аналитическая геометрия
.pdfООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор
К. Л. САМАРОВ
МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
© К. Л. Самаров, 2009 © ООО «Резольвента», 2009
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
|
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
|
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1 |
Скалярное произведение векторов …………………………………….. 3 |
|
2 |
Смешанное и векторное произведения векторов ……...........………… |
6 |
3 |
Прямая на плоскости ………..………………………………………….. |
9 |
4Кривые второго порядка на плоскости ………………………………... 17
5Плоскость и прямая в пространстве ………...…………………………. 21
6Понятие о поверхностях второго порядка в трехмерном пространстве.
Сфера и эллипсоид ……………..…………………………………… |
….. 27 |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ………………………………………... |
30 |
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ……………………….. |
32 |
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………………………………... 33 |
|
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
2 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
1.СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
·Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, которое определяется по формуле
|
|
|
|
|
(a × b)= |
|
a |
|
× |
|
b |
|
× cosϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ϕ – |
угол между векторами a и |
|
b . |
||||||||||
· |
( |
r |
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
×b |
)= 0 Û a |
^ b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
·Пусть
a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 )
–декартовы координаты векторов. Тогда формула для скалярного произведения векторов в трехмерном случае имеет вид
r |
r |
+ y1 y2 + z1z2 , |
(a |
×b )= x1x2 |
а в двумерном случае
r |
r |
+ y1 y2 . |
(a |
× b )= x1 x2 |
·Длина вектора
r |
= |
r |
× |
r |
a |
(a |
a) , |
причем в трехмерном случае
r |
|
|
|
|
|
|
= x 2 |
+ y |
2 + z 2 |
, |
|||
a |
||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
а в двумерном случае
r
a = x12 + y12 .
· Зная декартовы координаты векторов, можно найти угол между ними по формуле
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
3 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
|
|
|
|
|
|
( |
|
r |
|
|
r |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c o s ϕ = |
|
a |
× b |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 2 + y1 2 + z1 2 × x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ортогональная проекция вектора a на направление, заданное векто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ром b , вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
(a |
× b ) |
= |
|
x |
x |
2 |
|
|
1 |
y |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прbr |
a |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2 + y2 2 + z2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1.1. Даны два вектора a и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, а угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b , причем |
|
|
a |
|
|
|
= |
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
- 2b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ϕ между ними равен 300 . Найти длину вектора p = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
p |
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2 |
- 4 |
|
a |
|
× |
|
b |
|
×cosϕ + 4 |
|
b |
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= (a - |
2b) = |
a2 |
- 4(a |
×b)+b2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
3- 4× |
|
3 ×1×cos300 + 4×1 = |
3- 4 |
|
3 × |
|
|
|
+ 4 = |
7 -6 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 1.2. Даны два вектора a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, а угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
b , причем |
|
|
|
|
a |
|
3 , |
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ между ними равен 300 . Найти угол |
|
|
γ |
|
|
|
|
между векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
+ 4b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= a - 2b |
|
|
|
|
|
q = 3a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
= |
|
|
r |
r 2 |
= |
|
|
3 |
|
|
r |
|
2 + |
|
24 |
|
r |
|
× |
|
|
|
r |
|
cos 300 +16 |
|
r |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
q |
|
|
(3a + 4b ) |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3×3 + 24 |
|
|
|
|
×1× |
3 |
|
+16 ×1 = |
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
9 + 36 +16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а в примере 1.2. установлено, что |
|
|
|
ur |
|
|
=1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r r |
r |
|
|
|
|
|
r |
+ 4b )= |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
× b - 8b × b |
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(p × q )= |
(a - 2b )× |
(3a |
|
3a |
|
× a - |
|
6a × b + |
4a |
|
= 3a 2 - |
|
2a × b - 8b |
2 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
4 |
ООО «Резольвента», |
|
www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
ur |
|
|
×cos300 -8 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
= 3 |
|
- 2 |
× |
|
|
|
= 3×3- 2 3 ×1× |
-8 |
×1 = 9 - 3-8 = -2. |
|||||||||||
a |
|
|
a |
b |
|
|
b |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно
|
|
r |
r |
|
|
-2 |
|
|
2 |
|
|
||||||
cosγ = |
|
(p |
× q) |
= |
|
= - |
|
. |
|||||||||
|
r |
× |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
61 |
61 |
|||||||||||||||
|
|
p |
|
q |
1× |
|
|
|
|||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
γ = arccos |
- |
|
|
|
|
= π - arccos |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|||
Пример 1.3. Пусть A(4; − 2), |
B(10; 6), |
|
C(5; − 4) |
|
– декартовы координа- |
||||||||||||
ты вершин треугольника ABC. Найти длину высоты, опущенной из вершины |
|||||||||||||||||
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем сначала координаты векторов |
|
AB и AC : |
AB = (10 - 4; 6 + 2) = (6; 8) ,
AC = (5 - 4; - 4 + 2) = (1; - 2) .
