книги / Моделирование систем управления. Исследование нелинейных моделей

УДК 621.311

ЛЗЗ

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. О.Б. Низамутдинов (Государственный научно-исследовательский институт управляющих машин и систем, г. Пермь),

канд. техн. наук, доц. В.А. Панов (Пермский государственный технический университет)

Леготкина T. С.

ЛЗЗ Моделирование систем управления. Исследование нелинейных моделей: Учебно-метод. пособие к лаборат. работам для студ. заочн. отд. спец. «Автоматика и телемеханика» / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 2004. - 29 с.

Математическое моделирование линейных и нелинейных систем, описываемых алгебраическими и дифференциальными уравнениями, - один из разделов теории моделирования. В результате моделирования определяются параметры уравнений, а также точностные характеристики этих параметров.

В данном пособии описываются методы поиска параметров уравнений нелинейных моделей.

УДК 621.311

© Пермский государственный технический университет, 2004

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ПРЯМОГО ПОИСКА И СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ

Цель работы: исследование методов определения оценок парамет­ ров статических нелинейных моделей без производных; определение меры рассеяния этих оценок, а также меры рассеяния предсказываемых значе­ ний зависимых переменных.

Теоретические положения

Пусть дана некоторая случайная наблюдаемая зависимая переменная или отклик, Yj или Yit i —1,2, ..., я, в соответствии с тем, проводились или

нет повторные наблюдения (Y{ - среднее значение для /-го момента вре­ мени в случае повторных наблюдений).

Чаще всего используется Yh а не Yt , т.к. при работе с нелинейными моделями весьма редко проводятся повторные наблюдения.

Также имеется несколько неслучайных независимых (контролируе­

и п>т.

Каждое наблюдаемое значение Yit соответствующее данному набору переменных Лу = (Хц9Ха, Xiq)9связано с математическим ожиданием величины Yt соотношением

^•=Л/+е..

где т|/ = Е (У/1 Xj) - математическое ожидание величины У,-; е,- - ненаблю­ даемая ошибка какого-либо типа.

Можно различать ошибки двух типов - ошибку в измерении экспе­ риментальной зависимой переменной У, и ошибку модели.

Хотя всегда целесообразно исследование поведения е/, но на практи­ ке часто предполагают, что справедливы следующие основные предпосыл­ ки (независимо от того, выполняются они или нет в реальном эксперименте):

1.Ошибка 8/ имеет нормальное распределение.

2.Дисперсия У/ при данном Xj постоянна (или, возможно, является некоторой функцией Xj).

Для определения параметров модели будем использовать метод наи­ меньших квадратов.

Минимизируется функция суммы квадратов отклонений F:

1=1

где со,- - соответствующие веса (определяющие точность /-го измерения), возможно, равные 1; У/ - единичное наблюдение в точке Л}.

Для решения задачи нелинейного оценивания могут использоваться метод прямого поиска и симплексный метод.

Метод прямого поиска

Метод прямого поиска не требует вычисления производных; проце­ дура хорошо укладывается в логическую схему.

Однако метод недостаточно быстро приводит к результату, особенно когда число параметров велико.

Рассмотрим алгоритм прямого поиска. Для всех параметров ру выбираются начальные значения вместе с некоторыми начальными при­

$ ) последовательно заменяется на bj°* + Abj0^. Если при этом значение F

улучшается (становится меньше), то в качестве новой оценки

bj ^ ~bj^ + Д£у°\ Если значение F не улучшается, то испытанию подверга­

При поиске минимума суммы квадратов отклонений F = ^(Yj - ri,-)2

(Yi - измеренные значения, т|,* - значения, определяемые выбранной моде­ лью) в качестве пробных значений параметров модели можно выбрать точки в пространстве параметров, расположенные в вершинах симплекса.

В каждой вершине симплекса подсчитывается сумма квадратов от­ клонений и определяется точка с наибольшим значением целевой функции F (например, точка А). Далее строится прямая, проходящая через центр тяжести симплекса и точку А. На этой прямой определяется новая точка В (этот процесс называют отбрасыванием точки А) и образуется новый сим­ плекс, называемый отражением, который составляют оставшиеся точки (2,3) и новая точка В.

Таким образом, происходит повторение этой процедуры, в которой всегда отбрасывается точка, соответствующая наибольшему значению F, с соблюдением правил уменьшения размера симплекса и предотвращения колебаний в окрестности экстремума.

Итак, требуется минимизировать величину F.

F - функция, зависящая от параметров, которые необходимо опреде­

лить:

F =F(b), Ь = [Ь,,Ьг,...,ЬтУ .

Обозначим через b, = [bu,b2j,--,bmlY - вектор, определяемый в пространстве параметров координатами bu b2, ...» Ътвершины с номером /. Симплекс имеет {т + 1) вершину, каждой вершине соответствует некото­ рый вектор Ь,. Ft - значение целевой функции в вершине с номером i.

