Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тверской Государственный Университет
Предмет:
Оптика
Файл:

Lecture_4

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
01.06.2023
Размер:
544.31 Кб
Скачать
☆
Eei t

ЛЕКЦИЯ 4

Отражение и преломление э/м волн

Прохождение э/м волны через границу двух сред анализируется на основе граничных условий для

векторов

E

и

H , которые являются частью системы

энергетических характеристик, связанных с амплитудами E и соотношения на границе раздела.

уравнений Максвелла. Кроме H , будут исследованы фазовые

Граничные условия:

E

 

E

 

 

,

 

 

2

 

 

1

 

 

 

H 1

H 2

.

Рассмотрим случай плоских волн. Ось x направлена перпендикулярно границе раздела, а оси y и z лежат в плоскости раздела двух сред. Тогда

Ey

Ey

2

,

H z

H z

2

при x = 0.

1

 

 

1

 

 

Постановка общей задачи: вывод и анализ фазовых и амплитудных соотношений на границе раздела двух диэлектриков.

 

 

Нормальное падение э/м волны на границу раздела двух диэлектриков

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим две непроводящие среды с разными значениями

 

 

 

 

 

 

 

диэлектрической проницаемости 1

и 2. 1 = 2 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

В первой среде распространяются две волны – падающая и

 

 

 

 

 

 

 

отраженная (индекс r). Индекс d обозначает прошедшую

 

 

 

 

 

 

 

волну.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем выражения для плоскополяризованных волн –

 

 

 

 

 

 

 

падающей, отраженной и прошедшей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

Ee

i t kx

,

 

 

 

 

 

H

 

 

E

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i t k

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

Re

r

,

 

H

 

 

 

E

 

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

1

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

t k

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

De

 

 

,

H

 

 

 

 

E

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2

 

 

d

 

 

d

2

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Должно соблюдаться условие правого винта.

 

 

 

 

 

 

 

Запишем граничные условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E E

E

,

H H

r

H

d

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При x = 0 записанные граничные условия должны выполняться для любого момента времени t, то есть Rei 1t Dei 2t .

При произвольном t это условие выполняется лишь при 1 2 . Таким образом, доказано, что

(!) при отражении или преломлении света на границе раздела двух диэлектриков частота

не меняется.

Эта закономерность нарушается при очень сильных э/м волнах (предмет нелинейной оптики). Таким образом, можно не учитывать зависимость E и H от времени и записать граничные

условия для амплитуд напряженности электрического и магнитного полей:

E R D, H0 H0r H0d .

Выразим амплитуды напряженности магнитного поля через амплитуды напряженности электрического поля:

H

0

n E,

H

0r

n R,

H

0d

n D.

 

1

 

1

 

2

Следовательно, имеем систему уравнений

E R D

 

n

E R

2

n

 

 

1

D

.

Получаем выражения для амплитуд отраженной и прошедшей волн при нормальном падении волны на границу раздела:

 

n n

 

 

R

1

2

E

 

n n

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2n

 

 

 

 

 

D

 

1

E

n

n

 

 

 

 

1

2

 

 

(4.1)

Проанализируем соотношения (4.1).

 

 

 

 

 

 

1)

Пусть n1 > n2. Знаки E и R совпадают, следовательно, на границе раздела векторы E

и Er

колеблются синфазно (как на рисунке), а векторы

H

и H

r

- в противофазе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Пусть n1 < n2. Фаза вектора Er изменяется на по отношению к вектору

E , а векторы

H и

H

r

на границе колеблются синфазно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(!!) При отражении света от оптически более плотной среды (n1 < n2) происходит потеря полуволны ( /2).

Амплитуда D прошедшей волны всегда совпадает по знаку с амплитудой E падающей волны, то

есть

E

всегда софазен вектору

E .

 

d

 

 

Коэффициенты отражения и пропускания

Будем характеризовать процессы отражения и пропускания на границе двух сред при помощи

энергетических коэффициентов отражения

R

*

 

и пропускания

D

*

 

:

R

*

 

 

средний поток энергии отраженной волны средний поток энергии падающей волны

.

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Er Hr

 

Er Hr

 

 

 

 

R2

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

*

 

 

4

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

EH

 

E2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

4 EH

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

E H

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

*

 

4

 

d

 

E H

d

 

 

 

 

 

 

d

 

D

c

 

 

 

EH

 

 

 

 

EH

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

2

 

2

 

 

E2

1

 

 

.

С учетом соотношений (4.1) получаем следующие коэффициенты для нормального падения э/м волны на границу раздела:

 

 

n n

 

2

 

*

 

 

 

 

 

1

2

 

 

,

R

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

*

 

 

4n n

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

.

D

n

n

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

Если поглощение отсутствует, то При прохождении света из воздуха

*

*

96%.

R

4%, D

R*

(n1

*

1.

D

= 1) в стекло (n2 = 1.5):

(4.2)

(4.3)

Формулы Френеля

Рассмотрим вопрос об интенсивности отраженной и преломленной волны в зависимости от угла падения и показателя преломления. При выводе этих соотношений (формул Френеля)

можно не учитывать

временной

зависимости

E

и

H и записывать

граничные условия для

проекций амплитуд векторов E и

H .

 

 

 

 

Представим

неполяризованный свет

 

как

сумму двух

м/х плоских волн,

распространяющихся в одном направлении с одной фазовой скоростью, но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фазы этих колебаний не коррелируют между собой. Таким образом представляется хаотическая суперпозиция различных эллиптически поляризованных э/м волн.

Суммарную напряженность

перпендикулярные компоненты:

E

 

 

электрического поля

 

2

2

E||

E .

E

можно разложить на две взаимно

Удобно выбрать следующие направления компонент

E

:

E|| – эта компонента лежит в плоскости падения,

E

– эта компонента перпендикулярна плоскости

 

 

падения.

Формулы Френеля выведем отдельно для этих направлений колебаний.

1. Вектор E лежит в плоскости падения э/м волны.

Граничные условия для проекций амплитуд векторов

E

и H :

 

E cos R cos D cos ,

 

||

 

 

 

 

 

 

 

||

 

 

 

 

||

 

 

 

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

.

 

 

 

 

 

H

0

 

0r

0d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем второе уравнение как

 

n E

 

n R

n D

 

 

 

 

 

 

1 ||

 

 

 

1

 

 

||

2

||

 

 

 

 

 

и используем закон преломления

 

sin

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

R

D

cos

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

||

 

 

||

cos

 

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

E

R

D

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

||

 

||

 

 

|| sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

R

 

 

 

sin cos

 

sin 2

 

||

 

||

 

 

 

 

.

E

R

 

 

sin cos

sin 2

 

 

 

 

 

||

 

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После простых преобразований получаем первую формулу Френеля:

R

 

tg

||

 

E

tg

 

||

 

 

Складывая уравнения системы (*), получим вторую формулу Френеля:

(*)

(4.4)

D

 

2cos sin

||

 

E

sin cos

 

||

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

Вектор

E

перпендикулярен

к

плоскости

падения э/м волны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторы

E

,R

 

,D

направлены

перпендикулярно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоскости чертежа от читателя.

 

 

 

Для проекций амплитуд на оси:

 

 

 

E

 

 

R

 

D

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

H

 

 

cos H

 

 

cos .

 

H

0

0r

0d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишем второе уравнение системы как

E R

 

 

cos

 

n2

 

D

cos

 

sin

 

D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos n1

 

 

cos sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из системы уравнений получаем третью и четвертую формулы Френеля:

R E

D E

sin( ) sin( )

2sin cos sin( )

,

.

(4.6)

(4.7)

Отношения

R

 

 

D

 

R

 

D

 

,

 

,

 

||

,

||

E

 

E

E

 

E

 

 

 

||

 

 

 

 

 

 

 

||

называются коэффициентами Френеля.

Проанализируем полученные формулы Френеля.

Закон Брюстера. Угол Брюстера.

Рассмотрим случай, кода

 

R

 

 

получаем, что

||

0

 

E

 

 

 

 

||

 

 

 

 

2

 

R|| 0 .

. Тогда

tg( ) . Из формулы Френеля (4.4)

При этом R

 

 

 

 

за исключением

0 , как видно тривиального

из (4.6). Коэффициент Френеля (4.6) никогда не обращается в ноль, случая n1 = n2. Таким образом,

если электрический вектор падающей волны лежит в плоскости падения, то при некотором угле падения отражение света исчезает (закон Брюстера).

Соответствующий угол падения Бр называется углом Брюстера.

Запишем закон преломления для случая, когда угол падения равен углу Брюстера:

sin

Бр

 

sin

Бр

tg

 

n

 

 

 

 

 

 

 

cos

Бр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

Бр

 

 

Бр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Если неполяризованный свет падает под углом Брюстера, который определяется как

tg Бр n

,

 

(4.8)

то составляющая с электрическим вектором

E

отражаться не будет. Отраженный свет

 

 

||

 

окажется линейно поляризованным перпендикулярно к плоскости падения.

Прошедший свет поляризован в плоскости падения, но эта поляризация неполная. Увеличить степень поляризации прошедшего света может стопа Столетова (параллельно расположенные стеклянные пластинки). При этом значительно увеличивается и интенсивность отраженного света (при большом числе пластинок отражается почти половина падающего света), который при падении под углом Брюстера является полностью поляризованным.

При переходе света из воздуха в стекло tg Бр 1.5,

570 .

Скользящее падение:

 

 

 

R

 

R

 

(4.4),(4.6)

||

 

 

2.

E

E

 

 

 

 

 

 

||

 

 

1

,

то есть отражение практически полное. Это объясняет яркое изображение противоположного берега водоема. При этом если попытаться рассмотреть свое изображение в направлении, перпендикулярном к поверхности воды, то мы увидим дно, а не свое лицо.

Понятие частичной поляризации

При частичной поляризации колебания вектора E в некотором направлении доминируют над колебаниями в других направлениях.

Другое определение:

Частично-поляризованный свет – это смесь естественного и плоскополяризованного излучения.

Степень поляризации:

I I|| 100%

I I||

(4.9)

Для неполяризованного (естественного света) = 0.

Анализ фазовых соотношений

Этот анализ проводится на основе формул Френеля, исходя из того, что изменение знака

амплитуды эквивалентно изменению фазы колебания на .

 

 

 

Из формул (4.5) и (4.7) следует, что

D

||

и

E

||

, как и

D

и

E

, всегда совпадают по знаку.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, векторы

D||

и

E||

софазны, как и векторы

D

и

E

.

Таким образом, преломленная и падающая волна всегда софазны. (!)

При отражении от оптически более плотной среды (n1 < n2):

а)

 

Бр

. Фаза электрического вектора в отраженной волне меняется на , то есть происходит

 

 

 

потеря полуволны.

б) Бр .

R

и R|| ведут себя по-разному, то есть

R|| софазен E|| , а векторы

R

и

E

находятся в противофазе.

Следовательно, при угле Брюстера скачком изменяется разность фаз между

Фазовое соотношение между отраженной и падающей волнами при n1 > n2:

Бр .

R

и E

софазны, то есть потери полуволны при отражении нет.

R||

и R .

Соседние файлы в предмете Оптика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности