Методичка по Статистике

затруднена. Несмотря на это показатель дисперсии имеет очень важное значение в статистике и в частности в факторном анализе.

Для интерпретации степени вариации значений признака извлекают арифметический квадратный корень из значения дисперсии, тем самым, по-

лучая показатель среднего квадратического отклонения , которое и от-

ражает то, на сколько в среднем индивидуальные значения признака колеблются (отклоняются) от их среднего значения.

Значение среднего квадратического отклонения имеет те же единицы измерения, что и значения признака. По этой причине для сравнения степени вариации значений разных признаков, имеющих разные единицы измерения,

этот показатель применить не получится.

Для решения подобной задачи исчисляют относительный показатель вариации – коэффициент вариации.

Если коэффициент вариации:

-меньше 15%, можно судить о низкой степени вариации значений признака и высокой степени однородности совокупности его значений;

-от 15% до 33%, можно судить об умеренной (средней) степени вариации значений признака и достаточной степени однородности совокупности его значений;

-33% и более, можно судить о высокой степени вариации значений признака и неоднородности совокупности его значений.

Если выполнена аналитическая группировка совокупности единиц по какому-либо факторному признаку Х, то для оценки влияния этого фактора, определяющего колеблемость индивидуальных значений результативного признака Y, можно воспользоваться разложением дисперсии его значений на составляющие: межгрупповую и внутригрупповую дисперсии.

При дисперсионном анализе в первую очередь рассчитывают дисперсию общую, которая характеризует вариацию признака Y под влиянием всех факторов, определяющих его индивидуальные различия у единиц совокупности:

y0 – общая средняя значений признака Y, вычисленная по всей сово-

купности его значений;

n – число значений признака в совокупности; yi – индивидуальные значения признака.

21

Если необходимо в составе общей дисперсии выделить ту ее часть, которая обусловлена влиянием фактора Х, положенного в основание группи-

ровки, то рассчитывают дисперсию межгрупповую (или факторную):

j=1

где x2 – межгрупповая (факторная) дисперсия результативного признака; y j – групповые средние значения Y, вычисленные по группам;

n j – число наблюдений в группах; k – число групп.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия:

n j

yi y j 2

где yi – индивидуальные значения признака.

По совокупности в целом из полученных внутригрупповых дисперсий рассчитывают среднюю внутригрупповую (остаточную) дисперсию:

j=1

По правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме межгрупповой и остаточной дисперсий:

Если сравнение групповых средних показывает определенное различие в их уровне, то необходимо установить, является ли это различие существенным и вызвано ли оно влиянием фактора Х.

1) Формулируется проверяемая (нулевая) гипотеза Н0 о том, что различия между групповыми средними значениями результативного признака не существенны и сформировались под влиянием случайных факторов, а значит влияние факторного признака на формирование значений результативного признака не существенно по сравнению с влиянием этих факторов.

22

Для этого определяют дисперсии межгрупповую и остаточную на одну степень свободы (девиации):

где k - количество групп, полученных в результате группировки.

где n – число значений признака в совокупности.

Полученные девиации сравнивают (большую по значению девиацию де-

лят на меньшую) и получают расчетное значение критерия (Fрасч).

По таблице F-распределения Фишера (Приложение 6) при определенном уровне значимости α (альфа) и числе степеней свободы (k1 (соответствует большей девиации) и k2 (соответствует меньшей девиации)) определяется табличное значение критерия (Fтабл).

Если Fрасч > Fтабл, то следует считать, что существенное влияние признака фактора не опровергается.

По проведенному дисперсионному анализу можно определить степень тесноты связи между признаками. Для этого рассчитываются показатели:

эмпирическое корреляционное отношение (η) и коэффициент детерминации (η2):

2

η = 2x . (3.8)

общ

Характеристика степени тесноты связи по значению величины η может быть дана на основе шкалы Чэддока (табл. 3.2).

