книги / Математические основы теории принятия решений
..pdfАльтернатива A называется доминирующей по отношению к альтернативе B, если по всем критериям оценки альтернативы A не хуже, чем оценки альтернативы B, а хотя бы по одному критерию оценка альтернативы A лучше. Альтернатива B в этом случае называется доминируемой.
При сравнении альтернатив между собой по многим критериям иногда удаётся выделить явно лучшие и явно худшие альтернативы, то есть такие, которые по всем характеристикам оказываются хуже других или лучше других альтернатив. Худшие альтернативы необходимо сразу же отбросить, исключив их из дальнейшего рассмотрения. Если при этом среди лучших альтернатив удаётся выделить одну, которая превосходит другие по всем критериям, то задача выбора оказывается решённой. В общем случае такой единственной альтернативы не находится, и оставшиеся альтернативы образуют некоторое множество.
Множество альтернатив называется оптимальным по Парето, если оно состоит из недоминируемых альтернатив, то есть таких, что каждая из них превосходит другую хотя бы по одному из критериев.
Решение задачи выбора по многим критериям обычно начинается с поиска альтернатив, оптимальных по Парето. Один из возможных способов отыскания таких альтернатив – это их попарное сравнение и исключение доминируемых из дальнейшего рассмотрения. Оставшееся множество недоминируемых альтернатив иногда назы-
вают коротко – множество Парето.
Дальнейшее сравнение предпочтительности альтернатив из множества Парето является наиболее сложным и требует использования некоторых дополнительных процедур с целью согласования противоречивых оценок.
Принцип согласования предпочтительности альтернатив – это принцип выбора альтернатив из множества Парето на основе некоторого компромиссного варианта. Компромисс (компромиссное решение) – это управленческое решение, полученное на основе согласования противоречивых критериев достижения цели. Чаще всего по-
71
иск компромиссных вариантов решения основан на использовании какой-либо дополнительной информации.
В качестве принципов согласования используют лексикографический принцип (по самым важным критериям), принцип «в среднем по всем критериям» и др. Наиболее полный обзор принципов согласования приведен, например, в учебниках О.И. Ларичева [4] и Б.Г. Литвака [21].
Лексикографический принцип предполагает наличие дополнительной информации о сравнительной важности критериев. Если такую информацию удаётся получить, то согласно этому принципу сначала упорядочивают сами критерии по их важности. После этого либо делается попытка свести множество критериев к некоторому интегральному скалярному критерию, либо тем или иным способом выполняется сравнение альтернативных решений по отдельным критериям в порядке убывания их важности.
Сравнение важности альтернатив часто выполняется с помощью экспертных оценок. Иногда эксперты просто упорядочивают критерии по их важности, но чаще упорядочивание заканчивается тем, что каждому из критериев соответствует некоторая числовая оценка его важности – «вес» критерия. Часто самих экспертов также упорядочивают по степени их компетентности, в том числе присваивая им свои «весовые коэффициенты». Иногда в результате удаётся выделить некоторую «оптимальную» альтернативу, но конечный выбор решающей альтернативы чаще всего остаётся за ЛПР, так как в результате таких оценок наиболее «важным» («весомым») часто оказывается критерий, выбранный ЛПР.
Однако иногда ЛПР не сознает явно или не может сформулировать свои предпочтения. Тот же вариант возникает в случае, если команда экспертов в целом рассматривается как ЛПР. Тогда предпочтения ЛПР можно выявить с помощью специальных методов и процедур. Например, можно использовать метод выявления предпочтений ЛПР, который носит название «ЗАПРОС (замкнутые процедуры на опорных ситуациях)», а также некоторые другие методы [4].
72
Сравнение альтернативных вариантов с целью выбора решения по совокупности многих критериев можно выполнить, не прибегая к количественным оценкам предпочтительности альтернатив. Принцип Кемени согласования упорядочений альтернативных вариантов основан на использовании одного из разделов функционального анализа – теории метрических пространств.
7.2. Метод Кемени согласования упорядочений по предпочтениям
В основе метода Кемени лежит понятие упорядочения по предпочтению. Так как речь идет о сравнении альтернатив, то естественно работать не в числовых, а в порядковых шкалах. Каждый из критериев порождает свою порядковую шкалу, и все альтернативы должны допускать измерение в этой шкале. При этом две альтернативы, равноценные с точки зрения рассматриваемого критерия, в записи кортежа соединяются знаком равенства.
Пример 7.1. Необходимо сравнить между собой по отношению предпочтения три альтернативы А, В и С по совокупности четырёх критериев, неважно, качественных или количественных.
К примеру, первый критерий приводит к упорядочению (А = В, С) по убыванию предпочтений, второй критерий – к упорядочению (С, В, А), третий – к упорядочению (А, В, С), а четвёртый – к упорядочению (С, А = В). Нетрудно заметить, что с позиций первого и четвёртого критериев альтернативы А и В равноценны, но по первому критерию альтернатива С менее предпочтительна, а по четвёртому – С более предпочтительна, чем В = А, то есть первое и четвёртое упорядочения вступают в противоречие друг с другом. В то же время упорядочения по первому и четвёртому критериям явно близки друг к другу.
Основная идея Кемени – построить метрическое пространство со специальной метрикой, которая позволит сравнивать упорядочения между собой по степени близости, и остальные расчёты выполнять в этой метрике. Справедлива теорема единственности расстояния между упорядочениями по предпочтению: в теории Кемени до-
73
казано, что это расстояние всегда можно вычислить и притом единственным способом.
Процедуры вычисления расстояний между упорядочениями по метрике Кемени достаточно громоздки и их реализация требуют наличия хорошей математической подготовки. Но расчеты можно выполнить с помощью автоматизированной системы поддержки принятия решения, которую несложно разработать специалистуматематику на основе алгоритма Кемени [3].
Результаты измерения расстояний (чисел) между полученными упорядочениями можно использовать для выбора альтернативного варианта согласно какому-либо из принципов согласования или по некоторой совокупности этих принципов.
Например, в качестве принципа согласования критериев можно выбрать «принцип большинства». Тогда среди всех упорядочений по предпочтительности с позиции отдельных критериев надо выбрать те, которые наиболее близки (по метрике Кемени) друг к другу и выбрать то упорядочение, вокруг которого группируется большинство других упорядочений. Такое упорядочение реализует минимум суммы квадратов расстояний между упорядочениями и называется медианой. В медиане (медианном упорядочении) первым по предпочтительности будет стоять то альтернативное состояние, которое является наилучшим с позиции большинства критериев. Вторым – следующее по предпочтительности, и т.д.
Если же в качестве принципа согласования выбрать принцип «лучшее – это среднее по всем критериям», то среди всех упорядочений по предпочтительности по отдельным критериям нужно выбрать то, для которого сумма модулей расстояний между упорядочениями является минимальной. Такое упорядочение называется средним. В нем первым по предпочтительности будет стоять то альтернативное состояние, которое является наилучшим в среднем по всем критериям (качественным и количественным).
В завершение сделаем несколько замечаний, касающихся возможностей метода Кемени при выборе решающей альтернативы. Метод на строгой основе, без каких-либо дополнительных предпо-
74
ложений, а также вспомогательных количественных и качественных оценок позволяет выделить из множества Парето или произвольного множества альтернатив два ключевых альтернативных варианта, которые и представляются на выбор ЛПР.
Очевидно, что выбор одного варианта из двух, с одной стороны, проще, а с другой – позволяет ЛПР мгновенно оценить ошибки, которые, возможно, были допущены при выборе критериев оценки альтернатив, в том числе выявить их недостаточность (неполноту). Кроме того, ЛПР может добавить к множеству альтернативных вариантов, согласованных экспертными группами или автоматизированными системами поддержки решений, свой вариант упорядочения по его личным предпочтениям и выбрать его, пренебрегая советами экспертов и систем поддержки решения. Но более удачным представляется решение ЛПР добавить свой личный вариант к тем наилучшим вариантам, которые предложила система поддержки, и снова пересчитать согласованные варианты альтернативных решений. Возможно, что после пересчета ЛПР получит то множество вариантов, которое позволит ему минимизировать свои сомнения и сделать окончательный выбор.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте принцип оптимальности по Парето.
2.В каком случае управленческое решение называется компромиссным?
3.Сформулируйте лексикографический принцип выбора по предпочтительности.
4.Что такое упорядочение по предпочтению?
5.В чём суть метода Кемени согласования упорядочений по предпочтениям?
6.Какие варианты предлагает метод Кемени в качестве наилучших по многим критериям?
7.Какое упорядочение называется медианой?
8.Какое упорядочение называется средним по Кемени?
75
8. РАЗРАБОТКА РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
Управленческая деятельность неизбежно связана с необходимостью принятия решений в условиях неопределённости, что связано с вероятностью возможных потерь. Под риском в данной главе понимается математическое ожидание возможных потерь. В процессе принятия решения важно оценить риск и выбрать решение, оптимальное в конкретной обстановке. Но это возможно не всегда, так как неопределённость может быть вызвана различными обстоятельствами.
8.1. Риск. Источники и виды неопределённости
Для принятия решения в условиях неопределённости рекомендуется сначала детально разобраться в причинах возникновения неопределённости.
Одна из наиболее частых причин возникновения неопределённости связана с конфликтом интересов как внутри, так и вне организации. Это может быть конкурентная борьба на экономических рынках, политическая борьба, военные конфликты и т.п. Рисковые ситуации, в которых необходимо оценить вероятность реализации той или иной стратегии участников социально-экономических процессов в случае намеренного противодействия, являются одними из наиболее сложных. Один из путей уменьшения последствий неопределённости, возникающей из-за конфронтации – переговоры.
Причиной случайно возникающей неопределённости в техносфере могут быть закономерные природные и техногенные бедствия и катастрофы, случайный момент наступления которых невозможно предсказать. Внезапное проявление действия случайных обстоятельств связано с бифуркациионным характером процессов, протекающих в природе и обществе и, в частности, в техносфере. Малые случайные изменения («взмах крыльев бабочки») могут приводить к принципиально различным траекториям движения процессов, затрагивая интересы огромных масс людей. Эту неопределённость не-
76
возможно предвидеть. Тем не менее некоторые из случайных явлений подчиняются определённым закономерностям, которые можно выявить с помощью статистического анализа.
Особый вид неопределённости связан с неполнотой, неточностью и несвоевременностью поступающей информации. Информационная неопределённость препятствует принятию обоснованных решений. В некоторых случаях неполноту информации можно компенсировать вероятностным анализом, если удаётся использовать аналитические методы исследования, опираясь на статистические данные.
Информационная неопределённость может быть обусловлена разными причинами, две из которых связаны со временем, необходимым для переработки информации.
1.Дефицит времени может быть объективным, связанным с высокой скоростью поступающего информационного потока. Последствия дефицита времени можно частично преодолеть, обеспечив процесс принятия решений автоматизированными средствами переработки информации.
2.Недостаток времени может быть вызван психофизиологическими особенностями ЛПР. Повысить скорость реакции и эмоциональную устойчивость можно путем тренинга и участия в деловых играх.
3.Третья причина информационной неопределённости может быть связана с профессиональной некомпетентностью и неподготовленностью ЛПР, его пренебрежением к вопросам заблаговременной заботы об источниках получения информации, способах ее хранения
иметодах переработки. Компетентность необходимо постоянно повышать: специалист должен постоянно повышать свою квалификацию.
4.Четвертая причина информационной неопределённости – слишком высокая стоимость информации.
Методы оценки риска по статистическим данным с помощью понятия математического ожидания можно найти в литературе по теории случайных величин и математической статистике (см. список дополнительной литературы).
77
В теории принятия решений выделяют три типа ситуаций, связанных с понятиями риска и неопределённости:
1)определённая (детерминированная) ситуация, в которой последствия принятого решения можно оценить;
2)вероятностная (стохастическая, рисковая) ситуация, в которой возможны различные варианты развития ситуации, при этом каждый из вариантов может реализоваться с известной вероятностью
ипоследствиями;
3)непрогнозируемая (ненадёжная) ситуация, которая характеризуется самой высокой степенью неопределённости и почти полным отсутствием информации, поэтому эта ситуация является самой опасной.
Два последних вида неопределённости – стохастическая и непрогнозируемая – принципиально отличаются возможностью оценки последствий. В определённой ситуации можно выбрать оптимальное по совокупности критериев решение на основании прямых расчетов. В вероятностной ситуации можно оценить риск как математическое ожидание возможных потерь (ущерба).
Техносферная безопасность тесно связана с понятием риска и его оценкой. Производственный риск включает в себя различные виды рисков: проектно-строительный, проектно-конструкторский, технологический и инновационный, а также риск, связанный с человеческим фактором (выбор кадровых и временных работников, охрана труда и техника безопасности в процессе производства). Экономический риск также неоднороден и часто классифицируется по различным признакам (инвестиционный, предпринимательский, коммерческий, страховой и др.).
По возможным потерям и вероятности наступления рисковой ситуации обычно выделяют четыре уровня риска: ожидаемый, допустимый, критический и катастрофический. Ожидаемый риск закладывается в модель и предусматривает меры по компенсации возможных потерь. Допустимый риск указывает границу, при которой возможна компенсация потерь по выделенным направлениям за счет внутренних резервов организации. Критический риск указывает, что
78
внутренних ресурсов недостаточно и требуются специальные меры по компенсации важнейших для деятельности организации потерь с неизбежными потерями по другим направлениям. Катастрофический риск связан с возможностью необратимых потерь по жизненно важным направлениям деятельности организации.
Классификация риска по уровням опасности указывает на важность оптимального выбора в рисковых ситуациях. Поэтому принципиальное значение в теории принятия решения приобрели методы, позволяющие оценить и сравнить альтернативы в условиях неопределённости.
8.2. Матричные игры и принятие решений
Рассмотрены основные понятия теории игр и принцип минимакса для матричных игр.
8.2.1. Основные понятия теории игр
Ситуации, в которых имеются несколько (две или более) сторон, преследующих противоположные цели, называют конфликтными. Стороны называют конфликтующими.
Игра – математическая модель конфликтной ситуации. В отличие от реальных конфликтных ситуаций, игра ведётся по определённым правилам. Конфликтующие стороны условно называют игроками, результат разрешения конфликта называют «выигрышем» (или «проигрышем») одного из игроков. Заранее определяются права и обязанности игроков. Известен объём информации, которая поступает каждому из них в ходе игры.
Игра – это последовательность действий игроков по определённым правилам с целью выигрыша. В общем случае цель игры – выработка рекомендаций по рациональному образу действий для каждой из конфликтующих сторон.
Выигрыш не обязательно имеет количественное выражение, но ему всегда можно придать условное количественное значение: выигрышу приписывают значение +1, проигрышу –1, а ничьей 0. Игра на-
79
зывается игрой с нулевой суммой, если сумма всех выигрышей равна сумме проигрышей.
Ход игрока – это его выбор (в согласии с правилами игры) одного из возможных вариантов действий. Различают личные и случайные ходы. Личный ход – это сознательный выбор игрока. Случайный ход – это случайный выбор, например, с помощью подброшенной монеты или игральной кости. В теории игр предполагается, что для каждого из случайных ходов известно распределение вероятностей возможных исходов.
Несмотря на строгие правила, предсказать поведение игроков достаточно сложно. Однако достаточно часто можно предположить варианты их поведения в различных ситуациях, причём ответные действия каждой из сторон учитывают информацию, поступившую в результате выбора противника. Тем не менее даже в этом случае точно предсказать поведение противостоящих сторон проблематично, так как сохраняется высокая степень неопределённости.
Игра – один из способов отыскания оптимальных вариантов решения в конфликтных ситуациях. Например, разумно предположить, что с целью разрешения конфликта в свою пользу каждая из сторон принимает решение в расчёте на наименее выгодные для неё решения противника.
В игре могут сталкиваться интересы нескольких противников (игроков). Если игроков более двух, игру называют множественной. Участники множественных игр могут образовывать коалиции. Такие игры называют коалиционными. В ходе игры коалиции могут распадаться или создаваться вновь в другом составе. Если каждый из игроков имеет конечное число вариантов поведения (стратегий), то игра называется конечной.
Парная игра – это игра, в которой участвуют двое конфликтующих игроков (противников). Если во множественной игре появляются две постоянные коалиции, такая игра превращается в парную. Далее будут рассмотрены только конечные парные игры с нулевой суммой, в которых участвуют два игрока с противоположными инте-
80