Главы 5-6

ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

5.1. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ

Метод вращения используется для определения:

–натуральной величины отрезка и угла наклона его к плоскости проекций;

–натуральной величины плоской фигуры и угла наклона ее к плоскости проекций.

5.1.1. ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ОСИ

Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Система плоскостей проекций остается неизменной.

Преобразование отрезка АВ из общего положения в положение уровня (рис. 5.1). Преобразование выполняется путем вращения вокруг горизонтально проецирующей прямой (оси вращения i). Ось i рационально провести через точку отрезка А (или В).

а) б)

Рис. 5.1. Преобразование отрезка АВ из общего положения в положение уровня: а – модель; б – комплексный чертеж

84

Вращение точки В вокруг оси i происходит в плоскости , перпендикулярной оси i, по окружности m, точка О – центр вращения, а OВ – радиус вращения точки В. На примере плоскость совпадает с плоскостью П1.При вращении горизонтальная проекция точки В отрезка перемещается по окружности, а ее фронтальная проекция перемещается параллельно оси проекций x12. Точка А, лежащая на оси вращения, остается на месте. Такое вращение позволяет преобразовать отрезок общего положения в отрезок фронтали.

Преобразование отрезка АВ из положения уровня в проецирующее положение (рис.5.2). Вращение вокруг оси i 1 позволяет горизонтальный отрезок преобразовать в отрезок, перпендикулярный фронтальной плоскости (отрезок фронтально проецирующей прямой).

а) б)

Рис. 5.2. Преобразование отрезка АВ из положения уровня в проецирующее положение:

а– модель; б – комплексный чертеж

5.1.2.ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ПРЯМОЙ УРОВНЯ

Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня – горизонталь или фронталь плоскости или плоской фигуры. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, при которой эта плоскость становится параллельной одной из плоскостей проекций.

Например, определим натуральную величину треугольника АВС

(рис. 5.3).

85

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следую-

щее:

– построить в плоскости треугольника горизонталь h. Она будет являться осью вращения, вокруг которой будут вращаться стороны треугольника АВ, АС и СВ. Точки А, В и С будут вращаться в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом точки 1 и С остаются неподвижными, а точка В вращается вокруг горизонтали;

Рис. 5.3. Вращение вокруг прямой уровня

–из горизонтальной проекции В1 точки В провести плоскость 1В, перпендикулярно к оси вращения h1. Отрезок В1O1- горизонтальная проекция радиуса вращения точки В. Натуральную величину этого радиуса необходимо найти методом прямоугольного треугольника;

–на продолжении прямой O1В1 отложить гипотенузу O1В* путем вращения и построить перемещенную точку В;

–из горизонтальной проекции А1 провести плоскость 1А, перпендикулярно к оси вращения h1 и построить перемещенную точку А на перемещенном отрезке 1В;

86

– соединить перемещенные точки А, В и С, получить натуральную величину треугольника.

Этим способом находится натуральная величина любой плоской фигуры, плоского угла.

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1.

Задача 2.

Вращением вокруг горизонтали h α (АВС) определить натуральную величину АВС.

87

Решение:

5.2. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Суть метода заключается в том, что одна из плоскостей проекций заменяется на новую плоскость проекций (рис. 5.4). При этом:

– дополнительная плоскость проекций проходит перпендикулярно

одной из существующих плоскостей проекций (например, П4П1 или П5П2);

–пересечение дополнительной плоскости проекций с существующей дает новую ось проекций х14 или х25;

–проекция точки на дополнительной плоскости А4 или А5 принадлежит линии связи перпендикулярной новой оси;

–новая проекция точки А4 (или А5) удалена от новой оси х14 (или х25) на расстояние, равное расстоянию заменяемой проекции А2 (или А1)

от «старой» (заменяемой) оси х12, т.е. А4х14 = А2х12 или А5х25 = А1х12. При решении конкретной задачи может быть выполнено последова-

тельно несколько таких замен. Рассмотрим преобразование прямых и плоскостей методом замены плоскостей проекций

88

5.2.1.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОЙ

1.1.Преобразование прямой общего положения в прямую уровня

(рис. 5.5, а):

– отрезок АВ в системе плоскостей проекций П2 / П1 - отрезок прямой общего положения;

–новая плоскость П4 // АВ (П4 П1 ) новая ось х14 // А1В1;

–в системе плоскостей проекций П1 / П4 отрезок АВ – отрезок пря-

мой уровня;

–А4В4 – натуральная величина отрезка АВ;

–угол о – угол наклона отрезка АВ к П1.

1.2. Преобразование прямой уровня в проецирующую прямую

(рис. 5.5, б):

–отрезок АВ в системе плоскостей проекций П2 / П1 - отрезок прямой уровня (горизонталь);

–новая плоскость П4 АВ (П4 П1 ) новая ось х14 А1В1 (н.в. отрезка АВ);

–в системе плоскостей проекций П1 / П4 отрезок АВ – отрезок проецирующей прямой;

–А4В4 – вырожденная проекция отрезка АВ.

а) б)

Рис. 5.5. Преобразование отрезка АВ: а – из общего положения в положение уровня; б – из положения уровня в проецирующее положение

89

5.2.2.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ

1.1.Преобразование плоскости общего положения в проецирующее положение (рис. 5.6, а):

–плоскость АВС в системе плоскостей проекций П2 / П1 - плоскость общего положения ;

–в плоскости АВС построить прямую уровня (горизонталь h );

–новая плоскость П4 h (П4 П1 ) новая ось х14 h1 ; плоскость

АВС П4;

–горизонталь h в системе плоскостей П1 / П4 становится проецирующей прямой, а плоскость АВС – проецирующей плоскостью;

–А4В4С4 – вырожденная проекция плоскости;

–угол о – угол наклона плоскости АВС к П1.

1.2.Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

(рис. 5.6, б):

–плоскость АВС в системе плоскостей проекций П2 / П1 - проецирующая плоскость;

–новая плоскость П4 // плоскости АВС (П4 П2 ) новая ось х24 // вырожденной проекции плоскости А2В2С2;

–А4В4С4 – н.в. плоскости.

Таким образом, схема преобразования геометрических объектов методом замены плоскостей проекций можно представить на рис. 5.7.

а) б)

Рис. 5.6. Преобразование плоскости АВС: а – из общего положения в проецирующую; б – из проецирующего положения в положение уровня

90

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Рис. 5.7. Преобразования геометрических объектов методом замены плоскостей проекций

Метод применяется для определения расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла, натуральной величины плоской фигуры и различных ее параметров.

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1.

Построить проекции точек на дополнительные плоскости проекций. Дано: Решение:

91

Задача 2.

Определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона к П1. Дано: Решение:

Задача 3.

Определить угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости П2.

92

Задача 5.

Определить расстояние от точки А до: а) прямой l;

93