pdf.php@id=6180

Окончание табл. 2.1

Доверительные границы определяются неравенством

же для вероятности P = /2. Значения 2P( f ) находятся по табл. 2.2.

31

Таким образом, значение доверительной вероятности характеризует точность оценки вероятностного параметра, а доверительная вероятность – достоверность его появления в пределах заданной точности.

2.2. Непараметрические методы определения объема выборки

При непараметрическом методе минимальное число объектов наблюдений определяют по формуле

(табл. 2.3).

Таблица 2.3

Определение минимального числа объектов наблюдений при неизвестном законе распределения показателей

Порядок определения числа объектов наблюдения при неизвестном законе распределения следующий:

•задаются установленной в нормативной документации минимальной величиной вероятности безотказной работы объекта Р(х) в течение времени х;

•выбирают значение доверительной вероятности α;

•находят по табл. 2.3 для заданных значений Р(х) и α соответствующее число N объектов наблюдений.

34

2.3. Параметрические методы определения объема выборки

Применение параметрических методов определения объема выборки связано с использованием параметров закона распределения.

Связь между εотн, α и числом N наблюдаемых объектов рассмотрим при распределении отказов по нормальному закону.

По теореме о сумме случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий выборок:

N

Dx = Dx1 + Dx2 +... + Dxn = Dxi . (2.11)

i=1

Для одинаково распределенной величины Dхi = DхΣ/N. В единицах σ (Dх = S2) рассеяния средних (нормированное отклонение среднего) рассчитывается по формуле

где σ – стандартное (среднее квадратическое) отклонение, определяемое по формуле

n

(xi − M x )2

где Mx – математическое ожидание случайной величины – сумма произведений всех возможных значений случайной величины xi на вероятности Рх этих значений:

i=1

Отсюда получаем

35

где V – коэффициент вариации – отношение теоретического среднего квадратического отклонения σ к математическому ожиданию Mx,

применяется при Mx > 0.

Если коэффициент вариации меньше 10 %, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10 до 20 % относится к средней, больше 20 % и меньше 33,3 % – к значительной и если коэффициент вариации превышает 33,3 % – сильная вариация, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Коэффициент вариации может применяться для выбора теоретического закона распределения исходя из следующих признаков:

•если V < 0,3 – выбирается закон нормального распреде-

ления;

•если 0,3 < V < 0,5 – выбирается закон нормального распределения или закон распределения Вейбулла;

•если V > 0,5 – выбирается закон распределения Вейбулла. В случае сильной вариации изучаемая статистическая сово-

купность считается неоднородной, а средняя величина – нетипич-

36

ной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

Для экспериментальных данных коэффициент вариации

V= S/ x.

Вкоэффициенте вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемой величины, но и несопоставимость, которая возникает вследствие различия величин средних арифметических. Коэффициент вариации пригоден для сравнения колеблемости различных по своему характеру и размеру σ и V, которые являются известными «мерилами» надежности средних. Чем меньше их значение, тем однороднее изучаемая совокупность и надежнее полученная средняя.

Таблица 2.4

Изменение числа объектов наблюдений Nx в зависимости от величины εотн /V и α для нормального закона распределения

Порядок определения числа N объектов наблюдений следую-

щий:

• задают относительную ошибку εотн среднего значения x с доверительной вероятностью α;

37

•задают ожидаемое значение коэффициента вариации V;

•определяют отношение εотн/V;

•по отношению εотн/V и выбранной доверительной вероятности в табл. 2.4 находят соответствующее число Nx.

2.4. Примеры определения выборки

Пример 2.1. Определить необходимое число наблюдений объекта, распределение которых подчиняется нормальному закону с доверительной вероятностью α = 0,99, относительной ошибкой εотн = 0,12 и коэффициентом вариации V = 0,3.

Решение. Определяем соотношение εотн /V = 0,12/0,3 = 0,4. По табл. 2.4 для ближайшего к расчетному значения (0,378) и α = 0,99 получим N = 41.

Пример 2.2. Для изучения качества выпускаемой продукции необходимо определить какое количество деталей следует подвергнуть окончательному контролю, если по данным предшествующего обследования известно, что коэффициент вариации по данной группе деталей составляет 30 %, а предельная относительная ошибка выборки с вероятностью 0,95 не должна превысить 5 %?

Решение.

При случайном или механическом повторном отборе можно определить число наблюдаемых объектов следующим образом:

N = t2 V 2 ,

δ

где t – показатель достоверности (выбирается по табл. 2.5 согласно доверительной вероятности); V – коэффициент вариации; – показатель точности.

При Р = 0,95 показатель достоверности t = 1,96 (см. табл. 2.5).

необходимо проконтролировать 138 деталей.

38