Ряды / Ryady_3

∞

u1(х) +u2 (х) +... +un (х) +... = ∑un (х) ,

(1)

∞

( х −1)2 n

Пример 1. Найти область сходимости ряда

∑

.

n

2

n =1

Замечаем, что ряд содержит только положительные члены, поэтому применим

признак Даламбера

lim

u

n+1

(x)

= lim

(x −1)2n+2 n2

=(x −1)2

<1 | x −1|<1

0 < x < 2.

(x −1)2n (n +1)2

n→∞ un (x)

n→∞

x =0

∞

1

Исследуем

на концах интервала

:

∑

− ряд

сходится. Область

2

x =2

n=1 n

n

Sn

(x) = ∑uk (x) ;

S (x) = lim Sn (x) ;

Rn (x) = S (x) − Sn (x).

k =1

n→∞

lim Rn ( x)

= 0 .

При этом,

если ряд сходится,

то

n →∞

Равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 3. Функциональный ряд (1) равномерно сходится в некоторой

области

D

к

своей сумме

S (x)

,

если

ε > 0

n = N

, что при

n > N :

| S (x) − Sn (x) | < ε

для всех

x D .

Для определения равномерной сходимости удобно использовать

Теорема (Вейерштрасса). Если все члены

ряда

(1)

удовлетворяют

неравенству

| un (x) |≤ an ,

n =1, 2

,...

(2)

∞

для x из области D и ряд ∑аn < ∞ , то ряд (1)

сходится равномерно в этой

области.

n =1

∞

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд ∑

sin nx

.

n

n = 1

2

| sin nx |

1

∞

1

∞

sin nx

Так как

≤

x R и ряд ∑

сходится, то

ряд ∑

n

n

n

n

2

2

n =1

2

n =1

2

∞

a0 + a1 (x - x0 ) + a2 (x - x0 )2 +... + an (x - x0 )n +... = ∑an (x - x0 )n

(2)

называется степенным рядом, где

n = 0

a0 ;

a1 (x − x0 ) ; a2 (x − x0 )2 ; ...; an (x − x0 )n ;... − члены ряда;

a0 ;

a1 ;

a2 ; ...; an ;... − коэффициенты ряда.

∞

Замечание 1. С помощью замены x - x = z ряд (2) принимает вид ∑ an z n

,

0

n = 0

поэтому в дальнейшем можно считать,

что x0 = 0

и рассматривать ряд

∞

∑ an x n

= a0 + a1 x + a 2 x 2

+ ... + a n x n + ... .

(3)

n = 0

Теорема (Абеля).

¹ 0 , то

1) Если степенной ряд (3) сходится при некотором значении x0

он

является сходящимся и причем абсолютно x : | x |< | x0 | ;

2) если

ряд (3)

расходится

при

некотором

x0′ ,

то

он

расходится

x : | x | > | x0′ |.

Доказательство.

∞

1) Так как ряд ∑an x0n

сходится, то lim an x0n

= 0 и n : | an x0n| < M .

n = 0

n→∞

Преобразуем ряд (3):

∞

∞

x

n

∞

x

n

∞

x

n

∑an xn = ∑an

x0n

< ∑

| an x0n |

= M ∑

< ∞ ,

x0

x0

n = 0

n =0

x0

n =0

n =0

так как q =

x

<1 и

ряд,

как сумма

бесконечно

убывающей

геометрической

x0

прогрессии, сходится и причем абсолютно.

2) Пусть при некотором x0′

ряд (3) расходится. Тогда он будет расходиться при

| x | >| x0′| . Действительно, если бы в какой либо точке х ряд сходился, то из выше

доказанного,

он сходился бы и при x0′ , что по условию теоремы невозможно.

Это

интервал с центром в начале координат.

Определение

5. Число R > 0

называется

радиусом

сходимости степенного

ряда, если ряд сходится

при x :

| x |< R и

расходится

при

x :

| x | > R , а

интервал (−R ; R)

называется интервалом сходимости.

∞

∞

Из теоремы следует,

что интервалы

сходимости рядов ∑an xn

и

∑| an xn |

n = 0

n = 0

совпадают. Тогда по признаку Даламбера получаем

| a

|| xn+1|

| a

|

| a |

lim

n+1

=| x | lim

n+1

<1 | x |< lim

n

= R .

|

n→∞ | a || xn |

n→∞ | a |

n→∞ | a

n

n

n+1

Окончательно,

R = lim

| an |

.

|

n→∞ | a

n+1

1

Аналогично,

используя радикальный признак Коши,

R = lim

.

|

n →∞ n | a

n

∞

x

n

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда ∑

.

n = 0 n!

R = lim

| an |

= lim

(n +1)!

= lim

(n +1)n!

= ∞.

Вычислим

n→∞ | a

n+1

|

n→∞ n!

n→∞

n!

Область сходимости совпадает с интервалом сходимости (−∞; ∞).

∞

(2x −1)2n

Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда ∑

.

9

n

(n +1)

2

n = 0

Воспользуемся обобщенным признаком Даламбера

u (x) =

(2x−1)2n

, u (x) =

(2x−1)2(n+1)

.

n

9n(n+1)2

n+1

9n+1(n+2)2

un+1(x)

(2x−1)2n+29n(n+1)2

lim

(n+1)2

=

| 2x−1|2

lim

= lim

=| 2x−1|2

<1.

9n+1(n+2)2(2x−1)2n

n→∞

un(x)

n→∞

n→∞9(n+2)2

9

| 2x − 1 |2

Решим неравенство

< 1

9

∞

1

при x = −1 получаем числовой ряд ∑

, который сходится как

(n +

1)

2

n = 0