Сжим_отобр2
.pdfТеорема 2. Пусть уравнение |
|
имеет в области |
решение a и пусть отображение |
|||
является сжимающим в |
с коэффициентом . Тогда решение a единственно в |
|||||
области и существует столь малая окрестность решения, что при выборе точки |
из |
|||||
этой окрестности все члены последовательность |
, принадлежат |
|||||
этой окрестности и справедлива оценка |
|
|
||||
|
|
|
|
(4) |
|
|
Доказательство. Пусть |
множество точек, удовлетворяющих неравенству |
|
||||
. |
При достаточно малом |
имеем |
Выберем любую точку |
|
||
. Тогда точка |
принадлежит той же окрестности точки при |
|
||||
достаточно малом |
. Действительно, |
|
|
|
||
|
|
|
( |
) |
|
|
Итак, из |
|
следует |
|
. Аналогично из |
следует |
и т.д. . |
Иначе говоря, |
отображает |
|
в себя. Из Теоремы 1 следует существование и |
|||
единственность решения. |
|
|
|
|
||
Докажем теперь оценку (4) . При |
она очевидна. Пусть она доказана при всех |
. |
||||
Докажем (4) и при |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
Метод Ньютона |
|
|
|
|
1)Одно уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
Пусть корень |
неизвестен, но известна точка , принадлежащая малой окрестности корня. |
|||||
Заменим функцию |
в уравнении (5) ее линейным приближением. Получим |
|
||||
|
|
(6) |
|
|
|
|
Происхождение уравнения (6) позволяет предположить, что его решение будет близко к решению
уравнения (5). В этом заключается идея метода Ньютона. |
|
|
|
|||||
Из (6) получаем, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
Полученное таким образом значение |
подставим вместо |
в (7) для получения следующего |
||||||
приближения к решению и т.д. . Получим последовательность |
|
|
||||||
|
⁄ |
|
|
|
(8) |
|
|
|
Применим к данной задаче теорию сжимающих отображений. |
|
|
||||||
Обозначим |
|
⁄ |
. Тогда уравнение (5) равносильно уравнению |
|||||
|
, а корень |
|
неподвижная точка отображения |
. |
||||
Уравнение (8) записываем в виде |
|
Осталось доказать, что отображение сжимающее, |
||||||
если мы попали в достаточно малую окрестность решения. Пусть |
непрерывна, тогда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
Отсюда |
. Поэтому в малой окрестности точки будет | |
| |
||||||
Тогда для любых |
из этой окрестности по теореме Лагранжа имеем |
|||||||
|
| |
|
|
| | |
|| |
| |
| |
| |
2.Система уравнений |
|
|
||
{ |
|
|
|
(9) |
В векторной записи |
|
|
||
|
( |
) |
( ) |
(10) |
Пусть |
( ) |
решение, а вектор |
( ) в малой окрестности вектора |
Линеаризуем систему (9) по аналогии с (6)
{
В матричной записи это выглядит так
Если |
не вырожденная, то это уравнение можно решить относительно |
|
|
|
(11) |
|
|
Пусть |
вектор-функция от векторного аргумента |
|
|
Тогда уравнение (9) равносильно уравнению |
. Строим последовательность |
||
|
(12) |
|
|
Можно доказать, что последовательность сходится, если норма матрицы |
мала в |
||
окрестности решения. |
|
|
Пример. Решить систему
{
( |
|
) |
|
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |