dinamika

взаимодействия тел системы между собой Пвз и энергии тел во внешнем

силовом поле П .

При перемещении тел результирующая работа всех сил равна:

Ар = Авз + А п+ Анп .

Сдругой стороны, по теореме о кинетической энергии, эта работа равна приращению кинетической энергии системы сил:

А р= Авз+ Ап + Ан п = К .

Поскольку работа внутренних сил Авз равна убыли потенциальной энергии взаимодействия Пвз , а работа внешних потенциальных сил Ап равна убыли

потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле П , то: − Пвз − П + Анп= К ,

или

К + Пвз + П = Анп .

Так как в данном случае, полная механическая энергия системы тел равна:

Е = К + Пвз + П ,

то:

Е = К + Пвз + П

и:

Е = Анп .

Если на систему действуют только потенциальные силы, то

Е = 0 и Е = const .

Таким образом, полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только потенциальные силы, есть величина постоянная.

Это утверждение принято называть законом сохранения полной механической энергии.

Если система является замкнутой, т.е. на нее действуют внешние силы,

то:

Е= К + Пвз = const .

Вэтом случае закон сохранения можно сформулировать следующим образом: полная механическая энергия замкнутой консервативной системы есть величина постоянная.

Если в замкнутой системе тел кроме консервативных действуют и неконсервативные силы, то рассматривая последние как внешние, можно записать что:

Е = Анп .

Приращение полной механической энергии замкнутой системы равно работе неконсервативных сил.

величина скорости υ при поступательном движении аналогична величине угловой скорости ω при вращательном движении.

Сравнивая, выражения для кинетической энергии тела движущегося поступательно и вращающегося тела мы приходим к заключению, что величина момента инерции тела J аналогична величине массы m . Но масса тела есть мера его инертности и, следовательно, момент инерции тела есть также мера его инертности при вращательном движении.

Рассмотрим, каким образом можно определить величину моментов инерции некоторых однородных (ρ = сonst ).

тонкостенных дисков, на которое можно разбить исходную фигуру (их радиус r при этом изменяется от φ до R ).

J= 1 mR2 . 2

3.Момент инерции тонкого стержня длиной l относительно оси,

проходящей через середину стержня и перпендикулярной к нему.

Выделим на стержне участок массой dm , лежащий на расстоянии x от центра (рис. 1.10). Момент инерции данного участка запишем как для материальной точки

dJ = x2dm = ρSx2dx .

Рис. 1.10 Момент инерции всего стержня найдем, просуммировав моменты инерции всех участков, на которые можно разбить данный стержень

J = 1 ml 2 . 12

4. Примем без доказательства, что момент инерции шара (рис. 1.11) относительно оси проходящей через центр шара равен:

J = 2 mR2 . 5

Рис. 1.11

Во всех четырех рассмотренных нами случаях мы записали моменты инерции тел относительно осей проходящих через центры их масс. С помощью теоремы Штейнера можно найти моменты инерции тел относительно других осей.

Сформулируем эту теорему: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме его момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

ri/ = ri + a , и

ri/2 = ri/ iri/ = (ri + a)i(ri + a) = ri2 + a2 + 2airi .

Момент инерции тела относительно оси О/ равен:

чертежа относительно оси О (начало его лежит на оси О). Поскольку по условию центра масс находится на оси О то, этот вектор равен нулю, т.е.:

J0/ = J0 + ma2 .

6.Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с неподвижной осью вращения

Пусть к твердому телу с неподвижной осью вращения О в некоторой точке А приложена сила F . Тогда, если точка А совершает перемещение dr ,

Входящие в это выражение величины удобно изобразить в плоскости окружности, по которой движется точка (рис.1.14).

В силу того, что приращение угла поворота dϕ бесконечно мало можно считать:

α = ÐAOC , так как это два угла с соответственно перпендикулярными сторонами. С учетом сказанного:

F относительно оси вращения О:

M = F ih .

Отметим, что в системе СИ момент силы измеряется в [M ]= H iм.

Если сила F приложенная к телу приводит к увеличению угла поворота (то есть приводит к вращению тела по выбранному положительному направлению вращения), то момент такой силы считается величиной положительной. Если приложенная сила F приводит к умножению угла поворота, то ее момент – отрицателен.

Таким образом, величина элементарной работы сила F равна: dA = Mdϕ .

С другой стороны, согласно теореме о кинетической энергии:

dA = dK = d Jω2 = Jωdω .

2

Приравнивая правые части последних равенств, и деля их на время dt , за которое угол поворота получаем приращение dϕ , а угловая скорость - dω,

получаем:

M dϕ = Jω dω , M = Jε, dt dt

ε = M ,

J

т.е. угловое ускорение тела относительно некоторой неподвижной оси вращения прямо пропорционально моменту силы действующей на тело и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой оси.

Мы сформулировали и математически записали основной закон (основное уравнение) динамики вращательного движения твердого тела с неподвижной осью вращения. Сравнивая его запись, со вторым законом

Ньютона a = F можно заключить, что момент силы при вращательном m

движении играет роль аналогичную силе при поступательном движении.

Наконец отметим, что подобно второму закону Ньютона если на тело с неподвижной осью вращения действует несколько сил, то оно движется с ускорением ε , прямо пропорциональным сумме моментов сил, действующих на тело и обратно пропорциональным моменту инерции тела относительно оси вращения.

N

∑Mi

J

7. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Величина скорости υ при поступательном движении тела соответствует величина угловой скорости ω при вращательном движении, а массе m - момент инерции J . Но тогда величине импульса p = mυ при поступательном движении, должна соответствовать при вращательном движении величина равная произведению момента инерции тела J на угловую скорость ω . Эту величину принято называть моментом импульса и обозначить L :

L= Jω ;

Всистеме СИ момент импульса измеряется в [L] = кгiм2 .

с

Посмотрим, обладает ли введенная величина момента импульса тела, подобно импульсу тела p , свойством сохранения, для чего введем ее в запись основного уравнения динамики вращательного движения:

То есть, если сумма моментов всех сил, приложенных к телу, равна нулю, момент импульса тела есть величина постоянная.

Таким образом, момент импульса тела обладает свойством сохранения, подобно импульсу тела. Но в таком случае должен обладать свойством сохранения и момент импульса системы тел, равный сумме моментов импульса тел, входящих в систему (тела вращаются относительно одной оси) т.е. момент импульса замкнутой системы тел есть величина постоянная. Доказательство этого утверждения, выражающего закон сохранения момента импульса, мы проводить не будем, поскольку оно полностью аналогично доказательству закона сохранения импульса.

В заключение данного параграфа запишем выражения для момента выражения для момента импульса материальной точки, часто применяемые при решении задач.

Если точка движется по окружности, то ее момент импульса L равен:

L = Jω = mR2 υ R

В случае произвольного движения точки момент импульса точки относительно некоторой оси вращения определяется как произведение перпендикулярной к оси составляющей скорости υ на плечо скорости и массу точки (рис. 1.15):

L = mυ hυ .

Рис. 1.15