2 семестр / Сборник задач. Электричество и магнетизм

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

______________________

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МЭИ»

________________________________________________________________

__

И.В. Авилова, О.В. Бирюкова, Б.В. Ермаков, И.В. Корецкая

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

И

МАГНЕТИЗМ

Сборник задач

Учебное пособие

по курсу «Физика» для студентов, обучающихся по направлениям:

«Прикладная математика и информатика»(010400), «Электроэнергетика и электротехника» (140400), «Приборостроение» (200100),

«Биотехнические системы и технологии»(201000), «Электроника и наноэлектроника» (210100), «Радиотехника» (210400),

«Управление в технических системах» (220400) «Информатика и вычислительная техника»(230100), по профилю «Радиоэлектронные системы»

1

УДК

Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия для студентов

Подготовлено на кафедре физики им. В.А. Фабриканта МЭИ (ТУ)

Рецензенты:

канд. техн. наук Ю.И. Малахов докт. физ.-мат наук В.И. Смирнов

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ Сборник задач: Учеб. пособие по курсу «Физика» / И.В. Авилова, О.В. Бирюкова,

Б.В. Ермаков, И.В. Корецкая; Под ред. Б.В. Ермакова. — М.: Издательство МЭИ, 2013.

— 93 с.

Для студентов первого курса институтов ИРЭ, АВТИ, ИЭТ, ИЭЭ, «МЭИФЕСТО», обучающихся по направлениям «Прикладная математика и информатика»(010400), «Электроэнергетика и электротехника» (140400), «Приборостроение» (200100), «Биотехнические системы и технологии»(201000), «Электроника и наноэлектроника» (210100), «Радиотехника» (210400), «Управление в технических системах» (220400), «Информатика и вычислительная техника»(230100), по профилю «Радиоэлектронные системы»

Настоящее пособие содержит набор задач по разделам электростатика, постоянный ток, магнетизм, колебания и волны соответствующие учебному плану по дисциплине «Физика» в МЭИ. В каждом разделе подобраны задачи различной степени трудности с ответами.

© Московский энергетический институт, 2013

2

Предисловие

Сборник задач представляет собой очередное переработанное издание кафедральных задачников по физике (ч. 2) под редакцией Е.М. Новодворской и задачника под редакцией И.В. Авиловой. В новом издании каждый раздел снабжен краткими методическими указаниями, ко всем задачам приведены ответы в общем виде с необходимым графическим дополнением, что должно способствовать более глубокой самостоятельной работе студентов над курсом.

Общие указания

Во всех условиях подразумевается, что рассматривается идеализированный объект: длинная нить, стержень, цилиндр, соленоид – имеют длину, значительно превосходящую расстояние до точек, где рассматривается поле (электрическое или магнитное) этих объектов; можно считать, что их поле обладает осевой симметрией, краевые эффекты можно не учитывать. Характеристики поля, обладающего осевой симметрией, не зависят от координаты вдоль оси и от угла поворота вокруг оси, могут зависеть от расстояния от оси;

тонкий стержень, нить, соленоид – имеют поперечные сечения таких линейных размеров, что они значительно меньше расстояний до тех точек, где рассматривается поле; характеристики поля не зависят от размеров поперечных сечений;

большая плоскость, большая пластина имеют линейные размеры, значительно превосходящие расстояние до тех точек, где рассматривается поле зарядов, на них распределенных; можно считать, что поле обладает плоской симметрией. Характеристики такого поля могут зависеть только от расстояния от плоскости симметрии;

маленькая рамка, маленький стержень имеют такие размеры, что в их пределах внешнее поле можно считать однородным.

3

ЭЛ Е К Т Р О С Т А Т И К А

1.Принцип суперпозиции

Сила взаимодействия двух точечных зарядов или заряженных тел сферической формы при симметричном распределении зарядов в вакууме подчиняется закону Кулона:

Напряженность поля, созданного в некоторой точке произвольным распределенным зарядом Q, может быть рассчитана с помощью принципа суперпозиции

Результирующая напряженность поля, созданного в данной точке точечными зарядами или заряженными телами, также подчиняется принципу суперпозиции

N

E Ei .

i 1

Потенциал электростатического поля в точке определяется как отношение потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда

Wпотенц ,

q

либо, как отношение работы сил поля по перемещению пробного заряда из данной точки в точку нулевого значения потенциала к величине этого заряда. Разность потенциалов при этом определяется выражением:

1 2 Aq12 .

Потенциал поля, созданного точечным зарядом, может быть определен из соотношения

1 Q . 4 0 r

4

Потенциал поля, созданного в некоторой точке произвольным распределенным зарядом Q, может быть рассчитан с помощью принципа суперпозиции

d ,

Q

Потенциал поля, созданного некоторой системой точечных зарядов или заряженных тел, также находится с помощью принципа суперпозиции

N

i .

i 1

Напряженность и потенциал электростатического поля взаимосвязаны. Интегральная форма связи имеет вид:

2 2

1 2 E, d E d .

11

Дифференциальная форма связи позволяет найти проекцию напряженности на любую ось:

E .

1.1.В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается

вокруг ядра по круговой орбите, радиус которой r0 = 5,3 10– 11м. 1. Рассчитайте силу взаимодействия электрона и ядра.

2. Найдите напряженность электрического поля в точках, лежащих на орбите электрона.

1.2.Два точечных заряда Q1 и Q2 находятся на расстоянии ℓ друг от друга (см. рис.).

постройте график Ех(х).

2.Найдите напряженность поля в произвольной точке, лежащей на оси Y.

3.Найдите потенциал поля в точке с координатами (x, y). Постройте график (х,0).

5

1.3. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен положительный заряд Q = 1,0 10– 6 Кл (см. рис.).

1.Определите величину и направление напряженности поля в произвольной точке, лежащей на оси кольца, перпендикулярной его плоскости.

2.Постройте график зависимости проекции вектора напряженности от координаты.

3.Определите координаты точек, в которых напряженность поля достигает максимального значения.

4.Получите выражение для расчета напряженности поля при z >> R.

5.Рассчитайте потенциал поля в произвольной точке, лежащей на оси кольца. Постройте график распределения потенциала вдоль оси кольца.

6.Используя связь между напряженностью и потенциалом, получите выражение для расчета напряженности по найденному распределению потенциала.

1.4. По тонкому полукольцу радиусом R равномерно распределен положительный заряд

Q.

1.Определите напряженность поля в центре полукольца.

2.Найдите потенциал в центре полукольца.

1.5. Тонкий стержень длиной ℓ = 10 см равномерно заряжен с линейной плотностью

заряда = 8 10– 9 Кл/м (см. рис.).

1. Найдите напряженность поля в точке, лежащей на продолжении стержня на

расстоянии х0 = 10 см от его ближайшего конца.

2. Определите потенциал поля в точке, лежащей на продолжении стержня.

1.Найдите заряд стержня.

2.Найдите напряженность поля в точке, лежащей на продолжении стержня на

расстоянии х0 от его ближайшего конца.

3. Определите потенциал поля в точке, лежащей на продолжении стержня.

1.7. Тонкий стержень длиной ℓ равномерно заряжен с линейной плотностью заряда . 1. Определите проекцию напряженности поля на ось Х в точке А, отстоящей от стержня на расстояние а, если прямые, соединяющие эту точку с концами стержня, составляют

с осью Y углы 1 и 2 (см. рис.).

2.Определите проекцию напряженности поля на ось Y в точке А.

3.Найдите величину и направление напряженности в произвольной точке оси Х, проходящей через середину стержня.

6

1.8. Тонкий диск радиусом R равномерно заряжен с поверхностной плотностью заряда

.

1.Определите величину и направление напряженности поля в произвольной точке, лежащей на оси диска, перпендикулярной его плоскости.

2.Покажите, что при малых расстояниях до диска его поле практически однородно, а при больших – переходит в поле точечного заряда.

Указания: 1) При выводе расчетной формулы воспользуйтесь интегралом

2) Используйте разложением функции в ряд x 1 1 2x ... при x 0 .

1.9. Тонкий диск радиусом R2 с центральным отверстием радиусом R1 равномерно

поверхностной плотностью . В середине плоскости имеется круглое отверстие, радиус которого R мал по сравнению с размерами плоскости. Ось Х совпадает с перпендикуляром к плоскости, восставленным из центра отверстия.

1.Найдите напряженность поля в произвольной точке, лежащей на оси Х. Постройте график зависимости Ех(х).

2.Определите распределение потенциала вдоль оси Х, если (0) = 0.

1.11. Две большие параллельные плоскости равномерно заряжены с поверхностными плотностями 1 и 2. Расстояние между плоскостями d много меньше их линейных

зависимости Ех(х). Ось Х направлена перпендикулярно плоскостям.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, найдите зависимость потенциала поля от координаты х и постройте график (х). Примите 0 0 .

3.Определите силу взаимодействия плоскостей на единицу площади.

1.12. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределен положительный заряд Q = 1,0 10– 6 Кл (см. рис. к задаче 1.3).

1. Определите силу, действующую на точечный заряд q = 1,0 10– 9 Кл, находящийся в

точке с координатой z0 = 5,0 см.

2. Найдите работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки с координатой z0 в центр кольца.

7

3. Рассчитайте силу, действующую на тонкий стержень длиной ℓ = 12 см, расположенный вдоль оси кольца. По стержню равномерно распределен заряд

Q0 = 1,0 10– 8 Кл. Ближайший к кольцу конец стержня имеет координату z0.

1.13. Тонкий стержень длиной ℓ равномерно заряжен с линейной плотностью заряда (см. рис.).

1.Определите силу, действующую на точечный заряд q, находящийся в точке с координатой х0.

2.Найдите работу сил поля по перемещению точечного заряда q из точки с

координатой х0 в бесконечно удаленную точку.

1.1

4. Два тонких стержня длинами ℓ и L расположены на расстоянии x0, как показано на

рисунке. Заряды стержней Q1 и Q2 распределены равномерно. Определите силу взаимодействия стержней.

8

2. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме

Потоком вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную поверхность называется величина

e E, dS ,

S

где dS вектор внешней нормали к элементарной площадке поверхности S,

напряженности электростатического поля в точках этой площадки.

Для расчета потока вектора напряженности в вакууме используется теорема Остроградского-Гаусса

где 0 8,85 10 12 Ф/м.

Для ряда симметричных заряженных систем возможен выбор поверхности интегрирования, позволяющей по известному потоку определять напряженность.

Вслучае центральной симметрии заряженных систем (сфера, шар, шаровой слой)

вкачестве поверхности интегрирования выбирается сфера с тем же центром.

При осевой симметрии задачи поверхность интегрирования представляет собой цилиндр, высота которого много меньше высоты системы, а основания располагаются далеко от краев цилиндрических заряженных тел.

При решении плоских задач (поле плоскости, заряженного слоя или системы плоскостей) поверхность интегрирования также можно выбрать цилиндрической, но расположить основания цилиндра параллельно плоским заряженным поверхностям.

Рис. 2.1

Примеры выбора поверхности интегрирования для использования теоремы Остроградского-Гаусса приведены на рис. 2.1.

Расчет распределения потенциала при известной зависимости напряженности от координаты проводится с использованием интегральной формы связи.

11

9

2.1. В однородном электрическом поле с напряженностью E 700 В/м находятся:

а) круглая площадка радиусом R 3,0 см, расположенная нормально к линиям напряженности;

б) прямоугольная площадка со сторонами a 3,0 см и b 2,0 см, расположенная так, что линии напряженности образуют угол 30 с ее плоскостью.

Определите поток вектора напряженности электрического поля через каждую из указанных поверхностей.

2.2. Определите поток вектора напряженности Е0 однородного электростатического поля через заданные поверхности:

а) полусферы радиусом R, плоскость основания которой составляет угол с силовыми линиями поля; б) куба с ребром а, две грани которого перпендикулярны силовым линиям.

2.3. Сфера радиусом R равномерно заряжена положительным зарядом Q.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось и постройте график Er(r).

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

2.5. Две концентрические сферы радиусами R1 и R2 заряжены равномерно с одинаковыми поверхностными плотностями заряда > 0.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите (0) = 0.

2.6. В вакууме образовалось скопление электронов с постоянной объемной плотностью заряда 1,4 10 6 Кл/м3, имеющее форму шара радиусом R 0,5 см.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

2.7. Скопление положительных зарядов имеет форму шара радиусом R1 и заряд Q1. Скопление окружено тонкой оболочкой радиусом R2. Заряд распределен по оболочке равномерно и равен Q2 = – Q1.

1.Найдите зависимость проекции вектора напряженности на радиальную ось Er(r) и постройте график.

2.Используя связь между напряженностью и потенциалом, определите потенциал как

функцию радиальной координаты и постройте график (r). Примите ( ) = 0.

10