Элементы вычислительной математики

С.И. Шувалов, С.Г. Ушаков, О.Б. Сперанская

Элементы вычислительной математики

Учебное пособие по курсу «Информатика»

для студентов теплоэнергетических специальностей

Иваново 2000

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей «Тепловые электрические станции» и «Технология воды и топлива», изучающие разделы вычислительной математики в курсе дисциплины «Информатика».

В пособии рассмотрены основные источники появления ошибок в компьютерных расчетах, алгоритмы наиболее часто используемых численных методов и приведены соответствующие блок-схемы.

Пособие может быть полезным для студентов старших курсов при разработке вычислительных программ для решения инженерных задач.

Содержание

Стр

Введение 4

1. Машинная арифметика и ошибки вычислений

2. Решение нелинейных уравнений

2.1. Постановка задачи

2.2. Выбор диапазона поиска

2.3. Выделение корней

2.4. Метод половинного деления (метод дихотомии)

2.5. Метод хорд

2.6. Метод Ньютона

2.7. Метод секущих

3. Численное интегрирование

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод прямоугольников

3.3. Метод трапеций

3.4.Метод Симпсона

3.5. Погрешность вычислений различных методов

3.6. Адаптивные программы

4. Решение системы линейных уравнений

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента

5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

5.1. Постановка задачи

5.2. Однопараметрическая интерполяция

5.3. Двухпараметрическая интерполяция

6. Численное дифференцирование

6.1. Постановка задачи

6.2. Формулы численного дифференцирования

7. Решение оптимизационных задач

7.1. Постановка задачи

7.2. Однофакторная оптимизация

7.2.1. Метод «золотого сечения»

7.3. Многофакторная оптимизация

7.3.1. Метод покоординатного спуска

7.3.2. Метод наискорейшего спуска

7.3.3. Метод поиска по градиенту

7.3.5. Метод Нелдера-Мида

7.3.6. Комплексный метод Бокса

8. Решение Обыкновенных дифференциальных

уравнений

8.1. Постановка задачи

8.2. Метод Эйлера

8.3. Модификации метода Эйлера

8.3.1. Усовершенствованный метод ломаных

8.3.2. Усовершенствованный метод Эйлера-Коши

8.3.3. Итерационная обработка по усовершенствованному

методу Эйлера-Коши

8.4. Метод Рунге-Кутта

Введение

При решении многих практических задач значительную помощь может оказать математическое моделирование. Реальная проблема представляется в виде некоторой упрощенной математической задачи, состоящей, как правило, из систем различных уравнений, и решаемой одним из возможных методов. Математическое моделирование применяется при проектировании промышленных установок для выбора наиболее экономичного варианта проекта, для анализа и прогнозирования развития процессов при эксплуатации оборудования, для оценки состояния оборудования при планировании объема, продолжительности и последовательности отдельных этапов ремонта технологических установок и т.д.

Реальные задачи допускают решения в явном виде только в редких случаях. Обычно получить аналитическое решение или чрезвычайно трудно, или вообще невозможно. В такой ситуации или упрощают задачу до вида, допускающего аналитическое решение, или ее решают численно. До появления ЭВМ первый путь был основным, результативность работы инженера и исследователя во многом определялась его искусством принимать такие упрощения, которые, во-первых, существенно не искажают реальные условия задачи и, во-вторых, позволяют найти аналитические решения.

В настоящее время ситуация принципиально изменилась. Наличие быстродействующих ЭВМ, языков программирования высокого уровня и эффективных алгоритмов вычисления позволяют отказаться от упрощения задач. Новые возможности вычислительной техники предъявляют и новые требования к специалистам. Инженеры должны не только знать теоретические разделы соответствующих дисциплин, но также уметь составить соответствующее математическое описание задачи и написать программу для ее решения на ЭВМ.

Математика оперирует с абстрактными объектами и поэтому ее методы применимы в любой практической области. Однако для каждой отрасли существует круг типовых вычислительных задач, определяемых особенностями основных процессов и уровнем использования математических методов для их описания. Для теплоэнергетики характерно широкое применение аппроксимирующих степенных зависимостей для расчета процессов теплообмена, балансовых соотношений в виде систем линейных уравнений для расчета тепловых схем энергетических установок, табличного представления термодинамических параметров воды, водяного пара и газов, многопараметрической оптимизации для выбора оптимальных вариантов технических проектов. В соответствии с этим в пособии рассмотрены алгоритмы решения нелинейных уравнений, численного интегрирования и дифференцирования, решения систем линейных уравнений методом Гаусса, интерполирования, однопараметрической и многопараметрической оптимизации.

Раздел «Вычислительные методы» в курсе «Информатика» изучается студентами теплоэнергетического факультета в первом и втором семестрах, поэтому в пособии не рассмотрены алгоритмы решения дифференциальных уравнений, систем нелинейных уравнений, уравнений с частными производными и операций с матрицами. Эти разделы математики входят в учебную программу второго курса, поэтому для их изучения необходимо обратиться к соответствующей литературе, список которой приведен в конце пособия.