Курс лекций по дисциплине Взаимозаменяемость
.pdfтехнологические и измерительные (метрологические).
Конструкторская РЦ определяет расстояния или относительный поворот между поверхностями или осями поверхностей деталей в изделии.
Вконструкторской задаче (конструкторской РЦ) исходным является замыкающее звено. Конструктор задаѐт требования к точности замыкающего звена, а по точности замыкающего звена, решением задачи РЦ определяет точность составляющих звеньев. Конструкторская задача называется – прямой задачей расчѐта РЦ.
Технологическая РЦ – определяет расстояния между поверхностями изделия при выполнении операций обработки или сборки, при настройке станков, при расчѐтах межоперационных припусков и размеров.
Втехнологической РЦ замыкающим звеном является результирующий размер, получаемый последним в результате решения поставленной задачи. Точность замыкающего звена в этой задаче определяется исход из точности составляющих звеньев. Технологическая задача называется обратной задачей расчета РЦ.
Измерительная РЦ – строится при определении (измерении) расстояния или относительного поворота между поверхностями, их осями или образующими поверхностями в процессе изготовления изделия и(или) в процессе контроля, испытания изготовленного изделия.
2. Исходные данные для решения задач размерных цепей (РЦ).
Для конструкторских (прямых) задач РЦ исходными являются:
-номинальные размеры всех звеньев РЦ;
-предельные отклонения (допуск) замыкающего звена.
Впрямой задаче требуется определить: по точности замыкающего звена точность всех составляющих звеньев РЦ.
Для технологических (обратных) задач РЦ исходными являются - номинальные размеры всех звеньев РЦ; - предельные отклонения (допуски) всех составляющих звеньев.
Вобратной задаче требуется определить: по точности составляющих звеньев РЦ точность замыкающего звена.
Примечание: В обеих задачах к исходным относятся чертежи изделия, детали (конструкторские, технологические, др.) с указанными на них размерами, точностью размеров, базовыми поверхностями и др. информацией.
3. Методы решения задач размерных цепей.
Прямая и обратная задачи размерных цепей могут решаться следующими методами:
а) методом полной взаимозаменяемости (метод «максимум-
минимум» («max-min»));
б) методом неполной взаимозаменяемости (вероятный метод);
в) методом групповой взаимозаменяемости и другими методами
[4,7,9, 10 и др.].
По методу полной взаимозаменяемости требуемая точность замыкания звена размерной цепи достигается у всех объектов путѐм включения в неѐ составляющих звеньев без выбора, подбора или изменения их звеньев. При этом методе допуск замыкающего звена определяется арифметическим сложением допусков составляющих звеньев. Метод учитывает только предельные отклонения (max-min) звеньев размерной цепи и самые неблагоприятные их сочетания. Это позволяет проводить сборку изделий без каких-либо пригоночных работ, обеспечивая требуемую точность (допуск) замыкающего звена.
Однако точность составляющих звеньев при этом методе обеспечивать сравнительно высокая (на 2-3 квалитета выше, чем при других методах). Если число составляющих звеньев размерной цепи сравнительно большое, то при методе «max-min» допуски составляющих звеньев должны быть настолько малы, что их обеспечения становится экономически невыгодно и во многих случаях экономически неприемлемо. Метод «max-min» используется в основном, в единичном и мелкосерийном производстве при надлежащем технико-экономическом обосновании.
Метод неполной взаимозаменяемости. (Вероятностный метод). Требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается у заранее обусловленной части объектов путѐм включения в эту цепь составляющих звеньев без выбора, подбора, пригонки или изменения их значений (практически, как и при методе «max-min»). Отличие в том, что в методе «max-min» точность замыкающего звена гарантирована для всех объектов, а в методе неполной взаимозаменяемости – не у всех объектов, а только у заранее обусловленной части. Метод неполной взаимозаменяемости использует расчѐты размерных цепей на основе теории вероятностей (этим объясняется второе название этого метода – вероятностный).
Вероятностный метод рекомендуется применять для расчѐтов размерных цепей с числом составляющих звеньев более четырѐх:
(m-1) ≥ 4,
где m - общее число звеньев размерной цепи (составляющие плюс замыкающее).
В этом случае распределение размеров замыкающего звена подчиняется закону нормального распределения, не зависимо от законов распределения размеров составляющих звеньев.
Распространяя полную взаимозаменяемость на все объекты, а, гарантируя точность замыкающего звена только у заранее обусловленной
части объектов, вероятностный метод допускает выход допуска замыкающего звена у отдельных объектов за установленные значения (т.е. возможность пропуска деталей с размерами, не соответствующим требованиям чертежа, (фактически брак) в эксплуатацию). Возникновение указанной ситуации носит случайный (вероятностный) характер. Допуская возможность пропуска в эксплуатацию деталей с размерами, не соответствующими требованиям чертежа, вероятностный метод, как и метод «max-min» обеспечивает полную взаимозаменяемость, но при этом допуски составляющих звеньев размерной цепи могут быть увеличены в 1,5ч2,0 раза и более по сравнению с допусками на составляющие звенья РЦ по методу «max-min». Изготовлением деталей с большими допусками на их размеры требует меньше затрат. Вероятностный метод широко используется в крупносерийном и массовом производстве.
Лекция №13
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Р.Ц.
(теоретические основы)
В соответствии с положениями теории вероятностей суммирование случайных величин (размеры деталей, получаемые в процессе обработки (изготовления) этих деталей, рассматриваются как случайные величины) производится квадратически, причѐм сумме этих величин, в свою очередь, так же случайная величина, изменяющаяся по определѐнному закону распределения случайных величин.
Закон распределения размеров замыкающего звена тем ближе к закону нормального распределения, чем больше составляющих звеньев имеет размерная цепь. На практике применение вероятностного метода расчѐта оправданно, если число составляющих звеньев (А) размерной цепи не менее четырех.
(m-1) ≥ 4.
Поле допуска замыкающего звена А∆ (рисунок 3.8) определяется по формуле:
T A TA t |
m 1 |
λ |
2 |
(TA |
) |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
i |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(13-01). |
где t – коэффициент риска, выбирается из таблицы 3.2;
λ2 – относительное среднее квадратическое отклонение - коэффициент, характеризующий закон рассеяния размеров или их отклонений.
Таблица 13.1.
Риск Р (%) |
32,00 |
10,00 |
4,50 |
1,00 |
0,27 |
0,10 |
0,01 |
Коэф.t (±σ) |
1,00 |
1,65 |
2,00 |
2,57 |
3,00 |
3,29 |
3,89 |
Для закона нормального распределения λ2 равно 1/9.
При механической обработке заготовок на настроенных станках распределение полученных размеров подчиняется закону нормального распределения (λ2 = 1/9), при сравнительно легком обеспечении размеров, с допусками по (9-10) квалитетам и грубее. При точности обработки по (7-8) квалитетам распределение соответствует закону Симпсона (λ2 = 1/6), а при точности по (5-6) квалитетам – закону равной вероятности (λ2 = 1/3).
Если принять:
-риск Р = 0,27% (3 детали из 1000 могут иметь размеры, выходящие за пределы их поля допуска);
-коэффициент риска t = 3;
-число составляющих звеньев (m-1) = 4;
-закон нормального распределения λ2 = 1/9,
|
m -1 |
|
)2 |
|
TA |
(TA |
i |
|
|
то формула (13-01) будет иметь вид |
1 |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
(13-02).
Условно приняв TAi = TA1 =
TA2 = TA3 = TA4 = TAcp , можно записать
TA 4(TAср)2 2TAср.
(13-03).
Для сравнения, при методе
расчѐтов «max-min»
TA 4TAср.
(13-04).
Сравнение (13-03) и (13-04) показывает, что допуск составляющего звена при
TA
TAср |
|
|
|
|
|
2 |
) может быть больше, чем |
||||
вероятностном методе в два раза ( |
|||||
TAср |
|
TA |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
). |
||||
при расчѐтах методом «max-min» ( |
Как следует из теории вероятностей, кривая нормального распределения
|
|
|
|
|
(A |
A |
ср |
)2 |
|
|
|
|
- |
i |
|
|
|
||
|
1 |
|
2σ2 |
|
|
||||
y |
|
e |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ 2π |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(13-05). |
Где Ai |
– конкретный действительный размер; |
|
||||
Аср – среднее арифметическое размеров деталей данной партии; |
||||||
σ – среднее квадратическое отклонение. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
1 |
(A |
Aср)2 m |
|
||
|
n |
|
||||
|
|
i |
i |
(13-06). |
||
|
|
|
|
, |
где n – количество деталей в партии (n > 1);
mi – частота (количество деталей данного интервала размеров).
Кривая нормального распределения имеет вид (рисунок 13.1).
Рисунок 13.1 - Кривая нормального распределения
I – рассеяние размеров деталей в процессе их обработки (Ai)действит.;
II, III, IV – рассеяние результатов измерений Xi размеров деталей
(Ai)действит. (II - (Ai)д = Aimin; III - (Ai)д = Aiср.; IV - (Ai)д = Ai max);
a, b – точки перегиба кривых распределений
|
1 |
TAi |
си |
3 |
|
|
|
практический ориентир при выборе СИ для конкретных измерений.
На практике поле рассеяния размеров деталей (допуск на размер), принимается равным 6σ, т.е. TAi = 6σ.
|
1 |
TA i , то |
|
|
си |
|
|
Если суммарная погрешность средства измерения |
3 |
выход размеров Ai за пределы ±3σ не превышает 0,27%. В пределах ±3σ, годных Ai – 99,73%. Выход размеров деталей (Ai) за границы поля допуска T(Ai) возможен только в случаях II, когда на измерения поступают детали с действительными размерами (Ai)Д < (Ai)MIN, либо в случае IV, когда на измерения поступают детали с действительными размерами (Ai)Д > (Ai)MAX.
В остальных случаях (например, случай III) суммарная погрешность
измерения си обеспечивает измерения Xi размеров детали Ai, невыходящими за пределы поля допуска T(Ai).
Верхнее ES(A ) и нижнее EI(A ) отклонения замыкающего звена при
расчѐтах вероятностным методом определяют по формулам: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ES(A |
) |
Ecp(A |
) |
t |
|
m 1λ2( |
TAi |
)2 |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
(13- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
07). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
EI(A |
) |
Ecp(A |
) |
t |
m 1λ2( |
TAi |
)2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
. |
|
(13-08). |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формулах (13-07) и (13-08) Eср(A ) – координата середины поля допуска замыкающего звена, которую можно определить по формулам:
Eср(A |
) |
ES(A |
) |
|
EI(A |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
. |
(13-09). |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Учитывая, что T(A |
) ES(A ) - EI(A |
) , можно записать |
|||||||||
Eср(A |
) ES(A |
) - |
T(A |
) |
|
Eср(A |
) EI(A ) |
T(A ) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
или |
2 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13-10). |
Здесь Т(А ) – допуск замыкающего звена, определяемый по формуле
(13-01).
Лекция №15
РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ Р.Ц.
Метод полной взаимозаменяемости (метод "МАХ МИН"))
При решении прямых задач замыкающее звено размерной цепи принимается исходным (задаются номинальный размер и предельные отклонения (допуск, поле допуска) замыкающего звена).
Прямую задачу можно решать несколькими способами, из которых чаще применяются:
а) способ равных допусков; б) способ допусков одного квалитета.
Способ равных допусков применяют с целью предварительной оценки допусков составляющих звеньев. Достоинство этого способа крайняя простота (проще трудно найти). Однако точность расчѐтов недостаточна, напрямую зависит от количества составляющих размеров и значений их номинальных размеров. Способ позволяет назначить допуски составляющих звеньев для размерных цепей, состоящих из минимального числа этих звеньев (3ч4). При условии, что их размеры находятся в одном интервале номинальных размеров, по ЕСДП одного порядка. В этом случае погрешности расчѐтов могут быть допустимыми.
При расчѐтах способом равных допусков условно принимают:
TА1 = ТА2 = …= TA (m-1) = Tср Ai; |
(3.10) |
||
где Tср Аi – средний допуск звена Аi. |
|
||
Так как допуск замыкающего звена (ТА∆) равен сумме допусков |
|||
составляющих звеньев, то его можно выразить формулой: |
|
||
TA∆= (m-1)∙Tср Ai; |
(3.11) |
||
|
TA |
|
|
|
|
|
|
Откуда Tср Ai = m -1 . |
(3.12) |
Полученный средний допуск для каждого составляющего размера, в зависимости от номинального его значения, корректируется до стандартного его значения, приведенного в стандартах ЕСДП (2.3.3) или справочной литературы (1,4 и др.). Корректировку целесообразно проводить с учѐтом конструктивных требований и технологических возможностей изготовления, при этом необходимо, чтобы не нарушалось условие
TA
(3.13)
Поля допусков составляющих размеров назначаются исходно из технологических соображений по принципу «допуск в металл», т.е. на охватывающие размеры (отверстия) устанавливают поле допуска «H», не охватываемые (валы) – поле «h», на отдельные линейные размеры – поля «js» или «JS». Принцип «Допуск в металл» облегчает рабочему выполнение размеров по чертежу [3].
Предельные отклонения для увеличивающих звеньев назначают, как для основных отверстий, а для уменьшающих звеньев - как для основных валов.
Способ одного квалитета позволяет решить прямую задачу расчета размерной цепи с большей точностью для большого числа составляющих звеньев, чем при методе равных допусков. Этот метод рекомендуется использовать, если заранее известно, что точность звеньев цепи будет не выше 5-го квалитета (5,6…17,18). Требуемый квалитет для составляющего звена размерной цепи определяют решением следующих уравнений [приложение 1].
Допуск в квалитетах 5-18 определяется по общей формуле
ITq= a∙i,
(3.14)
где ITдопуск;
q – номер квалитета;
a – безразмерный коэффициент, установленный для каждого квалитета (таблица 3.1), и не зависящий от номинального размера (называется «a» - число единиц допуска);
i – единица допуска (мкм) –множитель, зависящий от ном. размера.
Таблица 3.1
номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квалитета |
|
5 |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
единиц |
|
7 |
|
10 |
16 |
|
25 |
|
40 |
64 |
|
100 |
160 |
250 |
400 |
640 |
1000 |
2500 |
|||
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||
допуска а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Допуск i-го звена может быть записан: |
TАi=a∙i. |
|
|
(3.15) |
|||||||||||||||||
Соответственно допуск замыкающего звена А∆ будет равен |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
m-1 |
m-1 |
|
m-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
TA |
|
|
|
|
TAi |
|
|
a i |
a |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 . |
|
|
|
|
(3.16) |
|
||||||
Из последнего уравнения (3.15) определяется «a» - число единиц |
|||||||||||||||||||||
допуска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
TA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
|
Единица допуска i определяется по формулам: - для номинальных размеров (св. 1 до 500) мм
|
|
|
|
|
|
|
i |
0,45 3 DC |
0,001 DC , |
(3.18) |
|||
а для размеров (св. 500 – до 10000) мм |
|
|||||
i |
0,004 DC |
2,1, |
|
(3.19) |
||
|
|
|
|
|||
где DC |
|
Dmin Dmax – среднее геометрическое граничных |
значений конкретного интервала номинальных размеров [2,4].
Примечание: В формуле 3.18 в отдельных источниках указан множитель 0,5 вместо 0,45.
По найденному значению «a» подбирается квалитет составляющих звеньев Аi (таблица 3.1), и по таблицам стандартов или справочной литературы определяются допуски на все составляющие размера цепи. Решение прямой задачи можно считать удовлетворительным, если
TA m-1TAi
выполняется условие (3.13) i 1 .
Поля допусков составляющих размеров назначается аналогично рассмотренному назначению полей по способу равных допусков.
Лекция №16
РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ Р.Ц.
(Вероятностный метод (метод неполнойвзаимозаменяемости)).
Эта задача решается аналогично решениям прямых задач по методу полной взаимозаменяемости («max-min»).
При способе равных допусков, по аналогии с 13 и используя формулу 21, можно записать
T(A |
) t |
(m-1)(T A )2 |
λ2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
ср |
i |
. |
(3.30) |
|||
Откуда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Tср |
(Ai ) |
|
T(A ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
λ (m -1) . |
|
|
|
(3.31) |
|||||
|
|
|
|
|
Для закона нормального распределения и (TA ) = 6σ (как отмечено выше) t = 3 и λ = 1/3. Формула (31) упрощается.