Таблица 3.2 – Шкала Чэддока

Эмпирический коэффициент детерминации η2 характеризует долю фак-

торной вариации в изменчивости значений результативного признака.

Если значение выражено в процентах, то оно показывает, на сколько процентов вариация значений результативного признака обусловлена влиянием фактора Х, положенного в основу группировки. Если полученное значение вычесть из 100%, то результат покажет долю совокупного влияния всех прочих факторов на вариацию значений результативного признака Y.

23

Расчетная часть

Задание 1

По исходным данным к предыдущей индивидуальной работе о предприятиях розничной торговли (Приложение 6) рассчитайте показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации) для каждого из трех признаков. Используйте несгруппированные данные, расчеты выполните в программе Excel и оформите таблично.

Задание 2

По результатам аналитических группировок, полученным в индивидуальной работе 2, выполните дисперсионный анализ для каждой группировки

вследующей последовательности:

1)Значение общей дисперсии значений результативного признака (прибыли, Y) возьмите из предыдущего задания.

2)Значение факторной (межгрупповой) дисперсии прибыли вычислите, используя значения групповых средних и общей средней, полученных в итоговой аналитической таблице в индивидуальной работе 2.

3)Для расчета значений внутригрупповых дисперсий прибыли постройте расчетную таблицу.

4)Выполните проверку правильности расчета дисперсий, используя «правило сложения дисперсий».

5)Сформулируйте проверяемую гипотезу Н0 и конкурирующую гипотезу Н1.

6)Вычислите факторную и остаточную девиации, расчетное значение F- критерия (критерия Фишера), определите табличное значение критерия Фишера по таблице (Приложение 7).

7)Сравните расчетное и табличное значения F-статистики и сделайте вывод о справедливости одной из гипотез.

8)Вычислите значения эмпирического коэффициента детерминации η2 и корреляционного отношения η. Сделайте выводы по их значениям.

Методические рекомендации

При выполнении задания 1 следует придерживаться следующей последовательности действий:

1)по каждому из трех признаков постройте расчетные таблицы (табл. 3.3-3.5) и выполните расчет показателей вариации;

2)рекомендации по оформлению расчетов: укажите применяемую фор-

мулу, поставьте знак равенства, выполните подстановку промежуточных результатов расчетов из соответствующей расчетной таблицы в эту формулу (обычно значения сумм из итоговой строки расчетной таблицы), поставьте знак равенства и запишите получаемое в результате значение показателя с указанием его единиц измерения;

Например,

24

факторного признака)

(Название факторного признака, Номер пред- единицы измерения)

приятия

1

2

…

30

Итого

4)результаты расчета показателей по всем трем признакам сведите в одну таблицу (табл. 3.6);

5)сделайте выводы о характере и силе вариации значений каждого признака, о степени однородности совокупности предприятий в отношении каждого признака, выполните сравнительную оценку вариации признаков.

Таблица 3.6 – Показатели вариации значений признаков по совокупности предприятий розничной торговли

2)выпишите из итоговой аналитической таблицы (табл. 2.3), полученной

впредыдущей индивидуальной работе, средние значения результативного

признака Y по группам ( y j ) и совокупности в целом ( y0 ), а так же значения числа наблюдений (единиц) в группах ( n j );

3) по формуле (3.2) вычислите значение межгрупповой (факторной) дис-

персии признака Y, придерживаясь рекомендаций по оформлению и округлению расчетов;

26

4) по формуле (3.3) вычислите значения внутригрупповых дисперсий для каждой группы, оформив промежуточные расчеты таблично (табл. 3.7, число интервалов может быть другим, в зависимости от того, как была выполнена группировка в предыдущей индивидуальной работе), придерживаясь реко-

мендаций по оформлению и округлению расчетов;

Таблица 3.7 – Расчет внутригрупповых дисперсий значений прибыли

Группы предприятий по (название факторного признака, единицы измерения)

