Глава 12. Операторный метод расчета переходных процессов

12.1. Введение к операторному методу

При изучении переходных процессов мы пользовались в главе 11 классическим методом интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Достоинством классического метода является его наглядность, потому что при преобразованиях уравнений видна соответствующая физическая картина.

К недостаткам классического метода следует отнести необходимость определения постоянных интегрирования, что особенно затруднительно для дифференциальных уравнений высоких порядков. Кроме того, при расчете переходных процессов в разветвленных цепях, при переходе от цепей, описываемых уравнениями первого порядка, к системам второго порядка увеличиваются затруднения связанные с преобразованиями системы уравнений в уравнение с одним неизвестным.

Так как решение дифференциального уравнения приводится к решению алгебраического характеристического уравнения, естественно стремление сразу представить систему исходных уравнений электрической цепи в алгебраической форме, что и осуществляется в операторном методе.

Впервые в 1862 г. М. Ващенко-Захарченко показал, что дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами может быть проинтегрировано символическим или операторным методом. В конце 19 века Хевисайд впервые успешно применил операторный метод к расчету электромагнитных переходных процессов, но не дал его обоснования. Дальнейшему развитию и обоснованию операторного метода были посвящены многочисленные работы зарубежных ученых – Карсона, Вагнера и советских – А.М. Эфроса, А.М. Данилевского, М.И. Канторовича и др.

Сущность операторного метода состоит в сведении дифференцирования и интегрирования данной функции – оригинала – к простым алгебраическим операциям над изображением этой функции.

В этом отношении операторный метод сходен с комплексным методом. Согласно комплексного метода комплексная амплитуда, например, тока есть изображение синусоидального тока Примером изображения числа можно рассматривать логарифм, так как каждому числу соответствует свой логарифм. Причем, операция умножения чисел сводится к сложению логарифмов этих чисел, деление – к вычитанию логарифмов, т.е. сложная операция сводится к более простой.

В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемая буквой р, и, обратно, функции переменной р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции р совершается при помощи преобразования Карсона-Хевисайда или Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод, основанный на преобразовании Карсона-Хевисайда или Лапласа.

Забегая вперед, отметим, что операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к операции умножения, а операцию интегрирования – к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

12.2. Преобразование Карсона-Хевисайда

Условимся под р понимать комплексное число: Функцию времени будем обозначать и называть оригиналом. Ей соответствует функция называется изображением, определяемая следующим образом:

(12.1)

Соответствие между функцией и функцией записывают так: где = знак соответствия. Преобразование (12.1) называется преобразованием Карсона-Хевисайда. Верхний предел интеграла (12.1) равен бесконечности. Такой интеграл называется несобственным. Если в результате интегрирования и подстановки пределов будет получено конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. Если будет получена бесконечность, то говорят, что интеграл расходится. Преобразование (12.1) имеет смысл только в том случае, если интеграл сходится. В курсе математики доказано, что интеграл (12.1), в состав которого входит функция сходится только в том случае, когда модуль функции если и увеличивается с ростом то все же медленнее, чем модуль функции , равный

Практически все функции , с которыми имеют дело электротехники, этому условно удовлетворяют.

Найдем изображение функции где А – постоянная величина.

Следовательно, изображением постоянной величины по Карсону-Хевисайду является сама постоянная: