TVMS-3
.pdf408.В условиях задачи 390 найти вероятность того, что из 1 000 новорож денных доля (относительная частота) доживших до 50 лет: а) будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности не более, чем на 0,04 (по модулю).
409.Мера длины «фут», как видно из названия, имеет прямое отношение к ноге: это длина ступни. Но, как известно, размеры ног бывают разные. Немцы в XVI в. выходили из положения так. В воскресный день ставили рядом 16 первых вышедших из церкви мужчин, сумма длин их левых ступней делилась на 16 — средняя длина и была «правильным и законным футом». Известно, что размер стопы взрослого мужчины того времени описывается случайной величиной с ма тематическим ожиданием 262,5 мм и средним квадратичным отклонением 12 мм. Найти вероятность того, что два «правильных и законных фута», рассчитанных указанным способом в разные дни, отличаются друг от друга более, чем на 5 мм. Сколько нужно было бы взять мужчин для того, чтобы с вероятностью, большей 0,99, средний размер их ступней отличался бы от 262,5 мм менее, чем на 0,5 мм?
21
22
23
24
4.4.2. Т е о р е м ы М у а в р а — Л а п л а с а
Приведем теперь два следствия из центральной предельной теоремы, от носящиеся к н е з а в и с и м ы м и с п ы т а н и я м.
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА. Если вероятность p успеха в каж
дом испытании отлична от нуля и единицы, а число испытаний n доста точно велико, то для расчета вероятности Pn (k) появления ровно k успехов в серии из n испытаний можно пользоваться приближенной формулой
|
|
1 |
|
|
k −np |
|
|
|
|
|
|
|
|
…), |
|
||
Pn |
(k) ≈ |
|
|
ϕ |
|
(k =0,1, 2, |
(4.4.4) |
|
|
−p) |
|
||||||
|
|
np(1 |
|
np(1−p) |
|
|
||
где ϕ(u) — функция плотности нормального закона распределения.
На практике, очевидно, вероятность появления любого конкретного числа успехов близка к нулю. Это имеет простое объяснение — ведь всего есть (n + 1) различных событий (может наступить 0, 1, 2, …, n успехов), и сумма ве роятностей этих (n + 1) событий должна быть равна единице. Поэтому важно уметь вычислять вероятности Pn (k1, k2 ) того, что число успехов в серии из n испытаний будет заключено между числами k1 и k2. Для этого используется
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА. Если вероятность p успеха в
каждом испытании отлична от нуля и единицы, а число испытаний n дос таточно велико, то для расчета вероятности Pn (k1, k2 ) того, что число ус пехов в серии из n испытаний будет заключено в промежутке [k1; k2 ), можно пользоваться приближенной формулой
|
|
k −np |
|
|
k −np |
|
|
|
Pn |
|
2 |
|
|
1 |
|
=0,1, 2,…; |
k2 >k1 ),(4.4.5) |
(k1, k2 ) ≈Φ0 |
|
−Φ0 |
|
|
(k1 |
|||
|
|
np(1−p) |
|
np(1−p) |
|
|
||
где Φ0 (u) — функция Лапласа.
Доказательство. Пусть в серии из n испытаний Бернулли произошло X успехов. То гда, случайную величину X =Bi(n; p) , можно представить в виде суммы n независимых оди наково распределенных случайных величин
|
|
если произошел успех в i м испытании (с вероятностью p), |
||||||||||||||
|
1, |
|||||||||||||||
Xi |
= |
если не произошел успех в i м испытании [с вероятностью (1−p)]: |
||||||||||||||
|
0, |
|||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = ∑Xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом по теореме Леви |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Xi −nMXi |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
X −MX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+Φ0 (x) . |
|
|
|
lim P |
|
<x |
= lim P |
|
|
|
|
|
<x |
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
σ n |
|
|
n→∞ |
|
|
σ n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но MXi =p, σ= p(1−p) , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
X −np |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
lim P |
|
|
|
|
<x = |
|
+Φ0 |
(x) |
|
|
|||
|
|
|
|
p(1−p) |
|
n |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
и
|
|
|
|
1 |
|
|
k −np |
|
1 |
|
|
k −np |
|
|
|
k −np |
|
|
|
k −np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim P |
(k |
;k ) = |
|
+Φ |
|
|
− |
|
|
+Φ |
|
|
|
=Φ |
|
|
−Φ |
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n→∞ |
n |
1 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
np(1−p) |
|
|
|
np(1−p) |
|
|
np(1−p) |
|
|
np(1−p) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. Локальная теорема Муавра — Лапласа (4.4.5) является простым следствием инте
гральной теоремы Муавра — Лапласа (4.4.6), что предлагаем читателю доказать самостоя тельно в задаче 417.
Задачи
410. Строительная фирма для привлечения инвестиций в строительство нового дома собирается воспользоваться банковским кредитом. Вероятность то го, что какой либо банк в ответ на поступление бизнес плана примет положи тельное решение о кредитовании фирмы, равна 0,3. Строительная фирма обра тилась в 100 банков. Найти вероятности того, что решения о предоставлении кредитов этой фирме примут: а) ровно один банк; б) ровно 15 банков; в) ровно 30 банков; г) ровно 50 банков.
Решение. Данную ситуацию можно рассматривать как серию из n =100 испытаний Бернулли, в которых успехом считается принятие банком решения о кредитовании. Вероят ность успеха в единичном испытании равна по условию p =0,3 . Поскольку число испытаний n велико, а произведение np =30 >10 , можно воспользоваться локальной теоремой Муав
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1−100 0,3 |
|
|
|
1 |
|
1−30 |
|
|
|
|
||
ра — Лапласа: P100 (1) ≈ |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
ϕ |
|
|
|
=0,22ϕ(−6,33) = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
100 0,3 (1−0,3) |
|
|
|
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
100 0,3 (1−0,3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
15−30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=0,22ϕ(6,33) ≈0,22 0 = |
0, P |
|
(15) ≈ |
|
ϕ |
|
|
|
|
=0,22ϕ(−3,27) |
= |
0,22ϕ(3,27) |
=0,22 0,0020 =0,00044 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
100 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
30−30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
50−30 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (30) ≈ |
21 |
ϕ |
21 |
|
|
=0,22ϕ(0) = |
0,22 0,3989 =0,088, P |
(50) ≈ |
21 |
ϕ |
|
21 |
|
|
=0,22ϕ(4,36) |
≈ |
|||||||||||
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈0,22 0 =0 .
411.Вероятность появления успеха в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что в серии из 300 испытаний успех наступит ровно 75 раз.
412.Вероятность появления успеха в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что в серии из 300 испытаний успех наступит от 70 до 100 раз.
413.Менеджер ресторана по своему опыту знает, что в среднем около 70% клиентов, заказавших в ресторане столик на вечер, приходят вечером в ресто ран. В ресторане 30 столиков, но сегодня менеджер принял заказы у 35 клиентов. Определить, с какой вероятностью вечером в ресторан придут более чем 30 по сетителей, заказавших столики. Ответ: 0,02.
414.В условиях задачи 410 найти вероятности того, что решения о предос тавлении кредитов этой фирме примут: а) хотя бы один банк; б) более 15 банков; в) более 50 банков.
415.Во время каникул Петя работал в предвыборном штабе кандидата в депутаты, который проводил выборочный опрос избирателей. Примерное рас пределение голосов было известно: по 40% избирателей «за» и «против» канди дата, остальные воздержались. Сколько нужно опросить людей, чтобы с вероят ностью, не меньшей 0,9, гарантировать отклонение процента голосов, отданных
26
за кандидата при выборочном опросе, от истинного мнения избирателей не более, чем на 2% от всего электората?
416.В дачном поселке 2500 жителей, каждый из которых примерно шесть раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок случайным образом и не зависимо от других жителей. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд хо дит раз в сутки).
417.Доказать локальную теорему Муавра — Лапласа (4.4.3) как следствие интегральной теоремы Муавра — Лапласа (4.4.4).
27
28
29
§ 4.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТРАХОВАНИЯ
Эффективным способом уменьшения потерь от неопределенностей явля ется объединение отдельных людей и организаций в с т р а х о в ы е с о о б щ е с т в а, поскольку трудно предсказать время, место и характер событий, способных повлиять на экономическое состояние индивидуумов, вместе с тем, по з а к о н у б о л ь ш и х ч и с е л, средние (или суммарные) потери большой группы индивидуумов предсказать можно. В страховых сообществах каждый индивидуум вносит сумму, намного меньшую его возможного ущерба, и в слу чае наступления ущерба убытки возмещаются из средств, собранных всеми членами сообщества, в случае же, когда для кого то из членов страхового со общества ущерб не наступает, первоначально выплаченная этим индивидуу мом сумма распределяется между теми членами сообщества, которые понесли убытки.
Первая математическая модель страхования была построена Т. Барруа в
1834 г. (она была нами уже рассмотрена в п. 2.7.2.), современные актуарные (т. е. страховые) модели восходят к Ф. Лундбергу, который в 1903 г. заложил ос
новы а к т у а р н о й |
т е о р и и р и с к а. |
По д о г о в о р у |
с т р а х о в а н и я одна сторона (с т р а х о в а т е л ь) |
платит другой стороне (с т р а х о в щ и к у) определенную денежную сумму (с т р а х о в у ю п р е м и ю), и за это страховщик гарантирует в о з м е щ е н и е возможных убытков страхователя (в случае их возникновения). Смысл договора страхования состоит в том, что страхователь подвержен определен ному р и с к у (который заключается в возможном наступлении некоторого страхового случая) и стремится от этого риска защититься, а задачей стра ховщика является предоставление такой защиты. В качестве с т р а х о в о г о с л у ч а я может выступать болезнь, смерть, автомобильная авария, потеря имущества при пожаре, потеря финансовых средств при неблагоприятно складывающейся рыночной ситуации, а также отмеченные выше переломы ног у балерин, пальцев у пианистов, зубов у фотомоделей и т. п. В договоре страхования указываются срок его действия, условия и способ возмещения ущерба. Например, в договоре страхования гражданской ответственности во дителя транспортного средства обычно указывается, что если в момент насту пления страхового случая (при аварии) водитель находился в состоянии алко гольного опьянения, то страховщик ответственности по полису не несет. Если в указанный в договоре страхования срок страховой случай не наступил, страхователь теряет уплаченную премию.
Далее мы более подробно рассмотрим математические модели страхова ния жизни, которое получило наибольшее развитие.
Договор страхования жизни может быть обязательным (в силу действия определенного закона) или добровольным (по взаимному волеизъявлению страховщика и страхователя), краткосрочным (как правило, на один год) или
долгосрочным.
Основным источником случайности в страховании жизни является неоп ределенность момента смерти отдельного человека. Однако в случае, когда од
30