Lecture_11
.pdf
Дифракция Фраунгофера на щели
Это дифракция в параллельных лучах. Дифракция Фраунгофера имеет в оптике большее значение, чем дифракция Френеля.
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на длинной прямоугольной узкой щели ширины b. Пусть на щель падает плоская м/х волна. По принципу Гюйгенса-Френеля заменим действие реальной световой волны действием вторичных источников, располагающихся на поверхности волнового фронта, совпадающего с плоскостью щели. Элементом излучающей поверхности (вторичным источником) будет служить полоска ширины dx (бесконечно узкий излучатель цилиндрической волны). Вторичные источники излучают по всем направлениям.
Схема для осуществления опыта приведена на рисунке. Источник S помещен в фокус линзы Л1 (ФП1 – фокальная плоскость). Если источником света служит лазер, то линза Л1 не нужна, так как лазер
излучает параллельный пучок. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости ФП2 другой линзы Л2.
Рассмотрим результат интерференции в направлении падающей волны. Это центр интерференционной картины (на рисунке точка С). Если разбить щель на пары вторичных источников, равноотстоящих от центра щели, то колебания от них придут в центр картины в фазе (разность хода равна нулю). Помним, что линза не вносит дополнительной разности хода.
Таким образом, в центре дифракционной картины наблюдается максимум.
Пусть I0 – интенсивность света в направлении падающей волны, то есть в центре дифракционной (интерференционной картины), а Е0 – амплитуда колебаний от всех вторичных источников в направлении = 0. Элемент dx будет излучать волну с амплитудой
dE
E0 b
dx
,
где b – ширина щели.
(11.1)
Рассмотрим результат интерференции вторичных волн в направлении, которое определяет угол дифракции . Волна, исходящая из вторичного источника ширины dx с координатой x, опережает по фазе волну того же направления, исходящую из точки О, на kxsin . Действительно, разность хода между этими
волнами (на рисунке выделена красным цветом) равна xsin . Синим цветом обозначен волновой фронт в направлении угла
дифракции .
Запишем результат многолучевой интерференции от N источников одинаковой амплитуды:
|
|
|
|
|
|
|
i t |
i t kx |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E e |
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t kx sin |
.... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
||
i t |
1 e |
ikx |
sin |
|
ikx |
sin |
... . |
|
|
|
|
E e |
1 |
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
амплитуда |
|
|
|
|
|
|
||
В нашем случае источники света распределены по щели непрерывно, поэтому для нахождения амплитуды результирующего колебания сумму надо заменить интегралом. Таким образом, с учетом (11.1) амплитуда результирующего поля в бесконечности под углом , создаваемого всей щелью, равна
1
|
E |
b 2 |
|
|
|
|
E |
|
|
b 2 |
2E |
|
kbsin |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
0 |
cos(kxsin )dx |
|
0 |
sin(kxsin ) |
|
0 |
sin |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
b |
b 2 |
|
|
|
kbsin |
|
b 2 |
kbsin |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
|
kbsin |
|
b sin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
E E0 |
sin |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
I0 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.2)
(11.3)
(11.4)
Формула (11.4) описывает относительное распределение интенсивности при дифракции света в параллельных лучах на узкой прямоугольной щели ширины b.
0 при 0 . Получаем неопределенность |
|||
sin |
1. |
||
lim |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
0 0
.
Условие минимума интенсивности : |
b sin m , |
m 1, 2,... |
или |
||
|
|
|
|
|
|
bsin m . |
|
|
(11.5) |
||
|
|
Направление на первый минимум: sin . Следовательно, |
|||
|
|
|
|
|
b |
|
|
чем больше b, тем меньше , и центральный максимум уже. |
|||
|
|
Основная доля света сосредоточена между минимумами 1-го и |
|||
|
|
-1-го порядков. Максимумы располагаются практически |
|||
|
|
посередине между минимумами. |
|||
|
|
|
Дифракционная расходимость световых пучков, |
||
|
|
прошедших через узкую |
прямоугольную диафрагму |
||
2 2sin |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
2
Не существует строго параллельных пучков. Если пучок проходит путь l, то на этом пути он
претерпевает |
дифракционное |
линейное уширение |
l l |
2l |
. Таким уширением можно |
|||||||
b |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пренебречь только тогда, когда |
l b , то есть когда оно мало по сравнению с шириной пучка. |
|||||||||||
2l |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
l |
|
|
при этом условии пучок рассматривается как луч геометрической оптики. |
|||||||
b |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дифракционная решетка
Это совокупность одинаковых дифракционных элементов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Является важным спектральным прибором.
