2 семестр / Примерные задачи к экзамену по ВМ2

ВМ–2

Cуперпомощник для подготовки к экзамену

ЭР-10-22 | ЭР-11-22 | ЭР-12-22 | ЭР-13-22

ЭР-14-22 | ЭР-15-22 | ЭР-16-22 | ЭР-17-22

ЭР-21-22 | ЭР-22-22 | ЭР-23-22

Доц. И. А. Шилин

Весенний семестр 2022/2023 уч. года

1

Каждый экзаменационный билет будет состоять из двух задач, но по первой из них экзаменатором может быть задан теоретический вопрос (определение, формулировка используемой теоремы и т. п.). Выглядеть он будет так:

Ниже приведены аналоги всех задач, которые будут включены в билеты.

2

Пе р в ы й и в т о р о й д и ф ф е р е н ц и а л ы

1.Напишите первый и второй дифференциалы функции f = y2 + x2 + 3x + y sh x − sin2(πy) в

Фо р м у л а Т е й л о р а

2.Представьте функцию f = x ey − x2y приближенно по формуле Тейлора в окрестности точки M0(0, 1), ограничившись слагаемыми, содержащими дифференциалы не выше второго по-

Ли н и и и п о в е р х н о с т и у р о в н я

3.Укажите линии уровня функции

p

f = 2 + 3x2 + 5y2.

Обозначим La множество точек плоскости, в которых f(x, y) = a. Если a > 2, то La — эллипс 3x2 + 5y2 = (a − 2)2.

Если a = 2, то La состоит только из точки O(0, 0). При a < 2 имеем La = .

То ч к и э к с т р е м у м а

4.Найдите точки экстремума функции f = 3 +

3

Ка с а т е л ь н а я п л о с к о с т ь и н о р м а л ь

5.Напишите уравнение касательной плоскости

Πи уравнение нормали l к поверхности

Σ: y2 + x ch (y − z) + y ln z − 2xz = 1

Пл о щ а д ь и о б ъ е м

6.Вычислите площадь фигуры, расположенной

впервой координатной четверти между лемнискатой (x2 + y2)2 = 2xy и окружностью x2 +

7.Вычислите площадь части поверхности параболоида z = 9−x2 −y2, расположенной внутри

8. Вычислите объем тела, ограниченного конусом

p

z = 6 − x2 + y2 и параболоидом z = x2 + y2.

32π/3.

К р и в о л и н е й н ы й и н т е г р а л п е р в о г о р о д а

9. Вычислите интеграл ´(sh x + y2) dl, где γ —

γ

участок кривой y = ch x от точки A(0, 1) до точки B(1, ch 1).

4

По т е н ц и а л ь н о е п о л е

10.Потенциально ли поле v = (2xy, x2 − ln y)? Если да, укажите хотя бы один потенциал по-

11. Потенциально ли поле v = (z2, 2y − z, 2xz −

Кр и в о л и н е й н ы й и н т е г р а л в т о р о г о р о д а

14.Вычислите интеграл

ˆ

(1 + 2xy) dx + (1 + x2 − 3y2) dy,

5

По в е р х н о с т н ы й и н т е г р а л в т о р о г о р о д а

17.Вычислите модуль потока вектора v = (y, −x, 1 − z) через часть поверхности параболоида

z = x2 + y2, находящуюся внутри конуса z =

p

= 10 − 3 x2 + y2. 12π.

18.Вычислите модуль потока вектора v = (x2 −

−x, x2yz, z − 2xz) через замкнутую поверх-

ность, образованную сферой x2 + y2 + z2 = 18

p

6