книги / Переработка полимеров
..pdfТак как dm dV , получим
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
FV dV Px nx |
Py ny Pz nz dS , |
|||
|
dt |
||||||||
|
V |
|
|
|
V |
S |
|
|
|
d dV d |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
||||||||
|
dV FV dV Px nx Py ny Pz nz dS. (2.7) |
||||||||
V |
dt |
|
V |
dt |
|
V |
S |
|
|
Будем предполагать, что накопления материала внутри объема не происходит, т.е. = const, а выражение d dt в (2.7) рав-
но нулю.
Для перехода от поверхностного интеграла к объемному используем теорему Остроградского–Гаусса
|
|
|
|
|
a |
dV. |
|
|||
|
|
ax cos nx |
x |
|
||||||
|
|
S |
|
V |
|
|
|
|||
Преобразуем выражение (2.7). |
|
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
P |
Py |
|
|
P |
|
||
ρ |
|
FV |
x |
|
|
|
z |
dV 0 . |
||
dt |
y |
|||||||||
V |
|
x |
|
|
z |
|
Поскольку интеграл равен нулю, а dV является малым и виртуальным, то можем приравнять подынтегральное выражение нулю.
ρd FV 0 Px Py Pz . dt x y z
Так как массовые силы в рассматриваемых задачах значительно меньше поверхностных, то ими будем пренебрегать (FV = 0).
|
d |
|
P |
Py |
|
P |
|
|
ρ |
|
|
x |
|
|
z . |
(2.8) |
|
dt |
y |
|||||||
|
|
x |
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
Спроецируем (2.8) на координатные оси, получим
x:
y:
z:
|
d |
|
|
P |
Pyx |
|
|
P |
|
|||||
ρ |
|
x |
|
xx |
|
|
|
|
|
zx , |
||||
dt |
|
y |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
||||
ρ |
d y |
|
|
Pxy |
|
|
Pyy |
|
|
Pzy |
|
, |
||
|
|
|
|
|
z |
|||||||||
|
dt |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
d |
|
|
P |
Pyz |
|
|
P |
|
|||||
ρ |
|
z |
|
xz |
|
|
|
|
|
zz . |
|
|||
dt |
|
|
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
Полная производная скорости (функции нескольких аргументов) по времени представляет собой свертку, которая может быть расписана следующим образом:
|
d x x, y, z,t |
|
x x dx |
|
x dy x dz . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
dt |
|
|
|
y |
dt |
|
|
z |
|
|
dt |
|
|
|||||||
Так как |
dx x ; |
|
dy y ; |
dz |
z , то выражение (2.8) в про- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екциина координатныеоси представляется вследующем виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Pyx |
|
|
P |
|
|
|||||||
ρ |
|
|
x |
x |
|
x |
|
y |
|
x |
z |
|
|
x |
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
zx , |
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
P |
|
|
P |
|
|
|
P |
|
|
|||||
ρ |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
yy |
|
|
|
zy |
, |
(2.9) |
||||||
|
t |
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Pyz |
|
|
P |
|
|
||||||||
ρ |
|
|
z |
x |
|
z |
|
y |
|
z z |
|
|
z |
|
|
|
|
xz |
|
|
|
|
|
|
zz . |
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
Полученные уравнения носят название уравнений динамики
сплошнойсредыв напряжениях – уравнениядвижения.
Входящий в уравнение динамики тензор напряжений Pij принято представлять в виде суммы двух тензоров
Pij Pδij τij *,
* МинуспередРстоит потому, чтожидкостьиспытываетусилиенасжатие.
22
1 ï ðè i j |
– символ Кронекера; |
p ij – шаровой тен- |
|
где ij |
j |
||
0 ï ðè i |
|
|
зор, отвечающий за изменение объема, р – гидростатическое давление; ij – девиатор (девиаторный тензор) отвечает за изме-
нение формы.
|
|
|
|
Pxx |
Pyx |
|
|
Pzx |
|
|
|
p 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
xx |
|
yx |
|
|
zx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Pxy |
Pyy |
|
|
Pzy |
|
|
0 |
|
p |
|
|
0 |
|
|
|
xy |
|
yy |
|
|
zy |
|
|
|
(2.10) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Pxz |
Pyz |
|
|
Pzz |
|
|
|
0 |
|
|
0 p |
|
|
xz |
|
yz |
|
|
zz |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
С учетом (2.10) правая часть уравнения (2.9) запишется сле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
Pyx |
|
|
P |
|
|
p |
|
|
xx |
|
yx |
|
|
|
zx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
zx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Тогда уравнения движения примут следующий вид: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
p |
xx |
yx |
|
zx , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
p |
|
|
xy |
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
zy |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
t |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
p |
|
xz |
|
|
yz |
|
|
|
zz |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
x |
|
x |
|
y |
|
|
y |
|
z |
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пользуясь численной нумерацией координат, проекций векторов и компонент тензоров, можно представить уравнения (2.11) в компонентной компактной форме:
|
|
|
|
|
p |
|
ij |
. |
(2.12) |
|
|
i |
j x |
i |
|
|
|
|
|||
x |
x |
|||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
j |
|
i |
|
i |
|
|
Уравнения (2.11) и (2.12) имеют форму второго закона Ньютона. Они показывают, что скорость изменения количества движения системы равна сумме сил, действующих на неё.
