Глава 8. Несинусоидальные токи в линейных цепях

8.1. Разложение несинусоидальных токов в ряд Фурье

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую тока разложить в тригонометрический ряд Фурье.

Из курса математики известно, что любая функция удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая за полный период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть представлена в виде ряда Фурье . Следует иметь в виду, что все периодические функции, с которыми приходиться иметь дело электрикам, удовлетворяют условиям Дирихле.

Ряд Фурье имеет следующий вид:

(8.1)

где постоянная составляющая,

основная волна или первая гармоника, остальные члены ряда – высшие гармоники.

Основная частота где Т – период несинусоидальной периодической функции.

Применительно к периодическим несинусоидальным токам и напряжениям в выражении ряда Фурье (8.1) постоянные коэффициенты , , и т.д. будут означать постоянную составляющую тока и амплитуды токов первой гармоники второй гармоники и т.д. (аналогично для напряжения).

Ряд Фурье можно представить в ином виде, если развернуть синусы сумм. Для общего члена ряда имеем:

обозначив получим:

(8.2)

С учетом (8.2) первая форма ряда Фурье (8.1) запишется в следующем виде:

. (8.3)

Так как коэффициенты В и С зависят от начальных фаз, то они изменяются при изменении начала отсчета времени. Переход от второй формы ряда Фурье (8.3) к первой форме (8.1) совершается при помощи соотношений:

(8.4)

Коэффициенты могут быть вычислены при помощи следующих интегралов (известных из курса математики):

(8.5)

Часто периодическая функция, подлежащая разложению в ряд Фурье, задается не аналитическим выражением, а в виде графика. В этих случаях применяют приближенные методы вычисления коэффициентов ряда. Один из простейших методов этого рода состоит в замене интегралов, определяющих коэффициенты соответствующими суммами.

Существуют специальные измерительные приборы, с помощью которых измеряют амплитуды напряжений ряда Фурье (8.1), называемые гармоническими анализаторами.

8.2. Некоторые свойства периодических кривых токов и напряжений, обладающих симметрией

Рассмотрим три вида кривых токов, обладающих симметрией.

1. Кривые токов, симметричные относительно оси абсцисс. Для этих кривых справедливо следующее равенство:

где

Д ля кривых, симметричных относительно оси абсцисс (рис.8.1) ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и всех

четных гармоник. При этом вторая форма ряда Фурье запишется следующим образом:

(8.6)

2) Кривые токов, симмет-

Рис. 8.1 ричные относительно оси

ординат. Для них справед-

ливо следующее равенство:

Ряд Фурье для кривых, симметри-чных относительно оси ординат (рис.8.2) не содержит синус-ных составляющих и имеет только посто-янную и косинусные

Рис.8.2 составляющие:

. (8.7)

3) Кривые токов, симметричные относительно начала координат (рис.8.3). К ним относят кривые, удовлетворяющие следую- щему равенству:

Ряд Фурье для этих кривых

Рис. 8.3 содержит только синусные

составляющие:

. (8.8)