Студент

Яшин И.А.

(И.О. Фамилия)

Группа

ЭЭТбп-1801а

(И.О. Фамилия)

Преподаватель

Крылова Светлана Александровна

(И.О. Фамилия)

1.

Рассчитать наибольшее и наименьшее значения функции y = x-sin(x) на заданном отрезке:[-π;π]

-π;π

1) Найти первую производную и все критические точки:

Подробное решение:

y' = 1-cos(x)

2) Вычислить значения функции в критических точках:

Подробное решение:

x₁ = 3.7011·1 x₂ = 18.85

3) Вычислить значения функции на концах промежутка:

Подробное решение:

f(3.7011·1 )= 0 f(18.85) = 18.85

4) Сравнить все полученные значения функции и выбрать среди них самое большое и самое малое:

Подробное решение:

f(-π) = -3.1416 f(π) = 3.1416

2а.

Провести полное исследование и построить графики данных функций:

Построить график, используя полученные результаты

Найти область определения функции, исследовать её поведение на границах этой области:

Подробное решение:

x² + x + 1 = 0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b² - 4ac = 1² - 4·1·1 = 1 - 4 = -3

Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений.

Найти точки разрыва и классифицировать их с помощью односторонних пределов:

Подробное решение:

Функция не имеет разрывов на всей числовой оси.

Исследовать периодичность, чётность (нечётность):

Подробное решение:

Функция не является ни чётной ни нечётной

Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции:

Подробное решение:

Пересечение с осью ОХ:

Пересечение с осью OY:

х=0

Пересечение с осью OY в точке у =2

Найти асимптоты:

Подробное решение:

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:

Найти точки экстремума и интервалы монотонности:

Подробное решение:

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю -4·x-2 = 0 Откуда: x₁ = -1/2

В окрестности точки x = -1/2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -1/2 - точка максимума

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости:

Подробное решение:

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба: x₁ = 0 x₂ = -1

2б.

Провести полное исследование и построить графики данных функций:

Построить график, используя полученные результаты

Найти область определения функции, исследовать её поведение на границах этой области:

Подробное решение:

f(x)=ln(x), x>0 Для нашей функции: x>0 x=0

Найти точки разрыва и классифицировать их с помощью односторонних пределов:

Подробное решение:

Функция непрерывна от х=0, до +∞

Исследовать периодичность, чётность (нечётность):

Подробное решение:

y(-x)=-x-ln(-x)

Функция общего вида. Не является ни чётной, ни нечётной ни периодической.

Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции:

Подробное решение:

Пересечение с осью 0Y Нет пересечений. Пересечение с осью 0X y=0 x-ln(x)=0 Нет пересечений.

Найти асимптоты:

Подробное решение:

y = x-ln(x) Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент к:

Находим коэффициент b:

Предел равен -∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.

Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:

Находим коэффициент к:

Находим коэффициент b:

Предел равен -∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют.

Найти точки экстремума и интервалы монотонности:

Подробное решение:

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x-1 = 0 Откуда: x₁ = 1

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости:

Подробное решение:

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. Для данного уравнения корней нет.