23
2.4. Уравнение энергии
При выводе этого и предыдущих уравнений используют метод математической физики, который исходит из того, что ограничивается промежуток времени и из всего пространства выделяется лишь элементарный объём. Это позволяет в пределах элементарного объёма и малого отрезка времени пренебречь изменением некоторых величин и существенно упростить задачу.
Выбранные таким образом элементарные dV и d с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения – величинами ещё достаточно большими, чтобы в их пределах можно было бы игнорировать дискретное строениесредыирассматриватьсреду как сплошную.
При выводе дифференциального уравнения энергии сделаем следующие допущения:
–материал однородный и изотропный;
–теплофизические характеристики постоянны;
–внутренние источники тепла распределены по объему равномерно.
В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности (энергии) положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован таким образом.
Количество тепла, подведенное к элементарному объёму
dV за время d (dQ*), равно изменению внутренней энергии вещества (dU), содержащегося в данном объёме за время d .
dQ dQV dU . |
(2.13) |
dQ*
Для нахождения составляющих уравнения (2.13) выделим в теле параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Грани параллелепипеда параллельны соответствующим координатнымплоскостям.
Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объёма за время d в направлении осей Ox, Oy, Оz, обозначим dQx, dQy, dQz (рис. 2.4).
24
Общее количество тепла, поступившего извне dQ dQx dQy dQz .
Рис. 2.4. Баланс потоков тепла в элементарном объеме
Введем понятие потока тепла: qx – количество тепла, проходящего в единицу времени через единицу площади (в данном
|
|
|
|
Äæ |
|
|
Âò |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
случае в направлении оси Ox), |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
; qx dydzd |
|
x – |
||
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ì |
|
|
ñ |
|
ì |
|
|
|
|
|
поток тепла, проходящий через |
площадку dxdz в сечении x; |
|||||||||||||
qx dx dydzd |
|
x dx – поток тепла, |
проходящий через такую же |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
площадку в сечении x+dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разница между количеством теплоты, подведённым к dV за d и отведённым в направлениях Ox, Oy, Oz, может бытьвыраженакак
dQx qx |
|
|
|
|
x |
qx dx |
|
|
x dx dydzd , |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||
dQy qy |
|
y |
qy dy |
|
y dy dxdzd , |
(2.14) |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
dQz qz |
|
z |
qz dz |
|
z dz dxdyd . |
25 |
||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция qx dx считается непрерывной в рассматриваемом объёме и может быть разложена в ряд Тейлора.
q |
|
q |
|
|
|
q |
x |
dx |
2q |
x |
dx |
|
..., |
|
||
x dx |
x |
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||
q |
|
q |
|
|
qy |
dy |
|
2qy |
dy |
..., |
(2.15) |
|||||
y dy |
y |
y |
|
y2 |
2! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
q |
|
q |
|
|
|
q |
z |
dz |
2q |
z |
dz |
.... |
|
|||
z dz |
z |
|
|
|
2! |
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
|
z2 |
|
|
|
|
Ограничимся в выражениях (2.15) только двумя первыми членами ряда и подставим слагаемые в (2.14), получим
dQx qxx dxdydzd qxx dVd , dQy qyy dxdydzd qyy dVd , dQz qzz dxdydzd qzz dVd .
Общее количество теплоты, подведённое к dV за d ,
|
q |
|
qy |
|
q |
|
dQ dQx dQy dQz |
|
x |
|
|
|
z dVd . |
|
y |
|
||||
|
x |
|
z |
Определим вторую составляющую уравнения (2.13). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними
источниками тепла в единице объёма среды за единицу времени и называемое мощностью внутренних источников тепла, че-
рез |
q |
Äæ |
|
3 |
|
, тогда |
|
V |
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
ñ |
|
dQV qV dVd .
Третья составляющая уравнения (2.13) находится для изохорного процесса (процесс, протекающий без изменения объема)
26
dU c T d dV ,
где с – теплоемкость*; – плотность.
Запишем уравнение (2.12) с учетом полученных слагаемых.
|
q |
|
|
|
q |
y |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
z |
qV dVd c |
|
|
dVd |
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или после сокращения на произведение dV·d будем иметь |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
x |
|
|
qy |
|
|
q |
z |
|
q |
|
c |
T |
. |
|
(2.16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
z |
V |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Воспользуемся законом Фурье |
|
T q |
для описания теп- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лового потока в направлениирассматриваемыхосей координат.
qx |
T |
|
|
|
|
T |
|
2T |
||
x |
; |
|
|
|
|
|
|
x |
2 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
Аналогичные выражения получим для направлений вдоль оси y,z. Подставляя полученные члены в (2.16), запишем:
T qV c T – уравнение теплопроводности, (2.17)
где
T 2T 2T 2T .x2 y2 z2
В общем случае теплопереноса (с учётом конвективного и диффузионного механизмов переноса тепла) компоненты теплового потокаqx, qy, qz могутбыть представлены следующимобразом:
* Теплоемкость – количество энергии, необходимое для увеличения температуры тела массой 1 кг на 1 С, [Вт/кг С].
27
qx T c xT ,x
qy T c yT , (2.18)
y
qz T c zT.z
Подставив (2.18) в (2.16), получим уравнение энергии
|
|
|
T |
|
|
|
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
x |
c xT |
|
|
|
|
y |
c yT |
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
z |
c zT |
qV c |
|
. |
|
||||||||
|
z |
|
|
|
|
Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
|
T c |
T |
c |
T |
c |
T |
q c |
T . |
|
x x |
|
y y |
|
z z |
V |
|
Окончательный вид уравнения энергии
|
T |
x |
T |
y |
T |
z |
T |
|
T qV . |
(2.19) |
c |
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
В левой части уравнения (2.19) конвективный теплообмен;T – молекулярный (диффузионный перенос тепла).
2.5.Тензор скоростей деформаций. Реологические уравнения
Напряжённое состояние среды связано и определяется деформационными изменениями. Так, например, под воздействием одной и той же растягивающей силы различные материалы получают различные уд-
Рис. 2.5. Схема нагружения линения.
28
Связь напряжений и деформаций для твёрдых тел осуществляется с помощью закона Гука
Å , l1 l2 , l1
где E – модуль упругости, l1,l2 –конечная и начальная длина образцов, – деформация, – напряжения.
Для жидких сред (растворы и расплавы полимеров) тензор напряжений (или напряжённое состояние в точке среды) зависит от скорости течения среды. Кинематическое соотношение, характери-
зующеедвижение жидкости, – это градиент скорости i .
xi
Причём чем сильнее изменяется величина скорости по сечению канала, тем большее усилие действует на среду, тем большее напряжение в среде возникает.
В общем случае течения возможно более чем одно ненулевое значение градиента скорости. Каждый из трёх компонент скорости может изменяться в трёх координатных направлениях, что даёт девять возможных компонент градиента скорости. Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости , который в декартовых координатах запишется как
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|||
|
x |
|
y |
|
z |
|
y |
|
y |
|
y |
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|||
|
z |
|
z |
|
z |
|
x |
|
y |
|
z |
В общем случае движение среды, описываемое тензором градиентов скоростей, представляет собой одновременно поступательное и вращательное движение. Такие движения можно разделить, представить тензор градиентов градиентов в виде двух слагаемых:
29
12 ,
где и – тензорскоростейдеформациии вращательный тензор. Тензор скоростей деформаций , отвечающий за поступа-
тельное движение, вводится следующим образом:
T ,
где тензор T – транспонированный тензор, имеющий те же компоненты, что и , но с переставленными индексами (зеркальное отображение компонент относительно главной диагонали тензора скоростей деформаций).
|
2 |
|
x |
|
|
x |
|
y |
|
|
x |
|
|
z |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
x |
|||||||
|
y |
|
|
x |
2 |
y |
|
|
y |
|
|
z |
|||||||
x |
|
|
y |
|
z |
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
||||||||||
|
|
z |
|
|
x |
|
z |
|
|
y |
2 |
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
z |
y |
|
|
|
|
|
z |
|
Уравнениями состояния, или реологическими уравнениями, называют уравнения, связывающие тензор напряжений и тензор скоростей деформаций, т.е. ~ .
В том случае, если связь между этими тензорами линейна, то говорят, чтожидкость является ньютоновской, или линейной.
Если ньютоновская жидкость помещена между двумя параллельными бесконечными пластинами и одна из пластин движется с постоянной скоростью, то после достижения установившегося течения сила на единицу площади, приводящая в движение пластину, пропорциональна скорости движения пластины и обратно пропорциональна расстояниюмежду пластинами.
FS ~ Hz .
30