книги из ГПНТБ / Абрамов, В. А. Оптимизация периодичности профилактики автомобилей

При определении периодичности технического обслуживания автомобилей в период нормальной эксплуатации предполагалось, что число отказов в течение рассматриваемого интервала пробега следует закону Пуассона. Это было возможно, если элементы автомобиля обладали экспонен­ циальными функциями надежности, т. е., если Р (/) = е~м , где Л = const. В соответствии с пре­ дельной теоремой Пальма, это правомерно при

любых функциях надежности элементов, если число последних в автомобиле достаточно велико.

Однако встречаются случаи, когда в некото­ рых агрегатах автомобиля имеется сравнительно небольшое число сменных элементов, которые нужно учитывать при оценке надежности. Функ­ ции надежности их могут заметно отличаться от экспоненциальных.

Аналогичное положение складывается и при резервировании, когда отдельные элементы объ­ единяют в один сложный и считают, что он выхо­ дит из строя тогда, когда выходят из строя все составляющие его элементы. Однако функция надежности такого элемента не будет экспонен­ циальной даже тогда, когда функции надежности отдельных элементов экспоненциальные.

20

Естественно, в подобных ситуациях возникают сомнения в возможности использования распре­ деления Пуассона для определения периодич­ ности технического обслуживания автомобилей. Поэтому целесообразно изложить способы, по­ зволяющие при необходимости учитывать откло­ нения распределения числа отказов от закона Пуассона при оценке надежности автомобиля. Эту задачу с учетом исследований [2,5] можно решить следующим образом.

Рассмотрим элементарный поток отказов, т. е. поток, связанный с работой отдельного сменного элемента автомобиля. Обозначим все характе­ ристики этого потока индексами 1 (например, Ау, Р пл и т. д.). Учитывая, что пробег между со­ седними отказами у этого потока является неза­ висимой случайной величиной, можно считать его потоком с ограниченным последствием.

Если заданный интервал I находится на доста­ точно большом пробеге автомобиля от начала эксплуатации, то параметр потока отказов эле­ ментарного потока можно считать величиной постоянной и равной стационарному значению

Ах. Существование такого значения может быть доказано при весьма общих предположениях

Р пл (I, со) справедливы следующие уравнения [9]:

В работе [9] функции ц>п (/)(« = 0, 1, 2 . . .)

называются функциями Пальма. Они представ­

2!

связаны соотношениями, аналогичными выраже­ ниям (12).

Параметр потока отказов может быть найден путем решения следующего интегрального урав­ нения:

Это выражение вытекает из уравнения (14), если положить и = 0 и учесть, чтоР 0)1 (/, 0) = q>0 (I),

изатем продифференцировать по I полученное соотношение. Выражение (16) можно получить

идругими методами, разработанными Смитом, Смолицким и Чукреевым [71.

Таким образом, полученные уравнения (12),

(14). . . (16) позволяют определить вероятности

Рп,1 (/, и) для любых значений п > 0 и тем самым найти точное распределение отказов автомобиля в интервале пробега (и, и + /) в случае элемен­ тарного потока отказов от одного сменного эле­ мента.

Как известно, автомобиль состоит из k смен­ ных элементов. Тогда вероятности Рп. 7 (/, и) можно определить путем последовательного опре­ деления соответствующих вероятностей для по­ токов отказов от одного, двух, трех и так далее сменных элементов, пока не будут рассмотрены все элементы.

Так, для потока отказов от: двух сменных

23

©т трех сменных элементов

Таким образом, для нахождения точного распределения отказов в заданном интервале пробега для периода нормальной эксплуатации некоторых агрегатов автомобиля, имеющих сравнительно небольшое число сменных элемен­ тов, а также в случае резервирования необхо­ димо: определить параметр элементарных пото­ ков отказов и вероятности Рп, i путем последо­ вательного решения уравнений (12), (14). . . (16); определить вероятности Р п< k для суммарного потока отказов автомобиля, постепенно услож­ няя рассматриваемый поток отказов последова­ тельным добавлением к нему элементарных потоков. Поставленную задачу можно решить приближенным методом, использовав при этом разложение в ряд Шарлье, основанное на рас­ пределении Пуассона.

