ЭАиТЧ_ПР4
.docxМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования
“Юго–Западный государственный университет”
Кафедра информационной безопасности
Практическая работа №4
По дисциплине «Элементы алгебры и теории чисел»
По теме «Цепные дроби»
Выполнил: студент группы ИБ-11б
Гребенникова А.И.
Проверил проф. Добрица В.П.
Курск 2023г.
Цель: Познакомиться с понятиями цепных и подходящих дробей, способами их вычисления и применениями.
Ход работы:
Вариант 5.
Задание 1. Разложить простую дробь в правильную цепную дробь и найти все её подходящие дроби, если равно
Применим алгоритм Евклида:
Таким образом (После ставится ;.) (Было: (После q0 ставится ;.) (Почему убираете мои замечания?) Извиняюсь, видимо я пропустила письмо с вашим ответом, либо оно до меня не дошло по каким-то причинам, поэтому решила повторно отправить первоначальный вариант работы.
Составим таблицу вычисления подходящих дробей.
q |
|
|
|
|
|
P |
1 |
0 |
1 |
2 |
7 |
Q |
0 |
1 |
2 |
5 |
17 |
Таким образом получаем
Задание 2. Сократить следующие дроби, пользуясь их разложением в цепную дробь
Таким образом
Составим таблицу вычисления подходящих дробей.
q |
|
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
9 |
20 |
Q |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
14 |
31 |
Таким образом получаем
Подходящие дроби не сокращаются. В решении задачи мы получили, что , а значит, что исходная дробь сократима на 59.
(Было: (Как эти дроби связаны с исходным числом?). А значит надо ответ дать относительно всех дробей.) Пусть исходное число a. Тогда подходящие дроби , , … связаны с а следующим образом:
Кратко это принято записывать следующим образом:
(Имелось в виду как подходящие дроби связаны с исходным числом и между собой. Посмотрите свойства подходящих дробей.)
Для любого i и , т.е. подходящие дроби с четными номерами только возрастают, а с нечетными – убывают.
Для i >1 выполняется равенство и неравенство
(Так пользуясь этим свойством, расположите все дроби и исходное число по возрастанию)
Задание 3. Найти значение несократимой дроби по значению цепной дроби:
Составим таблицу для вычисления подходящих дробей.
q |
|
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
16 |
99 |
Q |
0 |
1 |
4 |
5 |
14 |
75 |
464 |
Таким образом получаем
Последняя подходящая дробь равна исходному числу, а подходящие дроби являются несократимыми дробями. Следовательно исходная дробь является несократимой.
Сделаем проверку
Ответ:
Задание 4. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью , если
Применим алгоритм Евклида
Составим таблицу для вычисления подходящих дробей.
q |
|
|
|
|
|
|
P |
1 |
1 |
2 |
3 |
44 |
355 |
Q |
0 |
1 |
1 |
2 |
29 |
234 |
Таким образом получаем
Задание 5. Для задания № 1 с помощью подходящих дробей найти приближение к дроби с точностью до 0,001.
Чтобы получить точность 0,001 у нас должно быть произведение быть более, или равно 1000.
Таблица из задания 1.
q |
|
|
|
|
|
P |
1 |
0 |
1 |
2 |
7 |
Q |
0 |
1 |
2 |
5 |
17 |
Будем находить эти произведения последовательно для разных i.
i=1: .
i=2: .
i=3: .
i=4: . (Но это же не дает требуемой оценки.) Но я никак не могу получить 1000 при и , это ведь последние элементы таблицы. (Но это не соответствует таблице.) Соответствует, по таблице и
q |
|
|
|
|
|
P |
1 |
0 |
1 |
2 |
7 |
Qi |
Q0=0 |
Q1=1 |
Q2=2 |
Q3=5 |
Q4=17 |
Для оценки погрешности при замене дроби = подходящей дробью используется формула:
Данное условие выполняется при k=3.
Отсюда
(Было: Данное условие выполняется при k=3.
(Это неравенство выполняется только при k=3? На поставленный вопрос в задаче Вы не ответили.) Замечание осталось.) В моём случае данное неравенство выполняется и при других значениях k. Однако равенство выполняется только при k=3.
(Вам надо подобрать подходящую дробь такую, чтобы погрешность была меньше или равна 0,001.)
Если пользоваться методом подбора, то подходящая дробь, удовлетворяющая условию, равна
Ответ: (А что в первом случае приближенное равенство?)
Ошиблась, там строгое равенство. Дробь - это дробь , сокращенная на 11.
Ответ: