Цель работы
Ознакомление со способами моделирования случайных чисел с заданным законом распределения в современных математических пакетах, получение навыков нахождения выборочных моментов случайной величины и получение навыков наглядного представления результатов статистической обработки данных.
Индивидуальный вариант
Вариант № |
Распределение |
Параметры распределения |
|
|
|
11 |
Равномерное |
a=-50, b=50 |
|
|
|
Случайная величина x имеет равномерное распределение с граничными точками a=-50, b=50, функция плотности вероятности имеет вид:
Выполнение работы
1) График плотности вероятности в соответствии с рисунком 1 и интегральной функции распределения случайной величины в соответствии с рисунком 2.
Рисунок 1 – График плотности вероятности
Рисунок 2 – График функции распределения
2)Аналитический расчет математического ожидания, дисперсии,
среднеквадратического отклонения и четвертого центрального момента случайной величины.
Математическое ожидание равномерного распределения:
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение равномерного распределения равны:
Четвертый центральный момент случайной величины равномерного распределения:
4 |
= |
(50 − (−50))4 |
= |
1004 |
1250000 |
|
80 |
80 |
|||||
|
|
|
|
2
3) Описание разработанной программы: список использованных
переменных, блок-схема, листинг программы в соответствии с приложениями А и Б.
Переменная |
Значение |
|
|
N |
Кол-во значений в выборке |
|
|
a |
Нижняя граница |
|
|
b |
Верхняя граница |
|
|
X |
Список значений выборки |
|
|
MO |
Список значений матожидание |
|
|
n_line_p |
Список значений верхней граничные |
|
линии |
|
|
n_line_m |
Список значений нижний граничные |
|
линии |
|
|
rep_count |
Количество повторений |
|
|
MO_list |
Лист списков значений матожидание |
|
для выборок |
|
|
errMO |
Список квадратов ошибок |
|
матожидание для одной выборки |
|
|
errMO_list |
Лист списков квадратов ошибок |
|
матожидание для 100 выборок |
|
|
errMO_mean |
Список значений среднего квадрата |
|
ошибки матожидания |
|
|
3
4
4) График, построенный по пунктам 5-6 порядка выполнения лабораторной работы в соответствии с рисунками 3-4.
Рисунок 3 – Отображение графика зависимости M[N] от N
Рисунок 4 – Отображение 100 графиков зависимости M[N] от N
5
5) График, построенный по пунктам 7-8 порядка выполнения лабораторной работы в соответствии с рисунком 5.
Рисунок 5 – Отображение 100 графиков зависимости квадрата ошибки от объема выборки
Рисунок 6 – Усредненное и теоретическое значение зависимости квадрата ошибки от объема выборки
6
6) Графики, построенные по пункту 9 порядка выполнения лабораторной работы. График оценки дисперсии в соответствии с рисунком 6,
график зависимости квадрата ошибки и усредненного значения от объема выборки в соответствии с рисунком 7 и график зависимости теоретического и среднего значений от объема выборки в соответствии с рисунком 8.
Рисунок 7 – График зависимости оценки дисперсии от объема выборки
Рисунок 8 – Зависимость квадрата ошибки и усредненного значения от объема выборки
Рисунок 9 – Зависимость теоретического и усредненного квадрата ошибки от объема выборки
7
Вывод
Выполнив в данную лабораторную работу, мы изучили и получили практические навыки в работе с функцией распределения случайной величины. Вывели аналитически формулы для математического ожидания,
дисперсии, среднее квадратического отклонения и четвёртый центральный момент по заданной функции случайного распределения. Затем воспользовались выведенными формулами для вычисления соответствующих значений по выборкам. Также нашли среднее значение для дисперсии.
8
Приложение А. Листинг программы
# Вариант 11. Равномерное распределение a=-50, b=50
a <- -50 |
# min |
|
b <- 50 |
# max |
|
N <- 1000 |
|
# Кол-во эл-тов в выборке |
mo_teor <- (a+b)/2 |
|
# Теор. матожидание |
disp_teor <- (a-b)^2/12 |
# Теор. дисперсия |
|
sko_teor <- (b-a)/(2*sqrt(3)) # Теор. среднеквадратическое отклонение
cm4 <- (b-a)^4/80 |
# Теор. четвертый центральный момент |
rep_count <- 100 |
# Кол-во выборок |
#Формировани 100 выборок по 1000 элементов x_list <- c()
for (i in 1:rep_count) x_list[[i]] <- runif(N, a, b)
#Оценка МО
MO <- as.numeric() upperBoundMO <- as.numeric() lowerBoundMO <- as.numeric()
for (i in 1:N) MO <- c(MO, sum(x_list[[1]][1:i])/i)
#Отображене график зависимости M[N] то N plot(MO,
type = "l", col="blue",
main = "Оценка мат. ожидания равномерного распределения", xlab="Объем выборки",
ylab="M[N]",
ylim = c(-100, 100))
#Повторяем 100 раз
MO_list <- as.list(1:rep_count)
MO_list[[1]] <- MO
for (i in 2:rep_count){ MO <- as.numeric()
for (j in 1:N) MO <- c(MO, sum(x_list[[i]][1:j])/j)
MO_list[[i]] <- MO lines(MO, col="blue")
9
}
#Истинное значение МО lines(rep(mo_teor, N), lwd=2, col="red")
#Граничные линии for (i in 1:N){
upperBoundMO <- c(upperBoundMO, mo_teor + 3*(sko_teor)/sqrt(i)) lowerBoundMO <- c(lowerBoundMO, mo_teor - 3*(sko_teor)/sqrt(i))
}
lines(upperBoundMO, lwd=2, col="green") lines(lowerBoundMO, lwd=2, col="green")
######################################################
#Квадрат ошибки errMO <- as.numeric()
for (i in 1:N) errMO <- c(errMO, (MO_list[[1]][i] - mo_teor)^2)
errMO_list <- as.list(1:rep_count) errMO_list[[1]] <- errMO
#Отображение графика зависимости квадрата ошибки от объема выборки plot(log2(1:N),
log2(errMO),
type="l",
col="blue",
main = "Зависимость квадрата ошибки от объема выборки для 100 экспериментов",
xlab="Логарифм объема выборки", ylab="Логарифм квадрата ошибки", ylim = c(-30, 15))
#Повторяем 100 раз for (i in 2:rep_count) {
errMO <- as.numeric()
for (j in 1:N) errMO <- c(errMO, (MO_list[[i]][j] - mo_teor)^2)
errMO_list[[i]] <- errMO lines(log2(1:N), log2(errMO), col="blue")
}
########################################################
10