, перед испытаниями заряды могут подвергаться различным воздействиям,

Если отличия в дисперсиях нет, а есть отличия в средних, то это означает влияние неучтенного фактора. Для оценки влияния этого фактора можно применить регрессионный анализ.

Если есть отличия в дисперсиях средних, то эти выборки надо рассматривать отдельно.

Величины квантилей распределений можно найти в работах [1,3]. При сравнении нескольких выборок используется критерий

Бартлетта[1]:

совокупности.

Д = / 1 п5 2 - £ / , 1 п5 /

/=/

1 Л

С = / +

3(к~1) / .

к

S 2 = ^ - — ; / = £ / , .

У/W

Здесь используется квантиль распределения Пирсона с числом степеней свободы на единицу меньше числа анализируемых выборок.

Данный критерий можно использовать, если числа степеней свободы каждой выборки больше или равны 5.

Если в каждой выборке одинаковое число наблюдений, то применяют

± S?

/=/

можно считать незначимым.

Квантиль распределения Кохрана g }_p определяется для числа степеней свободы, равного числу степеней свободы одной из выборок. ч

Если при проведении анализа получено незначимое отличие между дисперсиями, то переходят к анализу средних. В противном случае исключают наиболее резко отличающуюся дисперсию и повторяют расчет.

S 2

Если — < Fj_p(к - 7,/ ) , то различия между средними следует

S

признать незначимыми.

В данном случае все дисперсии должны принадлежать одной генеральной совокупности.

Если различие между средними значительное, то одно из крайних значений среднего отбрасывается и расчет повторяется.

Все частные выборки, имеющие незначимые отличия между дисперсиями и средними, объединяются в одну выборку и могут подвергаться дальнейшей статистической обработке.

2.3. Анализ одномерной выборочной совокупности

Данный анализ проводится в соответствии с работами [1, 2, 6] с результатами испытаний двигателя, которые принадлежат одной генеральной совокупности. Объем выборки от 4 до 200 наблюдений. Все

оценки производились при уровне доверительной вероятности 0,95 (уровень значимости р = 0,05). При обработке определяются следующие параметры:

п- 1 ,-/

1П

А= — г У(х,. - х)5 - оценка асимметрии распределения;

7Л

£= — £(х,. —3 - оценка эксцесса распределения.

Введение асимметрии и эксцесса при обработке результатов испытаний РДТТ объясняется стремлением получить более полную информацию о распределении. Если среднее выборки характеризует наиболее вероятное значение рассматриваемого параметра, дисперсия есть мера отклонений от среднего, то асимметрия характеризует меру деформации распределения по горизонтальной оси, а эксцесс - по вертикальной.

Для отсеивания резко отклоняющихся наблюдений производится оценка однородности выборки. Для этого определяется максимальное относительное отклонение ттах и сравнивается с квантилем т-распределения [1]. Если тгаах<Т/./,, то выборка считается однородной и расчет ведется дальше. Если хтшх * Т/.^ то данное наблюдение отбрасывается и проверяется следующее значение Ттах и т.д. до достижения однородности выборки