Рассмотрим произвольный вектор N , перпендикулярный вектору AB , на-
пример, N = (8; −6) .
Тогда
|
|
|
uur |
uuur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h = |
uuur |
= |
( N |
× AC) |
|
= |
8 ×1- 6 ×(-2) |
|
= |
8 +12 |
= |
20 |
= 2 . |
||||||
прuur AC |
|
|
uur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c |
N |
|
|
|
N |
|
|
|
64 + 36 |
|
|
|
100 |
|
|
10 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: длина высоты, опущенной из вершины C, равна 2.
N C
hc
A B
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
5 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
2.СМЕШАННОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
∙Пусть
a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 ), c = (x3 , y3 , z3 )
–декартовы координаты трех векторов. Смешанным произведением этих векторов называется число, которое определяется по формуле
|
|
r |
r r |
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
. |
||
|
|
(a,b,c )= |
|||||
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
∙ |
r |
r r |
|
|
|
|
|
Если (a,b,c )> 0 , то эти векторы образуют правую тройку (ориенти- |
рованы так же, как и базисные векторы трехмерной системы координат).
∙ |
r r r |
|
|
|
|
|
|
Если (a,b,c )< 0 , то три вектора образуют левую тройку. |
|||||||
∙ |
r r r |
|
|
|
|
|
|
Если (a,b,c )= 0 , то три вектора лежат в одной плоскости (компла- |
|||||||
нарны). |
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
Если в треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA = a , SB = b , |
||||||
SC = c , то объем пирамиды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
r r r |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V = |
|
|
|
(a, b, c ) |
|
. |
∙ |
6 |
|
|
||||
|
|
|
c построен параллелепипед, то его |
||||
Если на трех векторах a , b , |
|||||||
объем |
|
|
|
|
|
|
|
= (r r r)
V a,b, c .
∙Пусть
a= (x1, y1, z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 )
–декартовы координаты двух векторов. Векторным произведением этих векторов называется вектор, который определяется по формуле
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
6 |
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
r r |
r |
r |
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
= |
x |
y z |
, |
||||
|
|
|
a,b |
= a |
´b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
где символами i , |
j , k |
обозначены единичные базисные векторы декартовой |
|||||||||
трехмерной системы координат. |
|
|
|
|
|
|
|||||
∙ |
r |
×b перпендикулярен вектору a и вектору b . |
|||||||||
Вектор a |
∙ |
Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только |
|||
тогда, когда эти векторы лежат на одной прямой (коллинеарны). |
|
|
|
|
∙ |
Если векторы a и b неколлинеарны, то векторы a , b и |
r |
×b |
в ука- |
a |
занном порядке образуют правую тройку векторов.
∙Справедливо соотношение
|
|
r |
r |
= |
|
|
r |
× |
|
r |
×sinϕ , |
|
|
|
||
|
|
a |
´b |
|
a |
|
b |
|
|
|
||||||
где через ϕ обозначен угол между векторами a и b . |
|
|
|
|||||||||||||
∙ |
Площадь параллелограмма, |
|
образованного векторами a и b , |
вы- |
||||||||||||
числяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S = |
|
r |
r |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a ×b |
|
|
|
|
|
|||||||
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
и c |
связано с вектор- |
|
Смешанное произведение трех векторов a, b |
||||||||||||||||
ным и скалярным произведениями векторов по формуле: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
r r r |
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|||||
|
|
|
(a,b,c )= a |
,b |
×c . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.1. Пусть P (-4;-2;3), |
|
A(−1; 0; 2), B (3; −3; 4), C (− 4;5; 6) – |
де- |
картовы координаты вершин пирамиды. Найти:
а) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины P; б) объем пирамиды.
Решение. Найдем сначала какой-нибудь вектор, перпендикулярный плоскости ABC. В частности, таким вектором является вектор
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
7 |
ООО «Резольвента», |
www.resolventa.ru , |
resolventa@list.ru, |
(495) 509-28-10 |
||||||
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
r uuur uuur |
|
i |
j |
k |
r |
r |
r |
|
|
= |
|
-3 |
|
= (-22; |
-22; 11) . |
||||
N = AB ´ AC |
4 |
2 |
= -22i |
- 22 j |
+11k |
||||
|
|
-3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку AP = (-3;-2; 1) , то длина высоты пирамиды, опущенной из верши-
ны P, вычисляется по формуле:
|
|
|
uur |
uuur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H = |
uuur |
= |
( N |
× AP) |
|
= |
|
|
-22(-3) - 22(-2) +11×1 |
|
= |
|
66 + 44 +11 |
|
= |
121 |
= |
11 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
прNr AP |
|
|
uur |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
(-22)2 + (-22)2 +112 |
|
|
|
11 4 + 4 +1 |
11×3 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем теперь объем пирамиды:
|
|
|
|
|
4 |
-3 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
uuur uuur uuur |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
VPABC |
= |
|
(AB, AC, AP) |
= |
|
-3 |
5 |
4 |
= |
. |
|||
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
-3 |
-2 |
1 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: H = 11,V = 11 . 3 6
N
P
H
C
A
B
3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
∙ Если точка M 0 = M 0 (x0 ; y0 ) лежит на отрезке M1M 2 (М1= (x1; x2), М2= (x2; y2)), причем
λ= M1M 0 , M 0 M 2
то
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
8 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
x = |
x1 + λx2 |
, y = |
y1 + λy2 |
. |
1 + λ |
|
|||
0 |
0 |
1 + λ |
||
|
|
|
M2 (x2; y2)
M0 (x0, y0)
M1 (x1; x2)
∙Общее уравнение прямой L на плоскости имеет вид
Ax + By +C = 0.
∙Вектор N = ( A; B) перпендикулярен прямой L .
∙Вектор M = (−B; A) параллелен прямой L .
∙Уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (x0 ; y0 )
ипараллельной вектору l = (m; n) , имеет вид
x − x0 = y − y0 .
mn
∙Уравнение прямой, проходящей через две точки М1 = (x1; x2) и
М2 = (x2; y2), имеет вид
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
||||
x |
|
− x |
|
||||
2 |
|
y |
2 |
− y |
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
∙Прямая может быть задана уравнением
y= kx + b ,
вкотором угловой коэффициент k = tgα , где α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ.
∙Уравнение прямой, пересекающей оси координат OX и OY в точках
скоординатами (a;0) и (0;b), имеет вид
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 |
9 |
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10
x + y = 1. a b
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
·Неравенства
Ax + By + C > 0 и Ax + By + C < 0
задают полуплоскости.
·Расстояние от точки M 0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax + By +C = 0 вычисля-
ется по формуле
Ax + By + C
d (M 0 ; L) = 0 2 + 0 2 .
A B
· Две прямых A1x + B1 y +C1 = 0 и A2x + B2 y +C2 = 0 параллельны тогда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N2 = ( A2 ; B2 ) коллинеарны.
∙Две прямых A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 перпендикулярны то-
гда и только тогда, когда векторы N1 = ( A1; B1 ) и N2 = ( A2 ; B2 ) перпендикулярны. В этом случае A1 A2 + B1B2 = 0 .
· Угол ϕ между прямыми A1x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 находится с помощью соотношения
cosϕ = |
|
(N1 |
× N2 ) |
|
|
. |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N1 |
× |
N2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· Если две прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 , то угол между ними находится с помощью соотношения:
tgϕ = k2 − k1 . 1 + k1k2
Пример 3.1. Прямая L задана уравнением 5x + 4 y −1 = 0 . Составить урав-
нения прямой L1 , проходящей через точку M 0 (3; −7) и параллельной прямой
L .
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 10