Исходный симплекс - правильный симплекс (не обязательно), вер­ шина 1 которого принята за начало координат. Доказано, что координаты других вершин могут быть получены по соотношениям, указанным в табл. 1.

В этой таблице

%1 = ■a-= (-Jm+ l + т - 1);

Fe = min(/}) для соответствующего вектора Ь/ = Ь*, пусть точка С - центр I

тяжести всех точек симплекса с i Ф и (т.е. исключая наихудшую точку).

Метод состоит в последовательной замене вершины bu новой вер­ шиной согласно следующей схеме:

1.Осуществляют отражение

ь’ = (1+уг) С - г гЬи,

где уг - коэффициент отражения, который задается исследователем (на­

пример, уг = 1).

Пусть Fib*) = F*.

После того, как осуществлено отражение Ьш производят проверку: а) если Fс < F* < FUi то Ьм заменяют b \ Полученный симплекс ис­

пользуют в качестве исходного для первого этапа;

б) если F* < Fe, то производят растяжение, преобразуя Ь* в Ь*\ bw =Yeb*+ (l“ Ye)C,

где уе- коэффициент растяжения (например, уе= 2).

Если F*' < Fe, то Ъизаменяют b** и снова начинают 1-й эУап.

Если F*9 > Fet то растяжение ухудшает ситуацию, тогда Ьм заменяют Ь* и снова начинают 1-й этап;

в) если F* >Fe для всех i * м, т.е. замена вектора Ьм вектором Ь* по­ казывает, что Ь4соответствует точке, дающей максимум F, то определяют некоторый новый вектор Ьш равный либо старому вектору Ьм, либо b \ ко­

торый дает более низкое значение F. Затем осуществляют сжатие, преоб­ разуя bu в Ь*\

Ьм = уА + ( 1 - Ус)С,

где ускоэффициент сжатия (ус = 1/2); 0 <ус< 1.

Вектор Ьи заменяют b * и снова повторяют 1-й этап, если только вер­ шина, полученная при сжатии, не приводит к худшему результату, чем max(F(bu), F(b*)), т.е. если F*' > min(Fu>F1*). В последнем случае все векто­

ры b,• заменяют ^(by + be) и возвращаются к 1-му этапу.

2.Поиск прекращают, когда

Е№ - ^ ) 2

-s e ,

где б - произвольно выбранное малое число; F - среднее значение F.

Выполнение работы

Для расчета параметров нелинейных моделей методом прямого по­ иска и симплексным методом разработан пакет программ. Пакет программ можно также использовать для выполнения соответствующей лаборатор­ ной работы. Описание пакета программ приведено на рис.2.

При запуске программы открывается основное окно, которое можно разделить на несколько блоков:

1.Исходные данные для расчета.

Вэтом блоке задаются:

-вид модели идентифицируемого объекта;

-количество измерений;

-входX - значения величин, которые подаются на вход объекта;

-выход Y- значения величин на выходе объекта;

-a,b,c,d - начальные коэффициенты для метода прямого поиска;

-А- максимальное приращение погрешности.

Рис. 2

2.Расчетные данные:

-a, bt с, ^-рассчитанные коэффициенты;

-количество шагов (итераций), полученных при решении каждым методом;

-значения, полученные на выходе модели;

-дисперсия для каждого метода.

Вэтом же блоке производится выбор методов, с помощью которых будет производиться расчет.

Примечание. В качестве разделителя установлены для русской рас­ кладки запятая, для английской - точка.

3.Клавиши управления:

Расчет - при нажатии этой клавиши происходит расчет выбранными методами;

Графики - при нажатии этой клавиши происходит вызов окна гра­ фиков;

Сброс - при нажатии этой клавиши происходит сбрасывание всех исходных и рассчитанных величин;

Выход - при нажатии этой клавиши происходит выход из програм­

мы.

В нижней части окна расположен индикатор отображения хода про­ цесса, который заполняется во время расчета.

Для просмотра необходимого графика следует выбрать соответст­ вующую закладку в окне графиков (рис.З).

1Характеристика|| Метем пропетопоиска} Ов.уц»каьЛметод|

Реальная и промоделировать» херактерислем

Рис.З

На экране монитора отображаются при нажатии закладки: Характеристика - реальная и промоделированные характеристики

объекта (по горизонтальной оси откладываются значения на входе, по вер­ тикальной - на выходе), рис. 3;

Метод прямого поиска - процесс поиска оптимальных коэффициен­ тов методом прямого поиска (по горизонтальной оси откладывается номер шага, по вертикальной - значение коэффициента на этом шаге), рис. 4;

Симплексный метод - процесс поиска оптимальных коэффициен­ тов симплексным методом, а также действия на каждом шаге.

Так как метод прямого поиска недостаточно быстро приводит к ре­ зультату, то в целях экономии памяти компьютера (а также улучшения на­ глядности) при отображении графиков поиска коэффициентов этим мето­ дом выводятся данные только для первых 5000 шагов.