Lecture_3
.pdf
ЛЕКЦИЯ 3
Энергия э/м волны. Вектор Умова-Пойнтинга Понятие дисперсии света. Фазовая и групповая скорости.
Распространение э/м волны связано с переносом энергии.
Соотношение между величинами векторов |
E и H в каждый момент времени и в каждой точке |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства: |
0 H |
0 E |
|
|
|
(3.1) |
||
Для диэлектриков обычно 1. |
|
|
|
|
||||
Объемная плотность энергии: w 0 E2 |
0 H 2 |
0 |
E2 . |
(3.2) |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Перенос энергии э/м волнами характеризуется плотностью потока энергии.
Плотность потока энергии – количество энергии, переносимой в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению потока.
Вектор плотности потока энергии S впервые был введен русским ученым Умовым для упругих волн, позднее для э/м волн – Пойнтингом.
Вектор Умова-Пойнтинга (вектор плотности потока энергии э/м поля):
S wv |
E2 |
1 |
|
EH . |
(3.3) |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
0 |
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3.3) получено с из (3.1) и (3.2). Вектор S определяет направление переноса волновой энергии.
(!) Всевозможные действия света обусловлены именно его электрическим полем. Поэтому в оптике вектор E называют световым вектором.
Значение S колеблется с удвоенной частотой по сравнению с E и изменяется от значения Smin 0
до S 0 E2 , max 0 0
где E0 – амплитуда электрического поля.
Среднее по времени значение плотности потока энергии называется
интенсивностью:
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
|
|
1 |
0 |
|
E2dt |
|
0 |
|
E2 . |
|
||||||||
S |
(3.3) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Здесь I – интенсивность световой волны.
При усреднении учли, что среднее за период T значение квадрата косинуса фазы равно ½ (<cos2 > =
½).
Интенсивность I световой волны обычно выражают через квадрат амплитуды светового вектора и показатель преломления среды:
|
I nE2 . |
(3.4) |
|
0 |
|
|
|
|
Регистрирующие приборы и глаз человека фиксируют именно интенсивность I световой волны. |
||
|
|
Понятие дисперсии света.Фазовая и групповая скорости. |
(!) Если м/х волна частоты попадает в какую-либо среду, то э/м волна, распространяющаяся в среде, имеет частоту , равную частоте исходной волны, но изменяет свою амплитуду, фазу и скорость распространения v.
Скорость распространения каждой волны в среде зависит от ее частоты vф = f( ).
n |
c |
|
c |
f ( ) . |
|
|
|||
|
v |
f ( ) |
1 |
|
|
|
|||
Зависимость показателя преломления (или скорости волны) от частоты падающего света называется дисперсией света.
М/х волны различной частоты в вакууме будут перемещаться с одной и той же скоростью. В среде они будут перемещаться с различными скоростями, то есть будут диспергировать. Преломленный свет сохраняет ту же частоту колебаний , что и падающий, но изменяет v и длину волны в зависимости от конкретных свойств среды.
ср v c вак .n n
Длина волны в среде меняется для каждой частоты в различное число раз.
Часто n выражают в зависимости от = с/ . В этом случае мерой дисперсии является изменение n
при изменении , или dn/d . Зависимости n от или нелинейные.
В прозрачных средах показатель преломления n растет с уменьшением длины волны . Для стекла в
видимой области спектра (рисунок) dn 0 , то есть n уменьшается с увеличением длины волны. d
|
|
|
dn |
0 |
– нормальная дисперсия. |
|||||
|
|
|
d |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
0 |
– аномальная дисперсия. |
|||||
|
|
|
d |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для прозрачных тел зависимость n( ) в видимой части спектра: |
||||||||
|
|
n ( ) A |
B |
|
|
C |
... |
|||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
Здесь A, B, C – постоянные, характеризующие вещество. |
||||||||||
Для многих тел справедлива формула Коши |
||||||||||
n ( ) A |
B |
. |
|
|
|
(3.5) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим, что имеется дисперсия. |
||||||||||
Для бегущей плоской м/х волны: |
E E0 cos t kx . |
|||||||||
При рассмотрении таких волн дисперсия не играет роли, так как имеет единственное
значение.
Уравнение поверхности постоянной фазы волны: |
t kx const . |
||||||
Дифференцируя, получим |
|
||||||
dt kdx 0 |
|
dx |
. |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
dt |
k |
|
|
vф |
|
фазовая скорость волны |
(3.6) |
||||
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
или скорость распространения постоянной фазы.
Произвольное плоское возмущение, распространяющееся вдоль оси x, согласно теореме Фурье можно представить в виде суперпозиции м/х волн.
В отсутствие дисперсии все эти волны имели бы одну и ту же фазовую скорость, так что форма возмущения оставалась бы одной и той же с течением времени.
При наличии дисперсии м/х волны разных частот будут распространяться с разными скоростями, следовательно, форма возмущения будет непрерывно деформироваться. В этом случае вводится
групповая скорость.
Суперпозиция двух или большего числа волн с различными (но близкими) частотами составляет группу волн или волновой пакет.
Пусть фазовая скорость vф является линейной функцией :
vф = a + b , = ak + 2 b.
На самом деле такой среды не существует. Однако это условие верно, если возмущение занимает небольшую спектральную область. Более точное определение волнового пакета:
Волновым пакетом (или группой волн) называется волновое образование, занимающее узкую спектральную область, так что в пределах этой области зависимости vф( ) и (k) могут быть аппроксимированы линейными функциями.
Распространение пакета носит прыгающий характер. По истечении времени τ происходит периодическое восстановление формы возмущения.
Скорость волнового пакета, то есть групповую скорость vгр, можно определить как отношение расстояния, проходимого пакетом за один прыжок, ко времени τ. Это отношение расстояния между двумя последовательными положениями максимума возмущения к времени восстановления τ.
Скорость движения энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью (вдали от поглощения).
Пусть волновой пакет состоит из двух волн с одинаковыми амплитудами и небольшим отличием по частотам (и по волновым числам).
E1 E0 cos( t kx),
E2 E0 cos(( d )t (k dk
Тогда, сложив эти две волны,
EE1 E2 2E0 cos d t
2
)x) .
получим
dk x cos( t kx).
2
Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно считать амплитудой волнового пакета. Эта амплитуда меняется в пространстве и во времени, но фиксировав некоторое ее значение, например максимум можно передавать информацию.
Найдем скорость распространения фиксированной амплитуды, т.е. групповую скорость: td xdk const,
dtd dxdk 0.
vгр dxdt ddk .
Диаграмма Эренфеста
vгр vф |
dvф |
|
формула Рэлея. |
|
d |
||||
|
|
|