Рассмотрим простую амплитудную решетку, в которой дифракционными элементами являются параллельные щели ширины b, разделенные непрозрачными промежутками шириной a.
d = a + b – период (постоянная) решетки.
Пусть на решетку перпендикулярно поверхности падает плоская м/х волна. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля щели решетки – это совокупность вторичных источников, излучающих когерентно и в разных направлениях (вспомогательную поверхность удобно совместить с поверхностью решетки).
Мы уже получили распределение интенсивности при дифракции на одной щели – это формула (11.4). Но решетка – это N таких щелей. Еще раньше мы получили распределение интенсивности при интерференции волн от N одинаковых излучателей, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга – формула (9.1). Если положить, что одна щель решетки – это один излучатель (который в свою очередь состоит из совокупности бесконечно малых вторичных источников), то получим N одинаковых излучателей. Таким образом, остается воспользоваться полученными ранее формулами.
Пусть E1 – амплитуда одного излучателя (одной щели). Получаем N когерентных излучателей, расположенных на расстоянии d друг от друга, с одинаковыми начальными фазами (так как вспомогательная поверхность совпадает с волновым фронтом плоской волны).
Рассмотрим результат интерференции в направлении . Разность хода между волнами, исходящими из соседних излучателей, равна dsin (выделена на рисунке красным цветом). Разность фаз
dk sin .
Результирующая амплитуда от всех излучателей (см. лекцию 9):
E E |
|
sin N 2 |
E |
|
sin N |
; I I |
sin2 |
N |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
|||||||
|
1 sin 2 |
|
|
|
1 sin |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
kd sin |
|
|
2 d sin |
|
d sin . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Максимумы интенсивности будут при |
m, |
m 0,1, 2,.... , и с учетом (11.7): |
|||||||||||||||||||
d sin m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(11.6)
(11.7)
(11.8)
Условие главных максимумов (11.8) называется уравнением дифракционной решетки:
Интенсивность в максимумах равна I I1N 2 .
3
В дифракционной решетке излучателем является щель, поэтому для I1 верна формула (11.4)
I |
I |
|
sin |
|
0 |
|
|
||
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
Получаем распределение интенсивности света при дифракции на |
дифракционной решетке:
|
sin |
2 |
sin N |
2 |
|
|
|
|||||
I I |
|
|
. |
|
(11.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
sin |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Формула (11.9) – основная в теории дифракционной решетки. |
|
|||||||||||
Здесь |
|
b sin |
, |
|
d sin |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а I0 – интенсивность света, излучаемого одной щелью в направлении = 0.
Нарисуем график зависимости I( ) для случая d = 4b. Пусть I0 = 1.
Из (11.8) получаем направление на
главные максимумы
sin |
m |
. |
|
d |
|||
|
|
Из (11.5):
sin min
m b
Главные максимумы определяются уравнением дифракционной решетки (11.8)
d sin m .
В направлениях, определяемых этим условием, получаются максимумы, интенсивность которых в N2 раз больше интенсивности света от одной щели в том же направлении.
m – порядок главного максимума, или порядок спектра, или порядок дифракции.
Найдем условие минимума интенсивности при дифракции от многих щелей. |
|
|||
N (Nm p) , |
p 1, 2,..., N 1. |
|
||
|
p |
|
|
|
d sin m |
|
|
- условие минимума для дифракционной решетки |
(11.10) |
|
||||
|
N |
|
|
|
При |
mb |
равным целым числам интенсивность главных максимумов обращается в ноль. |
|
d |
|||
|
|
4
d sin
(11.11) –
Условие
Пусть волна падает на решетку наклонно под углом 0. |
|
Разность хода между сопряженными пучками от |
соседних щелей: |
r d sin d sin 0 d sin sin 0 . |
|
Характер дифракционной картины сохраняется. |
|
Условие главных максимумов: |
|
sin 0 m . |
(11.11) |
уравнение дифракционной решетки при наклонном падении лучей. |
|
дифракционных минимумов: |
|
d sin sin 0 |
|
p |
m |
. |
|
|
|
N |
По формуле (11.8) или (11.11) можно вычислить длину волны прибор для измерения , а не (!).
(11.12)
. Дифракционная решетка – это
Предположим, что дифракционная решетка грубая, то есть d >> , а свет падает под небольшим
углом 0. В этом случае
sin
m d
, то есть угол очень мал, поэтому наблюдать дифракцию
трудно. Далее когда 0 
рассмотрим случай скользящего падения плоской волны на дифракционную решетку, 2 . Результат интерференции будем наблюдать под углом дифракции близким к 0.
Таким образом, разница - |
|||||
d sin sin |
d cos |
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
m |
|
, |
|
d cos |
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
0 мала. Тогда
0 m .
(11.13)
где d cos 0 можно рассматривать как новый период, который может быть сделан очень малым.
Скользящее падение как бы уменьшает период решетки и увеличивает углы дифракции.
Найдем угловую ширину главных максимумов.
Направление на главный максимум m-го порядка определяется из уравнения дифракционной
решетки:
sin max
m d
.
Направление на первый минимум – из формулы (11.10):
|
|
|
1 |
|
|
|
m |
|
|
sin 1min |
|
|
N |
. |
d |
|
|||
|
|
|
|
Угловую ширину главного максимума определим как sin 1min sin max cos Nd ,
1min
max
. Тогда
Nd
cos
.
(11.14)
Найдем интенсивность m-го главного максимума.
Im I0 |
sin 2 |
|||
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
||
sin N 2 |
I |
|
N |
2 |
|
d 2 |
sin |
2 |
bm d . |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
bm |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5
Последнее
получаем
равенство
|
b sin |
|
|
||
|
записано с учетом того, что, применяя уравнение
|
|
bm |
sin N |
|
|
|
, и с учетом того, что в максимумах |
|
|
|
|
d |
|
sin |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
дифракционной решетки,
2 |
|
|
N |
2 |
. |
|
Т.о., при дифракции плоской волны на N щелях Im 1/m2, а также зависит от соотношения b/d. Резкость максимумов определяется числом щелей N, а интенсивность Im N 2.
Дифракционной решеткой является структура, обладающая пространственной периодичностью. На выходе решетки должно периодически меняться волновое поле в целом. Различают два случая:
1)Решетка вносит периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на ее фазу. Это
амплитудная дифракционная решетка.
2) Фазовая дифракционная решетка вносит периодические изменения в фазу волны, но не влияет на ее амплитуду.
Всякая реальная дифракционная решетка не является чисто амплитудной или фазовой. До сих пор мы рассматривали амплитудную решетку.
Существуют отражательные и прозрачные дифракционные решетки. На первых штрихи нанесены на зеркальную (металлическую поверхность), на вторых – на прозрачную поверхность. У отражательных решеток результирующая интерференционная картина образуется в отраженном от решетки свете, у прозрачных – в проходящем.
Решетки бывают плоскими и вогнутыми. Вогнутые дифракционные решетки обладают фокусирующим действием. В спектральных приборах используются как плоские, так и вогнутые решетки, и главным образом – отражательные.
Одна из современных технологий изготовления дифракционных решеток – получение от излучения лазеров интерференционной картины на специальных светочувствительных материалах, изменяющих некоторые физико-химические свойства под действием света. Такие решетки называются голографическими.
На рисунках изображены фазовые решетки: две верхние – прозрачные, нижняя – отражательная. Отражательные дифракционные решетки ступенчатого профиля называют блестящими.
Способ изготовления: на стеклянной или металлической поверхности наносится большое число профилированных штрихов.
Изменяется функция |
sin |
, которая зависит от геометрии |
|
|
|||
|
|
профилированного штриха.
Соотношение Im 1/m2 уже не справедливо.
Подбирая профиль штриха, можно сконцентрировать световую энергию в спектре какого-либо порядка, ослабляя остальные.
6