Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

2 семестр / Методичка по ВМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

236.72 Кб

Скачать

☆

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. (сonst) / =0;

степенные функции

2. (u n ) / = n u n−1 u / ;

2a.	(x) / =1;
2b. (u 2 ) / = 2 u u / ;
2c.	(	1	) / = −			1	u /	;
						u 2
		u
2e.	(		u ) / =			1		u / ;
						2	u
( n xm = x				m			1	= x−	m
				n	;				n	)
						n	xm

показательные функции

3. (a u ) / = a u ln a u / ;

3a. (eu ) / = eu u / ;

логарифмические функции

4. (loga u)/ = u 1ln a u / ;

4a. (ln u) / = u1 u / ;

( ln	a	= ln a −ln b; ln a n = n ln a )
	b

тригонометрические функции

5.(sin u) / = cos u u / ;

6.(cos u) / = −sin u u / ;

7.(tg u) / = cos12 u u / ;

8.(ctg u) / = − sin12 u u / ;

обратные тригонометрические функции

9.	(arcsin u) / =	1	u / ;
	1 −u 2
10.	(arccos u) / = −	1	u / ;
		1 −u 2

11.(arctg u) / = 1 +1u 2 u / ;

12.(arcctg u) / = −1 +1u 2 u / ;

гиперболические функции

13.(sh u)/ = ch u u/ ;

14.(ch u) / = sh u u / ;

15.(th u) / = ch12 u u / ;

16. (cth u) / = − sh12 u u / ;

показательно – степенные функции

17. (u v ) / = u v ln u v / + v u v −1 u / .

модуль функции

18. u / =sgn u u / , ( u =sgn u u) ,

1, u > 0

где sgn u = −1, u < 0; – функция знак u

0, u =0.

(сигнум u).

Правила дифференцирования

1.(сu) / = c u / ; 1a. ( uc ) / = 1c u / ;

2.(u ±v)/ = u / ±v/ ;

3.(u v) / =u / v + u v / ;

4.	(	u	) / =	u / v −u v /	;
		v		v 2

5.	сложная функция

(F (u( x)) / = Fu/ ux/ ;

6. параметрически заданная функция

x = x(t),

yt/

( y x/ )t/

y x =

; y xx =

;

xt/

y = y(t)

неявно

заданная

функция

y = y( x) уравнением

F ( x, y) = 0; чтобы

найти

производную

неявно

заданной

функции,

нужно

продифференцировать

обе

части

уравнения F ( x, y) = 0, считая

y функцией

от

применяя

правило

дифференцирования сложной функции;

8. логарифмическое дифференцирование

y = f ( x) ln y = ln f ( x);

y / = (ln f (x)) / .

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ (u = u( x))

1. ∫0 du = c;

степенные функции

um+1

2.∫u m du = m +1 + c; m ≠ −1;

3.∫duu = ln u + c;

( n xm = x	m		1	= x−	m
	n	;			n	)
		n	xm

показательные функции

4. ∫a u du = a u + c; ln a

4a. ∫eu du = eu + c;

дробные рациональные и иррациональные функции

∫

arctg

+ c;

+ a

∫

u − a

+ c;

u + a

− a

∫

2du

= arcsin u + c;

− u

∫

2du

= ln u + u 2 ± a 2 + c;

± a

тригонометрические функции

9.∫sin u du = −cos u + c;

10.∫cos u du =sin u + c;

11.∫cosdu2 u = tg u + c;

12.∫sindu2 u = −ctg u + c;

гиперболические функции

13.∫sh u du = ch u + c;

14.∫ch u du = sh u + c;

15.∫chdu2 u = th u + c;

16.∫shdu2 u = −cth u + c;

∫ f (x)dx = F (x) +C F / (x) = f (x)

Непосредственное интегрирование

du = ux/ dx dx =

;

u /

u = ax +b dx =

d (ax +b)

;

∫

dx =

(ax +b)1−m

+c;

(ax +b)

1 −m

∫

+ b

+ c;

ax + b

u = (ax

+b) dx

d (ax3 +b)

3ax2

∫x2 сos(ax3 +b) dx =

sin(ax3 +b) + c;

u = mx dx =

d (mx)

∫

+c;

a 2 −(mx)2 = m arcsin a

основные свойства неопределенного интеграла

1.∫(u ± v)dx = ∫udx ± ∫vdx;

2.∫αudx =α∫udx;

3.d ∫u( x)dx =u( x)dx;

4.∫du = u + c;

замена переменной u = u(t) du = ut/ dt;

∫ f (u)du = ∫ f (u(t))ut/ dt;

интегрирование по частям

∫udv = uv − ∫vdu.

ПРИЛОЖЕНИЯПРОИЗВОДНОЙ

Теоремы Роля, Лагранжа, Коши

Теорема	Если
Ролля	f (x) :
	1. непрерывна на отрезке [a, b];
	2. дифференцируема на интервале (а, b);
	3. принимает равные значения
	на концах отрезка,
	то есть f (a) = f (b),

Лагранжа	f (x) :
	1. непрерывна на отрезке[a, b];
	2. дифференцируема на интервале(а, b),

Коши	f (x) и g(x) :
	1. непрерывны на отрезке [a, b];
	2. дифференцируемы на интервале (а, b);
	3. g / (x) ≠ 0
	во всех точках интервала (а,b),

то существует хотя бы одна точка ξ,

a < ξ < b, что f / (ξ) = 0

существует хотя бы одна точка ξ, a < ξ < b, что

f (b) − f (a) = f / (ξ)(b −a)

существует хотя бы одна точка ξ, a < ξ < b, что

f (b) − f (a)	=	f / (ξ)
g(b) − g(a)		g / (ξ)

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

f (x)

′

f ( x)

∞

f ′( x)

f (x)

или

lim

= lim

lim

= lim

g(x)

′

g( x)

∞

x→a

№

Вид

Результат преобразований

п/п

неопределен

Преобразования

(c, d – const ≠ 0)

ности

{0 ∞}

f (x) h(x) =

f (x)

h( x)

∞

или

–

применить

∞

h( x)

f (x)

правило Лопиталя

2.1

. дроби привести к общему знаменателю;

= ∞ ;

= 0 ;

2.2

. умножить и разделить разность

функций

на

сопряженное выражение, если это разность

∞

квадратных корней;

= 0 ;

∞

= ∞ ;

2.3

. умножить и разделить разность

функций

на

неполный квадрат суммы этих функций, если

это разность корней кубических;

{∞ −∞}

2.4

. f (x) − h(x) =

h( x) − f (x)

∞

или

– применить

f (x) h(x)

∞

правило Лопиталя

{1∞ },

3.1.

y = u v ln y = v ln u;

{00 },

lim ln y = A lim y = e A .

См. выше

{∞0 }.

x→a

3.2. y =uv

=ev ln u

Исследования функции без применения производных

№	Цель	Действия			Вывод
п/п	исследования	Действия			Вывод
п/п	исследования
	Найти область	Найти точки, в которых			Исключить найденные точки
1	Найти область	функция не определена или не			из области определения
1	определения	задана (точки разрыва графика			функции
	функции	задана (точки разрыва графика			функции
	функции	функции)
		функции)
					Если хотя бы один из
		Вычислить односторонние			односторонних пределов в
	Найти	пределы функции в точках			исследуемой точке равен
	Найти	разрыва и в точках,			бесконечности, то график
2	вертикальные	«подозрительных» на разрыв			функции имеет вертикальную
	асимптоты	для кусочно-аналитической			асимптоту:
		функции			lim f ( x) = ∞ x = a –
					x→a ±0
					вертикальная асимптота
		Если f (−x) = f ( x) ,			Ограничиться исследованием
	Исследовать	то функция четная.			функции на интервале (0, ∞) .
	Исследовать				График четной функции
3	функцию	Если f (−x) = − f ( x) ,			симметричен относительно
3	на четность	то функция нечетная			оси OY, график нечетной
	на четность	то функция нечетная			оси OY, график нечетной
	и нечетность				функции симметричен
					относительно начала
					координат
		T – период функции –			Ограничиться исследованием
	Исследовать	(наименьшее из всех			на интервале, по длине равном
	Исследовать	возможных значений,			периоду T, за пределы
4	функцию на	возможных значений,			периоду T, за пределы
4	функцию на	удовлетворяющих уравнению:			интервала продолжить график
	периодичность	удовлетворяющих уравнению:			интервала продолжить график
		f ( x + T ) = f ( x)			функции периодическим
					образом
	Найти точки	Решив уравнение y = f ( x) = 0 ,			Точка пересечения графика с
	Найти точки	найти x0 : f (x0 ) =0 .			осью OX: (x0 ,0) .
5	пересечения	найти x0 : f (x0 ) =0 .			осью OX: (x0 ,0) .
5	с осями	Найти y(0) = y0			Точка пересечения графика с
	с осями	Найти y(0) = y0			Точка пересечения графика с
	координат				осью OY: (0, y0 )
	Найти	Вычислить пределы			Если k и b – конечные числа,
	наклонные, в	k = lim	f (x)	и	то уравнение наклонных
6	наклонные, в	k = lim		и	асимптот y = kx + b , причем,
6	частности,	x→±∞	x		асимптот y = kx + b , причем,
	горизонтальные	b = lim ( f ( x) − kx)			при к =0 асимптота
	асимптоты	x→±∞			горизонтальная y = b
	асимптоты				горизонтальная y = b

Исследования функции с применением производных

№

Цель

Действия и вывод

исследован

п/п

ия

1.1.1. Найти критические точки первого порядкаxi ,i =1,2,..., n :

y /

( xi ) = 0 или y / ( xi

) = ∞, или y / ( xi

) − не существует

(необходимое условие существования экстремума функции в точке);

1.2.1. Применить первое достаточное условие существования

экстремума функции в критической точке:

монотонностиинтервалыНайти и точки экстремумовлокальныхфункции

x < x1

x > xx

y /

Критическая точка

первого порядка

Функция убывает

(x1 , y(x1 )) − точка

Функция

минимума

возрастает

x < x2

x > x2

y /

Критическая точка

первого порядка

Функция возрастает

(x2 , y(x2 )) − точка

Функция

максимума

убывает

1.2.2. Если x3 и x4

– стационарные точки (все производные до (2к–1)

порядка равны нулю), можно применить второе достаточное условие

существования экстремума функции в точке:

y(2k ) (x ) > 0 (x , y(x )) −точка локального минимума;

y(2k ) (x

) < 0 (x , y(x

)) −точка локального максимума;

y(2k ) (x ) = 0, y(2k +1) ≠ 0

– в точке (x , y(x )) экстремума нет.

2.1. Найти критические точки второго порядка x j , j =1,2,..., m :

интервалыНайтивыпуклости

вогнутостии графика точкиифункцииперегиба

y // (x j ) =0 или y // (x j ) = ∞, или y // (x j ) − не существует

(необходимое условие существования точки перегиба графика);

2.2. Применить достаточные условия выпуклости и вогнутости графика

и существования точек перегиба:

x < x6

x > x6

y //

Критическая точка

второго порядка,

точка

непрерывности

График функции

(x6 , y(x6 )) − точка

График функции

вогнутый

перегиба

выпуклый

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.2023885.56 Кб0ВМ1. Билеты к экзамену.pdf
#
16.07.20231.94 Mб1Лекции по ВМ2.pdf
#
16.07.2023236.72 Кб1Методичка по ВМ.pdf
#
16.07.2023425.84 Кб0Павлов, Петрушко. ВМ. ФНП. Сборник заданий.pdf
#
16.07.2023283.73 Кб0Примерные задачи к экзамену по ВМ2.pdf
#
16.07.20231.96 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (1).jpg
#
16.07.20231.43 Mб0УП занятий по ВМ1. Сальникова. 2 семестр (2).jpg
#
16.07.20233.36 Mб0УП занятий по ВМ2. Сальникова. 2 семестр (1).jpg