5)вычислите по формуле (3.4) среднюю из внутригрупповых дисперсий, получив значение остаточной дисперсии признака Y, придерживаясь реко-

мендаций по оформлению и округлению расчетов;

6)проверьте правильность рассчитанных значений дисперсий, опираясь на правило сложения дисперсий (3.5): сумма факторной и остаточной дисперсий должна получиться равной значению общей дисперсии признака Y, полученному в задании 1;

7)сформулируйте проверяемую (нулевую) гипотезу Н0: различия между групповыми средними значениями (название результативного признака Y) не существенны и сформировались под влиянием случайных факторов, а значит влияние (название факторного признака Х) на формирование значений (название результативного признака Y) не существенно по сравнению с влиянием этих факторов.

8)рассчитайте девиации, пользуясь формулами (3.6) и (3.7);

9)определите расчетное значение критерия Фишера и сравните его с

табличным значением F табл= F ; k1 ; k2 (табличные значения критерия приве-

дены в Приложении 7); 10) примите решение относительно справедливости гипотезы Н0:

- если Fрасч > Fтабл, то Н0 отвергается, а значит на 5%-ном уровне значимости можно утверждать, что влияние (название факторного признака Х) на

формирование значений (название результативного признака Y) существенно по сравнению с совокупным влиянием всех прочих факторов;

- если Fрасч < Fтабл, то Н0 не отвергается, а значит на 5%-ном уровне значимости можно утверждать, что влияние (название факторного признака Х)

на формирование значений (название результативного признака Y) не существенно по сравнению с совокупным влиянием всех прочих факторов;

11) рассчитайте показатели: эмпирическое корреляционное отношение (η) и коэффициент детерминации (η2), сделайте по ним выводы.

27

Например,

Связь между стажем работы и часовой выработкой рабочего заметная.

Эмпирический коэффициент детерминации η2 = 0,445, или 44,5%.

Это означает, что 44,5% вариации часовой выработки рабочих объясняется влиянием стажа работы, и 55,5% этой вариации объясняется совокупным влияние всех других факторов.

Индивидуальная работа 4 Статистическое изучение динамики социально-

экономических процессов

Теоретическая часть

Динамический ряд представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений и процессов во времени.

Всякий временной ряд включает два обязательных элемента: время (t) и конкретное значение показателя (y), или уровень ряда.

По форме представления уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.

По времени, отраженному в динамических рядах, ряды разделяются на моментные и интервальные.

Моментным рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют состояние явления на определенные даты (моменты времени).

Интервальным рядом динамики называется такой ряд, уровни которого характеризуют размер явления за весь конкретный период времени (год, квартал, месяц).

Основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является сопоставимость уровней динамического ряда между собой по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, моменту регистрации, методике расчета, ценам, достоверности.

Анализ интенсивности изменения уровней во времени осуществляет-

ся с помощью системы показателей, получаемых в результате сравнения уровней. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп ро-

ста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста. По-

казатели анализа динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения. Сравниваемый уровень называется отчетным, а уровень, с которым производится сравнение – базисным.

28

По интервальному динамическому ряду из абсолютных величин с рав-

ными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

где y уровни ряда;

n – число уровней ряда.

Средний уровень моментного ряда с равностоящими датами определя-

ется по формуле средней хронологической:

где y1 , ..., yn уровни периода; n – число уровней.

По моментному динамическому ряду с не равноотстоящими датами

времени, средний уровень определяется по формуле средней арифметиче-

ской взвешенной:

где y1 , ..., yn уровни ряда динамики, сохраняющиеся без изменения в течении промежутка времени t;

t1 ,..., tn – веса, длительность интервалов времени в течении которых уровень не изменялся.

Обобщающим показателем скорости изменения уровней во времени является средний абсолютный прирост. Он может быть рассчитан как простая средняя арифметическая по цепным абсолютным приростам:

Средний абсолютный прирост можно рассчитать и через накопленный (базисный) абсолютный прирост по следующей формуле:

30