Для системы из k элементов и вероятностей Р п (/, и) ограничимся первыми двумя членами такого разложения:

Р п (l,u)s^W(n,a)+e Д2 W(л,а), (л = 0 , 1 , 2 . . .);]

24

причем для п < 0 полагается 'Г (п, а) = 0. Пола­ гая л = 0 и учитывая, что (0, а) = Д2 Ч1(0, а) — = е~а, получаем приближенную формулу ве­ роятности отсутствия отказов в рассматриваемом интервале пробега

Первый член в выражении (20) W (п, а) пред­ ставляет собой обычное пуассоновское прибли­ жение для искомой вероятности Рп. Второй член можно рассматривать как поправку к пуассо­ новскому приближению. Множитель е учитывает отклонение дисперсии числа отказов данного потока от дисперсии соответствующего пуассо­ новского потока (равной а).

Величина Д21Р (п, а) представляет собой вто­ рую разность функции ¥ (п, а), что аналогично второй производной при построении подобных разложений дифференцируемых функций распре­ деления.

Положим

не менее т отказов в рассматриваемом интервале пробега автомобиля, состоящего из к элементов.

25

Для вероятностей Rm можно получить ана­ логичное разложение Шарлье

В работе [3] таблицы составлены для значе­ ния а < 1 5 . Однако на практике иногда встре­ чается а > 15. В таких случаях функции Н(т, а), Д2 Я (т , а), а также (п, а), и Д2 ЧГ (п, а) стано­ вятся близкими к соответствующим функциям для нормального распределения. Следовательно, при а > 15 расчеты необходимо вести по фор­ мулам

где

26

изводные от функции ср (х). В работе [4] имеются таблицы всех этих функций. Множитель е может быть найден после определения дисперсии чис ла отказов D.

Для этого рассмотрим случай элементарного потока отказов. Интервал пробега АВ (длина которого равна I и начало находится на расстоя­

значим 7) — случайное число отказов интервала пробега; у — случайное

число отказов в г-м элементарном интервале.

Учитывая, что -ц = ^Ру, и

Ч*-[£т,Г = £i? + 2I s ™

из них символ ду, с целью лучшего различия. Так как поток отказов ординарный, то

= IP (у. = 1 } + 0(дХ) = Л х(Х )дХ + 0(дХ). (26)

27

Все члены, содержащие вероятности полу­ чения в интервале ДХ более одного отказа, имею­ щие в силу ординарности потока порядок мало­ сти выше, чем ДХ , обозначены в выражении (26) символом О (ДХ ).

Находим, что

ние (25) и перейдем к пределу, устремляя к нулю элементарные отрезки дХ и ДУ. Тогда дисперсия

D1(I, и) = а х(I, и) — а*(1, и) +

U -\-l U-\~l

Полученное выражение связывает Ог с Аг и а } элементарного потока. Учитывая, что для сум­ марного потока отказов автомобиля D = kDx, А = kAx и а = kat, уравнение (29) примет вид

Анализ выражения (30) показывает, что для определения D на интервале пробега (и, и + /)

28

необходимо знать Л на двух интервалах (и, и+1)

получаем

и должно быть для простейшего потока отказов. Если в автомобиле отказывают элементы, обладающие различными характеристиками, то ех необходимо определять отдельно для каждого элементарного потока отказов и, просуммировав эти величины, найти множитель 8 для суммар­ ного потока. В общем случае г можно опреде­ лить с помощью выражения (31) путем числен­

ного интегрирования.

Нетрудно видеть, что определение множи­ теля е представляет значительную трудность. Поэтому целесообразно рассмотреть также и бо­ лее простые методы, позволяющие с достаточной точностью определить величину s для некоторых типичных случаев.

29