Семестр 1 / Ответы на экзаменационные вопросы
.docxНепрерывность функции в точке — определение. Непрерывность функции в области — определение. Является ли <функция> непрерывной на своей области определения? Ответ обоснуйте.
или
.
Решение через ; Пример для :
Непрерывность функции в точке — определение. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями. Является ли <функция> непрерывной на своей области определения? Ответ обоснуйте.
См. (1)
Если: Тогда:
См. (1)
Предел функции в точке x0 ∈ R — определение. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
Предел функции на бесконечности — определение. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
См. (3)
Предел функции в точке x0 ∈ R — определение. Теорема о пределе композиции функций.
См. (3)
Если: Тогда:
Предел функции на бесконечности — определение. Теорема о пределе композиции функций.
См. (4)
См. (5)
Предел последовательности. Привести пример последовательности, сходящейся к конечному пределу.
Пример:
Предел последовательности. Привести пример последовательности, сходящейся к бесконечному пределу.
См. (7)
Пример:
Предел последовательности. Привести пример последовательности, не имеющей предела.
См. (7)
Пример:
Последовательность, сходящаяся в себе — определение. Является ли <последовательность> сходящейся в себе? Ответ обоснуйте.
Последовательность, для которой выполняется условие Коши:
Если последовательность имеет конечный предел, то для неё выполняется условие Коши.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Теорема Больцано (о корне). Удовлетворяет ли <функция> на указанном промежутке т. Больцано? Ответ обоснуйте.
Если: или Тогда:
Доказать непрерывность, показать, что и или наоборот.
Теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений). Удовлетворяет ли <функция> на указанном промежутке т. Вейерштрасса? Ответ обоснуйте.
Если: Тогда:
Доказать непрерывность функции.
Дифференцируемая функция — определение. Теорема о производной суммы, произведения и частного функций. Является ли <функция> дифференцируемой в указанной точке? Ответ обоснуйте.
Посчитать предел из 1-го подпункта.
Дифференцируемая функция — определение. Теорема о производной композиции функций. Является ли <функция> дифференцируемой в указанной точке? Ответ обоснуйте.
См. (15)
Если: Тогда:
См. (15)
Монотонность функции. Связь (строгой) монотонности и первой производной. Является ли <функция> (строго) монотонной? Ответ обоснуйте.
Найти производную и узнать, когда она положительна, отрицательна и равна нулю.
Теорема Ролля.
Если: Тогда:
Теорема Лагранжа.
Если: Тогда:
Теорема Коши.
Если: Тогда:
Правило Лопиталя. Из какой теоремы следует правило Лопиталя?
Если: Тогда:
Следует из теоремы Коши.
Формула Тейлора с остатком в форме Пеано. Выписать формулу Тейлора для <функции>.
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа. Выписать формулу Тейлора для <функции>.
В ыпуклость функции. Связь (строгой) выпуклости и второй производной. Является ли<функция> (строго) выпуклой?
Найти 2-ю производную и узнать, когда она больше, меньше и равна нулю.
Первообразная — определение. Теорема о классе первообразных данной функции. Является ли одна из <функций> первообразной для другой? Ответ обоснуйте.
Если: Тогда:
Найти производную первой функции. Если ответ получился равен второй функции, значит первая — первообразная для второй.
Вопросы 2 этапа
Функция. Определение, инъективность, сюръективность, биективность. Композиция функций. Обратная функция.
Определение функции
Функция — закон, по которому каждому элементу заданного множества ставится в соответствие элемент множества .
Инъективность
— инъективна, если
Сюръективность
— сюръективна, если
Биективность
— биективна, если она инъективна и сюръективна
Композиция функций
Пусть и — две функции ( ). Тогда их композицией называется функция , что
Обратная функция
— биективна, тогда — обратная функция
Непрерывность функции в точке и в области. Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями.
Непрерывность функции в точке
или
Непрерывность функции в области
.
Теорема об арифметических действиях над непрерывными функциями
Если: Тогда: Доказательство: по определению непрерывности по теореме о пределах суммы, произведения и частного функций: тогда по определению эти функции непрерывны в точке
Непрерывность функции в точке и в области. Теорема о композиции непрерывных функций.
Если: — непрерывна в — непрерывна в Тогда: — непрерывна в Доказательство:
Предел функции. Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций.
Предел функции
Теорема о пределах суммы, произведения и частного функций
Доказательство: Пусть Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции: Выразим: сумму: произведение: частное: По свойствам бесконечно малых: Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции:
Предел функции. Теорема о пределе композиции функций.
Если: Тогда: Доказательство:
Предел последовательности.
Последовательность, сходящаяся в себе — определение. Критерий Коши.
Последовательность, сходящаяся в себе
Критерий Коши.
Если: Тогда: Доказательство:
Первый замечательный предел.
Доказательство: Докажем, что односторонние пределы , равны 1. Отложим этот угол на единичной окружности так, чтобы его вершина совпадала с началом координат, а одна сторона совпадала с осью . Пусть — точка пересечения второй стороны угла с единичной окружностью, а точка — с касательной к этой окружности в точке . Точка — проекция точки на ось . Подставляя в (1), получаем: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Тогда:
Второй замечательный предел.
Доказательство:
Теорема Больцано (о корне).
Если: или Тогда: Доказательство: Рассмотрим случай с (для другого случая аналогично)
Теорема Вейерштрасса (о достижении наибольшего и наименьшего значений).
Если: Тогда: Доказательство: Рассмотрим случай для верхней границы (для нижней по аналогии)
Дифференцируемая функция. Теорема о производной суммы, произведения и частного функций.
Дифференцируемая функция.
Теорема о производной суммы, произведения и частного функций.
Доказательство: сумма: произведение: частное:
Дифференцируемая функция. Теорема о производной композиции функций.
Если: Тогда: Доказательство:
Монотонность функции.
Доказательство: случай для возрастания (для остальных по аналогии)
Теорема Ролля.
Если: Тогда: Доказательство:
Теорема Лагранжа.
Если: Тогда: Доказательство:
Теорема Коши.
Если: Тогда: Доказательство:
Формула Тейлора с остатком в форме Пеано.
Доказательство:
Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа.
Выпуклость функции.
Первообразная. Теорема о классе первообразных данной функции.
Первообразная.
Теорема о классе первообразных данной функции.
Если: Тогда: Доказательство: